第1章 二次三项式 1
1.1二次三项式的最小值 1
1.2判别式 1
1.3各种各样的问题 2
1.4中间值定理 3
1.5与二次曲线有关的方程 4
1.6结式 4
解答 4
第2章 方程 11
2.1变量替换 11
2.2推测方程的根 11
2.3带根号的方程 11
2.4各种方程 12
解答 12
第3章 方程组 16
3.1求出全部解 16
3.2求实解 17
3.3正解 18
3.4方程组的解的组数 18
3.5线性方程组 19
解答 21
第4章 整除性 27
4.1偶数与奇数 27
4.2欧几里得算法与算术基本定理 28
4.3分解为素因子 29
4.4整除性准则 29
4.5最大公约数与最小公倍数 30
4.6完全整除性 30
4.7素数幂的整除性 31
4.8除法的剩余 32
4.9互素的数 33
4.10素数 33
4.11余数的运算 33
解答 34
第5章 恒等式 47
5.1因式分解 47
5.2证明恒等式 47
5.3平方和 47
5.4辅助的恒等式 48
5.5分解有理函数 49
5.6分解二次函数 49
5.7有整数部分的恒等式 50
解答 50
第6章 有理数与无理数 57
6.1数的比较 57
6.2在分母中的无理数 57
6.3有根号的恒等式 58
6.4有理性与无理性的证明 59
6.5共轭数 59
6.6法里数列 60
6.7有整数部分的问题 61
解答 61
第7章 文字题 71
7.1不用计算的解答 71
7.2计算 71
7.3不等式 72
7.4整数的近似 73
7.5对应 73
解答 74
第8章 不等式 78
8.1不等式x＋1/x≥2 78
8.2三角形不等式 78
8.3柯西不等式 79
8.4平均值不等式 79
8.5有几何解释的不等式 80
8.6循环不等式 81
8.7各种不等式 81
8.8凸性 83
8.9赫尔德不等式与闵科夫斯基不等式 83
解答 84
第9章 和与积的计算 97
9.1等差数列与等比数列 97
9.2改变求和的次序 98
9.3和数Sk（n）=1k＋2k…＋nk 98
9.4分拆为数对 99
9.5用两种方法计算同一个和数 100
解答 100
第10章 多项式I 106
10.1分解为完全平方 106
10.2多项式的根 106
10.3多项式的系数 106
10.4韦达定理 107
10.5整除性 107
10.6根的不等式 108
10.7多项式的实根的个数 109
10.8各种问题 109
10.9插值多项式 110
10.10有理函数 111
10.11整值多项式 111
10.12多元多项式 111
解答 112
第11章 三角学 122
11.1不等式与数的比较 122
11.2三角恒等式 123
11.3方程 123
11.4与正多边形相关的正弦及余弦之和 123
11.5和的计算与积的计算 124
11.6 cos n？及其他的表达式 125
11.7辅助的三角函数 125
11.8三角多项式 126
解答 127
第12章 整数方程 140
12.1毕达哥拉斯三元组 140
12.2求出全部解 140
12.3求出某些解 141
12.4证明解的个数是有限的 141
12.5佩尔方程 142
12.6马尔可夫方程 142
解答 143
第13章 数学归纳法 151
13.1和的计算 151
13.2不等式 151
13.3恒等式的证明 152
13.4各种问题 152
解答 153
第14章 组合分析 158
14.1组合分析基础 158
14.2二项式系数的恒等式 159
14.3算术中的牛顿二项式 159
14.4算术中的组合分析 160
14.5二项式系数的不等式 160
14.6二项式系数的算术 161
14.7容斥原理 161
14.8模拟二项式系数 162
14.9卡塔兰数 162
14.10概率论基础 164
解答 164
第15章 递推数列 179
15.1一般性质 179
15.2斐波那契数 179
15.3斐波那契数与欧几里得算法 181
15.4组合分析中的斐波那契数 181
15.5特殊的递推数列 181
解答 182
第16章 例子与构造 188
16.1数组 188
16.2无穷数列 188
16.3操作系列 189
16.4多项式与有理数 189
16.5各种例子与构造 189
解答 190
第17章 抽屉原理与极端性法则 195
17.1除法的余数 195
17.2各种问题 196
17.3以有理数逼近无理数 196
17.4极端性法则 197
解答 198
第18章 不变量与半不变量 205
18.1除法的余数 205
18.2半不变量 206
18.3排列的奇偶性 206
解答 207
第19章 逻辑 212
19.1逻辑问题 212
19.2逻辑悖论 213
19.3命题逻辑 214
解答 215
第20章 策略、竞赛、表 218
20.1策略的选择 218
20.2转注 218
20.3竞赛 219
20.4称量 220
20.5表 221
解答 222
第21章 记数系统 230
21.1最后一位数码 230
21.2第一位数码 230
21.3其他数码 231
21.4数码之和 231
21.5关于十进制记数法的各种问题 231
21.6十进制分数的周期与循环整数 232
21.7确定一个数的d进制数记法 233
21.8二进制 233
21.9其他记数系统 234
21.10数的其他表示法 234
解答 235
第22章 图 243
22.1图的环 243
22.2定向图 244
22.3匹配 244
解答 245
第23章 复数 248
23.1复数的恒等式与不等式 248
23.2棣美弗公式 249
23.3单位根 249
23.4多项式的根 251
解答 252
第24章 用根式可解的方程 258
24.1三次方程的解 258
24.2三次多项式的判别式 259
24.3四次方程的解 259
24.4用根式可解的其他方程 260
解答 260
第25章 数列的极限 265
25.1极限的性质 265
25.2魏尔斯特拉斯定理 266
25.3极限的计算 267
25.4数e 269
25.5共轭数 269
25.6上确界 270
解答 270
第26章 连续函数与间断函数 282
26.1单调函数 282
26.2周期函数 282
26.3函数的极限 282
26.4连续性 283
26.5中值定理 284
26.6闭区间上连续函数的性质 284
26.7凸函数 285
26.8一致连续性 286
26.9有界变差函数 286
解答 287
第27章 指数函数与对数函数 293
27.1指数函数与对数函数的定义 293
27.2指数函数 294
27.3对数恒等式 294
27.4不等式与数的比较 294
27.5对数的无理性 295
27.6几个重要的极限 295
27.7双曲函数 295
解答 296
第28章 导数 302
28.1导数的定义 302
28.2初等函数的导数 303
28.3多项式的重根 303
28.4多项式的导数 304
28.5恒等式 305
28.6切线与法线 305
28.7在闭区间上的可微函数 306
28.8不等式 307
28.9洛必达法则 308
28.10方程的根的个数 309
28.11周期函数 309
28.12正规化对称函数 309
28.13代数函数与超越函数 310
28.14泰勒公式 310
解答 311
第29章 积分 332
29.1不定积分 332
29.2定积分 333
29.3积分的计算 335
29.4面积的计算 336
29.5体积的计算 336
29.6曲线的长度 337
29.7曲面的面积 337
29.8不等式 338
29.9极限的计算 339
29.10恒等式 339
29.11例子与构造 340
29.12反常积分 340
解答 340
第30章 级数 354
30.1无穷和的计算 354
30.2无穷乘积的计算 354
30.3调和级数 354
30.4关于对数的级数 356
30.5关于数π的级数 356
30.6复域中的指数 357
30.7不等式的证明 357
30.8收敛的级数与发散的级数 357
30.9无穷乘积的收敛性 358
解答 358
第31章 数论基础 369
31.1费马小定理 369
31.2伪素数 369
31.3欧拉函数 369
31.4威尔逊定理 370
31.5同余问题 370
31.6函数σk（n）·因数 371
31.7平方剩余 372
31.8二次互反律 373
31.9高斯和 375
31.10两个平方之和 375
31.11四个平方之和 376
31.12素数模的原根 377
31.13合数模的原根 378
31.14关于素数的切比雪夫定理 378
解答 379
第32章 多项式Ⅱ 402
32.1根的隔离 402
32.2不可约多项式 403
32.3对称多项式 406
32.4切比雪夫多项式 408
32.5代数数与超越数 410
32.6添加多项式的根 411
解答 412
第33章 算法与计算 425
33.1一些数的计算 425
33.2算术运算、多项式 425
33.3分类 426
33.4公钥密码学 427
解答 428
第34章 函数方程 434
34.1代换法 434
34.2任意函数的函数方程 434
34.3连续函数的函数方程 435
34.4可微函数的函数方程 436
34.5多项式的函数方程 436
解答 437
第35章 连分数 447
35.1定义与基本性质 447
35.2最佳逼近 448
35.3连分数与佩尔方程 449
解答 449
第36章 形式级数与函数 455
36.1形式级数 455
36.2形式导数 455
36.3形式级数的根 456
36.4指数与对数 456
36.5形式级数的恒等式 457
36.6生成函数 458
36.7伯努利数与伯努利多项式 458
36.8分拆的个数 459
36.9华林公式 460
解答 460
第37章 有限差分的计算 472
37.1有限差分的性质 472
37.2广义幂 473
37.3欧拉的求和公式 473
解答 474
第38章 平面曲线 476
38.1极坐标 476
38.2曲线族的包络 477
38.3曲率 480
38.4密切圆 481
38.5焦点与渐屈线 482
解答 483
第39章 集合论 490
39.1有限集 490
39.2集合的运算 490
39.3等势集 491
39.4可数集 491
39.5连续统的势 492
39.6势的性质 492
39.7集合论的悖论 493
解答 493
第40章 补充 498
40.1圆的有理参数化 498
40.2多项式的平方和 501
40.3将一个数表示为两个平方之和的形式 503
40.4正17边形的作法 505
40.5尺规作图 508
40.6图的颜色多项式 514
40.7数e与π的超越性 516
40.8用根式解方程的可能性 520
40.9多项式的丢番图方程 529
40.10等差数列的范·德·瓦尔登定理 533
40.11一些数学术语的起源 536