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第一章 线性方程组、矩阵、行初等变换和行列式 1

1.1 线性方程组和消元法 1

1.1.1 线性方程组 1

1.1.2 高斯消元法回顾 2

1.2 线性方程组的矩阵表达和行初等变换 5

1.3 矩阵的秩和线性方程组解的定理 11

1.4 线性方程组解的公式和行列式的定义 13

1.4.1 二元线性方程组和三元线性方程组的解公式 13

1.4.2 n阶方阵行列式的定义与克莱默法则 15

1.5 与行列式相关问题的进一步说明 18

1.5.1 行列式的其他等价定义 18

1.5.2 行列式按行（列）展开 19

1.5.3 行列式的性质 20

1.5.4 克莱默法则的证明 26

1.5.5 矩阵秩的等价定义 27

1.6 习题 29

第二章 矩阵加法、向量空间 31

2.1 向量和矩阵的线性运算 31

2.2 向量空间（一） 32

2.3 向量组的线性相关性 34

2.3.1 向量的线性表示与线性方程组 34

2.3.2 向量组的线性相关与线性无关 37

2.3.3 最大无关组和向量组的秩 40

2.4 向量空间（二） 42

2.5 线性方程组解的向量表达 45

2.5.1 齐次线性方程组的解空间 45

2.5.2 非齐次线性方程组的解向量 47

2.6 习题 49

第三章 矩阵乘法和初等矩阵的应用 51

3.1 线性变换、矩阵乘法和可逆矩阵 51

3.1.1 线性变换和矩阵乘法 51

3.1.2 可逆矩阵 54

3.2 初等矩阵及其应用 57

3.2.1 初等变换与初等矩阵 57

3.2.2 矩阵的分解与标准型 59

3.2.3 乘积矩阵的行列式 60

3.2.4 矩阵的可逆性 62

3.2.5 伴随矩阵与逆矩阵公式 62

3.3 向量空间（三） 65

3.3.1 向量的坐标表达 65

3.3.2 基变换与坐标变换 65

3.4 习题 67

第四章 相似矩阵和方阵的对角化 70

4.1 乘方、指数运算 70

4.2 相似矩阵 72

4.3 特征值和特征向量 73

4.4 习题 78

第五章 内积空间、厄密矩阵和合同变换 80

5.1 向量的内积、长度及正交性 80

5.2 厄密矩阵的对角化 85

5.3 二次型与合同变换 87

5.4 习题 89

第六章 傅里叶级数和傅里叶积分 91

6.1 逐点收敛、平均收敛和函数空间 91

6.1.1 向量空间与函数空间 91

6.1.2 朗斯基行列式与函数的线性相关 92

6.1.3 逐点收敛与平均收敛 92

6.2 傅里叶级数定理 93

6.2.1 三角函数形式的傅里叶级数 93

6.2.2 复函数形式的傅里叶级数 98

6.3 傅里叶变换 99

6.3.1 复函数形式的傅里叶变换 99

6.3.2 傅里叶正弦变换与余弦变换 104

6.3.3 多重傅里叶变换 104

6.4 狄拉克δ函数 105

6.4.1 狄拉克δ函数的引入 105

6.4.2 δ函数及其导数的运算 107

6.4.3 高维空间的δ函数 110

6.5 习题 110

第七章 常微分方程和本征值问题 113

7.1 几种简单的常微分方程的解法回顾 113

7.1.1 一阶线性常微分方程 113

7.1.2 常系数齐次常微分方程 114

7.1.3 欧拉型齐次常微分方程 116

7.2 二阶线性齐次常微分方程的级数解法 116

7.2.1 常点、奇点和正则奇点、级数解法概述 116

7.2.2 常点附近的级数解法和勒让德方程的解 118

7.2.3 正则奇点附近的级数解法和贝塞尔方程的求解 120

7.3 二阶线性非齐次常微分方程 123

7.3.1 齐次方程的通解 124

7.3.2 非齐次方程的通解 124

7.4 斯图姆-刘维尔型本征值问题 126

7.4.1 本征值问题的构成 127

7.4.2 本征值问题的性质 130

7.5 习题 133

第八章 数理方程的导出和定解 135

8.1 方程的导出 135

8.1.1 波动方程 135

8.1.2 输运方程 140

8.1.3 稳定场方程 142

8.2 方程的定解条件 143

8.2.1 初始条件 143

8.2.2 边界条件 143

8.3 线性方程和叠加原理 145

8.3.1 线性算符 145

8.3.2 线性叠加原理 146

8.3.3 求解定解问题的一般步骤 146

8.4 习题 147

第九章 傅里叶级数法（一） 148

9.1 分离变量法初步 148

9.1.1 什么是分离变量法 148

9.1.2 自由振动方程的求解——分离变量法的简单例子 150

9.1.3 分离变量法的主要步骤和应用 154

9.2 球坐标系下的分离变量法 157

9.3 习题 161

第十章 积分变换法 164

10.1 一维空间的积分变换法 164

10.1.1 自由波动方程 164

10.1.2 受迫波动方程 168

10.2 三维空间的积分变换法 170

10.2.1 自由波动方程 170

10.2.2 受迫波动方程 171

10.3 习题 172

第十一章 复数和复变函数 173

11.1 复数 173

11.1.1 复数的定义 173

11.1.2 复数的表示方法 173

11.1.3 复数的运算 175

11.2 复变函数 177

11.2.1 复平面上的区域 177

11.2.2 复变函数的连续和极限 177

11.2.3 单值函数与多值函数 178

11.2.4 基本初等复变函数 180

11.3 习题 183

第十二章 微分和解析函数 184

12.1 复变函数的微分 184

12.1.1 复变函数的导数 184

12.1.2 柯西-黎曼条件 185

12.1.3 复变函数的微分运算法则 186

12.2 解析函数 186

12.2.1 解析函数的定义 186

12.2.2 解析函数的应用 188

12.3 习题 191

第十三章 积分和柯西定理 192

13.1 复变函数的积分 192

13.1.1 复变函数的积分定义 192

13.1.2 复变函数积分的性质 194

13.2 解析函数的积分 194

13.2.1 单通区域和复通区域 195

13.2.2 柯西定理 195

13.3 柯西公式及推论 197

13.4 习题 198

第十四章 级数、奇点和解析延拓 199

14.1 级数理论中的一般概念 199

14.1.1 级数、收敛和绝对收敛 199

14.1.2 函数项级数、收敛和一致收敛 201

14.2 幂级数理论 202

14.2.1 幂级数及收敛半径 202

14.2.2 幂级数在收敛圆内的性质 204

14.3 解析函数的幂级数展开 205

14.3.1 圆域内解析函数的泰勒定理 205

14.3.2 环域内的解析函数和洛朗定理 206

14.4 孤立奇点的分类和特性 209

14.5 解析延拓 211

14.5.1 定义和唯一性定理 211

14.5.2 解析延拓的方法 212

14.5.3 Γ函数的解析延拓 213

14.6 习题 214

第十五章 留数定理及应用 215

15.1 留数定理 215

15.2 有限远处孤立奇点留数的求法 217

15.3 留数定理的应用 218

15.3.1 第一种类型：？R（cos x,sin x）dx 218

15.3.2 第二种类型：？f（x）dx和？f（x）eieαxdx 219

15.3.3 第三种类型：广义积分的主值 222

15.3.4 几个特殊的积分 224

15.4 拉普拉斯变换 226

15.4.1 拉普拉斯变换 226

15.4.2 梅林反演公式 227

15.5 习题 229

第十六章 傅里叶级数法（二） 230

16.1 两端固定的弦的受迫振动问题——本征函数法的简单例子 230

16.2 球坐标系下的泊松方程、波动方程和定态薛定谔方程 234

16.2.1 泊松方程 235

16.2.2 波动方程 235

16.2.3 薛定谔方程 237

16.3 非齐次边界条件的齐次化 237

16.4 习题 242

第十七章 勒让德函数和球谐函数 243

17.1 勒让德函数及其重要性质 243

17.2 缔合勒让德函数及其重要性质 256

17.3 球谐函数及其性质 258

17.4 习题 259

第十八章 贝塞尔函数 261

18.1 贝塞尔方程的出现 261

18.2 贝塞尔函数及其主要性质 262

18.3 虚宗量贝塞尔函数 265

18.4 贝塞尔方程的本征值问题 266

18.5 球贝塞尔方程 269

18.5.1 球贝塞尔方程的出现 269

18.5.2 球贝塞尔方程的求解 270

18.6 习题 271

第十九章 非齐次问题和格林函数法 272

19.1 泊松方程的格林函数定解问题的构造 272

19.1.1 无界泊松方程问题的格林函数 272

19.1.2 有界问题泊松方程的格林函数 273

19.1.3 与泊松方程相应的格林函数的对称性的证明 276

19.2 泊松方程的格林函数定解问题的求解 276

19.2.1 一般问题解法的讨论 276

19.2.2 一类特殊问题的解法——镜像法 277

19.3 伴随算符和推广的格林公式 279

19.4 含时问题的格林函数法 281

19.4.1 波动问题 281

19.4.2 输运问题 283

19.4.3 相关格林函数性质的证明 285

19.5 习题 286

附录A 排列的奇偶性 288

附录B 缔合勒让德方程的求解 290

附录C 正交曲线坐标系和直角坐标系的变换 292