第一章 线性方程组、矩阵、行初等变换和行列式 1
1.1 线性方程组和消元法 1
1.1.1 线性方程组 1
1.1.2 高斯消元法回顾 2
1.2 线性方程组的矩阵表达和行初等变换 5
1.3 矩阵的秩和线性方程组解的定理 11
1.4 线性方程组解的公式和行列式的定义 13
1.4.1 二元线性方程组和三元线性方程组的解公式 13
1.4.2 n阶方阵行列式的定义与克莱默法则 15
1.5 与行列式相关问题的进一步说明 18
1.5.1 行列式的其他等价定义 18
1.5.2 行列式按行（列）展开 19
1.5.3 行列式的性质 20
1.5.4 克莱默法则的证明 26
1.5.5 矩阵秩的等价定义 27
1.6 习题 29
第二章 矩阵加法、向量空间 31
2.1 向量和矩阵的线性运算 31
2.2 向量空间（一） 32
2.3 向量组的线性相关性 34
2.3.1 向量的线性表示与线性方程组 34
2.3.2 向量组的线性相关与线性无关 37
2.3.3 最大无关组和向量组的秩 40
2.4 向量空间（二） 42
2.5 线性方程组解的向量表达 45
2.5.1 齐次线性方程组的解空间 45
2.5.2 非齐次线性方程组的解向量 47
2.6 习题 49
第三章 矩阵乘法和初等矩阵的应用 51
3.1 线性变换、矩阵乘法和可逆矩阵 51
3.1.1 线性变换和矩阵乘法 51
3.1.2 可逆矩阵 54
3.2 初等矩阵及其应用 57
3.2.1 初等变换与初等矩阵 57
3.2.2 矩阵的分解与标准型 59
3.2.3 乘积矩阵的行列式 60
3.2.4 矩阵的可逆性 62
3.2.5 伴随矩阵与逆矩阵公式 62
3.3 向量空间（三） 65
3.3.1 向量的坐标表达 65
3.3.2 基变换与坐标变换 65
3.4 习题 67
第四章 相似矩阵和方阵的对角化 70
4.1 乘方、指数运算 70
4.2 相似矩阵 72
4.3 特征值和特征向量 73
4.4 习题 78
第五章 内积空间、厄密矩阵和合同变换 80
5.1 向量的内积、长度及正交性 80
5.2 厄密矩阵的对角化 85
5.3 二次型与合同变换 87
5.4 习题 89
第六章 傅里叶级数和傅里叶积分 91
6.1 逐点收敛、平均收敛和函数空间 91
6.1.1 向量空间与函数空间 91
6.1.2 朗斯基行列式与函数的线性相关 92
6.1.3 逐点收敛与平均收敛 92
6.2 傅里叶级数定理 93
6.2.1 三角函数形式的傅里叶级数 93
6.2.2 复函数形式的傅里叶级数 98
6.3 傅里叶变换 99
6.3.1 复函数形式的傅里叶变换 99
6.3.2 傅里叶正弦变换与余弦变换 104
6.3.3 多重傅里叶变换 104
6.4 狄拉克δ函数 105
6.4.1 狄拉克δ函数的引入 105
6.4.2 δ函数及其导数的运算 107
6.4.3 高维空间的δ函数 110
6.5 习题 110
第七章 常微分方程和本征值问题 113
7.1 几种简单的常微分方程的解法回顾 113
7.1.1 一阶线性常微分方程 113
7.1.2 常系数齐次常微分方程 114
7.1.3 欧拉型齐次常微分方程 116
7.2 二阶线性齐次常微分方程的级数解法 116
7.2.1 常点、奇点和正则奇点、级数解法概述 116
7.2.2 常点附近的级数解法和勒让德方程的解 118
7.2.3 正则奇点附近的级数解法和贝塞尔方程的求解 120
7.3 二阶线性非齐次常微分方程 123
7.3.1 齐次方程的通解 124
7.3.2 非齐次方程的通解 124
7.4 斯图姆-刘维尔型本征值问题 126
7.4.1 本征值问题的构成 127
7.4.2 本征值问题的性质 130
7.5 习题 133
第八章 数理方程的导出和定解 135
8.1 方程的导出 135
8.1.1 波动方程 135
8.1.2 输运方程 140
8.1.3 稳定场方程 142
8.2 方程的定解条件 143
8.2.1 初始条件 143
8.2.2 边界条件 143
8.3 线性方程和叠加原理 145
8.3.1 线性算符 145
8.3.2 线性叠加原理 146
8.3.3 求解定解问题的一般步骤 146
8.4 习题 147
第九章 傅里叶级数法（一） 148
9.1 分离变量法初步 148
9.1.1 什么是分离变量法 148
9.1.2 自由振动方程的求解——分离变量法的简单例子 150
9.1.3 分离变量法的主要步骤和应用 154
9.2 球坐标系下的分离变量法 157
9.3 习题 161
第十章 积分变换法 164
10.1 一维空间的积分变换法 164
10.1.1 自由波动方程 164
10.1.2 受迫波动方程 168
10.2 三维空间的积分变换法 170
10.2.1 自由波动方程 170
10.2.2 受迫波动方程 171
10.3 习题 172
第十一章 复数和复变函数 173
11.1 复数 173
11.1.1 复数的定义 173
11.1.2 复数的表示方法 173
11.1.3 复数的运算 175
11.2 复变函数 177
11.2.1 复平面上的区域 177
11.2.2 复变函数的连续和极限 177
11.2.3 单值函数与多值函数 178
11.2.4 基本初等复变函数 180
11.3 习题 183
第十二章 微分和解析函数 184
12.1 复变函数的微分 184
12.1.1 复变函数的导数 184
12.1.2 柯西-黎曼条件 185
12.1.3 复变函数的微分运算法则 186
12.2 解析函数 186
12.2.1 解析函数的定义 186
12.2.2 解析函数的应用 188
12.3 习题 191
第十三章 积分和柯西定理 192
13.1 复变函数的积分 192
13.1.1 复变函数的积分定义 192
13.1.2 复变函数积分的性质 194
13.2 解析函数的积分 194
13.2.1 单通区域和复通区域 195
13.2.2 柯西定理 195
13.3 柯西公式及推论 197
13.4 习题 198
第十四章 级数、奇点和解析延拓 199
14.1 级数理论中的一般概念 199
14.1.1 级数、收敛和绝对收敛 199
14.1.2 函数项级数、收敛和一致收敛 201
14.2 幂级数理论 202
14.2.1 幂级数及收敛半径 202
14.2.2 幂级数在收敛圆内的性质 204
14.3 解析函数的幂级数展开 205
14.3.1 圆域内解析函数的泰勒定理 205
14.3.2 环域内的解析函数和洛朗定理 206
14.4 孤立奇点的分类和特性 209
14.5 解析延拓 211
14.5.1 定义和唯一性定理 211
14.5.2 解析延拓的方法 212
14.5.3 Γ函数的解析延拓 213
14.6 习题 214
第十五章 留数定理及应用 215
15.1 留数定理 215
15.2 有限远处孤立奇点留数的求法 217
15.3 留数定理的应用 218
15.3.1 第一种类型：？R（cos x,sin x）dx 218
15.3.2 第二种类型：？f（x）dx和？f（x）eieαxdx 219
15.3.3 第三种类型：广义积分的主值 222
15.3.4 几个特殊的积分 224
15.4 拉普拉斯变换 226
15.4.1 拉普拉斯变换 226
15.4.2 梅林反演公式 227
15.5 习题 229
第十六章 傅里叶级数法（二） 230
16.1 两端固定的弦的受迫振动问题——本征函数法的简单例子 230
16.2 球坐标系下的泊松方程、波动方程和定态薛定谔方程 234
16.2.1 泊松方程 235
16.2.2 波动方程 235
16.2.3 薛定谔方程 237
16.3 非齐次边界条件的齐次化 237
16.4 习题 242
第十七章 勒让德函数和球谐函数 243
17.1 勒让德函数及其重要性质 243
17.2 缔合勒让德函数及其重要性质 256
17.3 球谐函数及其性质 258
17.4 习题 259
第十八章 贝塞尔函数 261
18.1 贝塞尔方程的出现 261
18.2 贝塞尔函数及其主要性质 262
18.3 虚宗量贝塞尔函数 265
18.4 贝塞尔方程的本征值问题 266
18.5 球贝塞尔方程 269
18.5.1 球贝塞尔方程的出现 269
18.5.2 球贝塞尔方程的求解 270
18.6 习题 271
第十九章 非齐次问题和格林函数法 272
19.1 泊松方程的格林函数定解问题的构造 272
19.1.1 无界泊松方程问题的格林函数 272
19.1.2 有界问题泊松方程的格林函数 273
19.1.3 与泊松方程相应的格林函数的对称性的证明 276
19.2 泊松方程的格林函数定解问题的求解 276
19.2.1 一般问题解法的讨论 276
19.2.2 一类特殊问题的解法——镜像法 277
19.3 伴随算符和推广的格林公式 279
19.4 含时问题的格林函数法 281
19.4.1 波动问题 281
19.4.2 输运问题 283
19.4.3 相关格林函数性质的证明 285
19.5 习题 286
附录A 排列的奇偶性 288
附录B 缔合勒让德方程的求解 290
附录C 正交曲线坐标系和直角坐标系的变换 292