第一篇 复变函数 3
第1章 复数与复变函数 3
1.1复数概念及其运算 3
1.1.1复数概念 3
1.1.2复数的基本代数运算 4
1.2复数的表示 4
1.2.1复数的几何表示 4
1.2.2复数的三角表示 6
1.2.3复数的指数表示 6
1.2.4共轭复数 7
1.2.5复球面、无穷远点 7
1.3复数的乘幂与方根 8
1.3.1复数的乘幂 8
1.3.2复数的方根 9
1.3.3实践编程：正十七边形的几何作图法 10
1.4区域 11
1.4.1基本概念 11
1.4.2区域的判断方法及实例分析 14
1.5复变函数 14
1.5.1复变函数概念 14
1.5.2复变函数的几何意义——映射 15
1.6复变函数的极限 16
1.6.1复变函数极限概念 16
1.6.2复变函数极限的基本定理 17
1.7复变函数的连续 18
1.7.1复变函数连续的概念 18
1.7.2复变函数连续的基本定理 18
1.8典型综合实例 19
小结 23
习题1 25
计算机仿真编程实践 26
第2章 解析函数 28
2.1复变函数导数与微分 28
2.1.1复变函数的导数 28
2.1.2复变函数的微分概念 30
2.1.3可导的必要条件 30
2.1.4可导的充分必要条件 32
2.1.5求导法则 33
2.1.6复变函数导数的几何意义 34
2.2解析函数 35
2.2.1解析函数的概念 35
2.2.2解析函数的法则 36
2.2.3函数解析的充分必要条件 37
2.2.4解析函数的几何意义（映射的保角性） 39
2.3初等解析函数 40
2.3.1指数函数（单值函数） 40
2.3.2对数函数——指数函数的反函数（多值函数） 41
2.3.3三角函数（单值函数） 43
2.3.4反三角函数（多值函数） 45
2.3.5双曲函数（单值函数） 46
2.3.6反双曲函数（多值函数） 47
2.3.7 整幂函数z n（单值函数） 47
2.3.8一般幂函数与根式函数w=n？z（多值函数） 48
2.3.9多值函数的基本概念 49
2.4解析函数与调和函数的关系 51
2.4.1调和函数与共轭调和函数的概念 51
2.4.2解析函数与调和函数之间的关系 51
2.4.3解析函数的构建方法 52
2.5解析函数的物理意义——平面矢量场 53
2.5.1用解析函数表述平面矢量场 53
2.5.2静电场的复势 54
2.6典型综合实例 56
小结 58
习题2 59
计算机仿真编程实践 60
第3章 复变函数的积分 61
3.1复变函数积分及性质 61
3.1.1复变函数积分的概念 61
3.1.2复积分存在的条件及计算方法 62
3.1.3复积分的基本性质 62
3.1.4复积分的计算典型实例 63
3.1.5复变函数环路积分的物理意义 64
3.2柯西积分定理及其应用 65
3.2.1柯西积分定理 65
3.2.2不定积分 66
3.2.3典型应用实例 68
3.2.4柯西积分定理（柯西-古萨定理）的物理意义 68
3.3基本定理的推广——复合闭路定理 69
3.4柯西积分公式 72
3.4.1有界区域的单连通柯西积分公式 72
3.4.2有界区域的复连通柯西积分公式 73
3.4.3无界区域的柯西积分公式 74
3.5柯西积分公式的几个重要推论 76
3.5.1解析函数的无限次可微性（高阶导数公式） 76
3.5.2解析函数的平均值公式 78
3.5.3柯西不等式 78
3.5.4刘维尔定理 79
3.5.5莫勒纳定理 79
3.5.6最大模原理 79
3.5.7代数基本定理 80
3.6典型综合实例 80
小结 85
习题3 86
计算机仿真编程实践 88
第4章 解析函数的幂级数表示 89
4.1复数项级数的基本概念 89
4.1.1复数项级数概念 89
4.1.2复数项级数的判断准则和定理 89
4.2复变函数项级数 91
4.3幂级数 93
4.3.1幂级数概念 93
4.3.2收敛圆与收敛半径 94
4.3.3收敛半径的求法 95
4.4解析函数的泰勒级数展开式 98
4.4.1泰勒级数 98
4.4.2将函数展开成泰勒级数的方法 99
4.5罗朗级数及展开方法 100
4.5.1罗朗级数 100
4.5.2罗朗级数展开方法实例 103
4.5.3用级数展开法计算闭合环路积分 105
4.6典型综合实例 105
小结 108
习题4 110
计算机仿真编程实践 112
第5章 留数定理 113
5.1解析函数的孤立奇点 113
5.1.1孤立奇点概念 113
5.1.2孤立奇点的分类及其判断定理 113
5.2解析函数在无穷远点的性质 117
5.3留数概念 118
5.4留数定理与留数和定理 120
5.5留数的计算方法 121
5.5.1有限远点留数的计算方法 121
5.5.2无穷远点的留数计算方法 123
5.6用留数定理计算实积分 125
5.6.1 ∫2π 0 R（cosθ，sinθ）dθ型积分 125
5.6.2 ∫＋∞-∞ P（x）/Q（x）dx型积分 127
5.6.3 ∫＋∞-∞ f（x）e iax dx（a＞0）型积分 128
5.6.4其他类型（积分路径上有奇点）的积分计算举例 130
5.7典型综合实例 132
小结 136
习题5 137
计算机仿真编程实践 139
第6章 保角映射 140
6.1保角映射的概念 140
6.2分式线性映射 141
6.2.1分式线性映射的概念 141
6.2.2两种基本映射 142
6.2.3分式线性映射的性质 143
6.2.4分式线性映射的确定及应用 145
6.2.5三类典型的分式线性映射 148
6.3几个初等函数所构成的映射 150
6.3.1幂函数映射 150
6.3.2指数函数w=e z映射 151
6.3.3儒可夫斯基函数映射 152
6.4典型综合实例 153
小结 156
习题6 157
计算机仿真编程实践 158
第一篇复变函数论全篇总结框图 158
第一篇综合测试题 159
第二篇 数学物理方程 162
第7章 数学建模——数学物理定解问题 162
7.1数学建模——波动方程类型的建立 163
7.1.1波动方程的建立 163
7.1.2波动方程的定解条件 169
7.2数学建模——热传导方程类型的建立 171
7.2.1数学物理方程——热传导类型方程的建立 171
7.2.2热传导（或扩散）方程的定解条件 174
7.3数学建模——稳定场方程类型的建立 175
7.3.1稳定场方程类型的建立 175
7.3.2泊松方程和拉普拉斯方程的定解条件 176
7.4数学物理定解理论 177
7.4.1定解条件和定解问题的提法 177
7.4.2数学物理定解问题的适定性 178
7.4.3数学物理定解问题的求解方法 178
7.5典型综合实例 178
小结 181
习题7 181
计算机仿真编程实践 182
第8章 二阶线性偏微分方程的分类 183
8.1基本概念 183
8.2数学物理方程的分类 184
8.3二阶线性偏微分方程标准化 187
8.4线性偏微分方程解的特征 190
8.5典型综合实例 191
小结 192
习题8 193
计算机仿真编程实践 193
第9章 行波法与达朗贝尔公式 194
9.1二阶线性偏微分方程的通解 194
9.2二阶线性偏微分方程的行波解 195
9.3达朗贝尔公式 196
9.3.1一维波动方程的达朗贝尔公式 196
9.3.2达朗贝尔公式的物理意义 197
9.4达朗贝尔公式的应用 197
9.4.1齐次偏微分方程求解 197
9.4.2非齐次偏微分方程的求解 200
9.5定解问题的适定性验证 201
9.6典型综合实例 202
小结 205
习题9 206
计算机仿真编程实践 206
第10章 分离变量法 207
10.1分离变量理论 207
10.1.1偏微分方程变量分离及条件 207
10.1.2边界条件可实施变量分离的条件 208
10.2直角坐标系下的分离变量法 208
10.2.1分离变量法介绍 208
10.2.2解的物理意义 211
10.2.3三维形式的直角坐标分离变量 212
10.2.4直角坐标系分离变量例题分析 213
10.3二维极坐标系下拉普拉斯方程的分离变量法 217
10.4球坐标系下的分离变量法 219
10.4.1拉普拉斯方程Δu=0的分离变量（与时间无关） 219
10.4.2与时间有关的方程的分离变量 221
10.4.3亥姆霍兹方程的分离变量 222
10.5柱坐标系下的分离变量 223
10.5.1与时间无关的拉普拉斯方程分离变量 223
10.5.2与时间相关的方程的分离变量 225
10.6非齐次二阶线性偏微分方程的解法 225
10.6.1泊松方程非齐次方程的特解法 225
10.6.2非齐次偏微分方程的傅里叶级数解法 227
10.7非齐次边界条件的处理 229
10.8典型综合实例 231
小结 235
习题10 237
计算机仿真编程实践 239
第11章 幂级数解法——本征值问题 240
11.1二阶常微分方程的幂级数解法 240
11.1.1幂级数解法理论概述 240
11.1.2常点邻域上的幂级数解法（勒让德方程的求解） 241
11.1.3奇点邻域的级数解法（贝塞尔方程的求解） 243
11.2施图姆-刘维尔本征值 246
11.2.1施图姆-刘维尔本征值问题 246
11.2.2施图姆-刘维尔本征值问题的性质 247
11.2.3广义傅里叶级数 249
11.2.4复数的本征函数族 249
11.2.5希尔伯特空间矢量分解 250
11.3综合实例 250
小结 251
习题11 252
计算机仿真编程实践 252
第12章 格林函数法 253
12.1格林公式 253
12.2解泊松方程的格林函数法 253
12.3无界空间的格林函数基本解 256
12.3.1三维球对称情形 257
12.3.2二维轴对称情形 257
12.4用电像法确定格林函数 258
12.4.1上半平面区域第一边值问题的格林函数构建方法 259
12.4.2上半空间内求解拉普拉斯方程的第一边值问题 260
12.4.3圆形区域第一边值问题的格林函数构建 261
12.4.4球形区域第一边值问题的格林函数构建 262
12.5典型综合实例 264
小结 265
习题12 266
计算机仿真编程实践 267
第13章 积分变换法求解定解问题 268
13.1傅里叶变换及性质 268
13.1.1傅里叶变换 268
13.1.2广义傅里叶变换 269
13.1.3傅里叶变换的基本性质 271
13.2拉普拉斯变换及性质 276
13.2.1拉普拉斯变换 276
13.2.2拉普拉斯变换的性质 278
13.2.3拉普拉斯变换的反演 281
13.3傅里叶变换法解数学物理定解问题 283
13.3.1弦振动问题 284
13.3.2热传导问题 285
13.3.3稳定场问题 286
13.4拉普拉斯变换解数学物理定解问题 288
13.4.1无界区域的问题 288
13.4.2半无界区域的问题 288
小结 290
习题13 292
第14章 保角变换法求解定解问题 294
14.1保角变换与拉普拉斯方程边值问题的关系 294
14.2保角变换法求解定解问题典型实例 295
习题14 299
计算机仿真编程实践 299
第15章 数学物理方程综述 300
15.1线性偏微分方程解法综述 300
15.2非线性偏微分方程 301
15.2.1孤立波 302
15.2.2冲击波 303
小结 304
第二篇综合测试题 305
第三篇 特殊函数 308
第16章 勒让德多项式——球函数 308
16.1勒让德方程及其解的表示 308
16.1.1勒让德方程、勒让德多项式 308
16.1.2勒让德多项式的表示 308
16.2勒让德多项式的性质及其应用 311
16.2.1勒让德多项式的性质 311
16.2.2勒让德多项式的应用（广义傅里叶级数展开） 313
16.3勒让德多项式的生成函数（母函数） 315
16.3.1勒让德多项式的生成函数的定义 315
16.3.2勒让德多项式的递推公式 316
16.4连带勒让德函数 318
16.4.1连带勒让德函数的定义 318
16.4.2连带勒让德函数的微分表示 319
16.4.3连带勒让德函数的积分表示 320
16.4.4连带勒让德函数的正交关系与模的公式 320
16.4.5连带勒让德函数——广义傅里叶级数 320
16.4.6连带勒让德函数的递推公式 321
16.5球函数 321
16.5.1球函数的方程及其解 321
16.5.2球函数的正交关系和模的公式 322
16.5.3球面上函数的广义傅里叶级数 323
16.5.4拉普拉斯方程的非轴对称定解问题 324
16.6典型综合实例 325
小结 328
习题16 331
计算机仿真编程实践 331
第17章 贝塞尔函数 332
17.1贝塞尔方程及其解 332
17.1.1贝塞尔方程 332
17.1.2贝塞尔方程的解 333
17.2三类贝塞尔函数的表示式及性质 333
17.2.1第一类贝塞尔函数 333
17.2.2第二类贝塞尔函数 335
17.2.3第三类贝塞尔函数 335
17.3贝塞尔函数的基本性质 336
17.3.1贝塞尔函数的递推公式 336
17.3.2贝塞尔函数与本征值问题 338
17.3.3贝塞尔函数的正交性和模 340
17.3.4广义傅里叶-贝塞尔级数 341
17.3.5贝塞尔函数的母函数（生成函数） 342
17.4虚宗量贝塞尔方程及其解 343
17.4.1虚宗量贝塞尔方程的解 343
17.4.2第一类虚宗量贝塞尔函数的性质 344
17.4.3第二类虚宗量贝塞尔函数的性质 345
17.5球贝塞尔方程及其解 345
17.5.1球贝塞尔方程 345
17.5.2球贝塞尔方程的解 345
17.5.3球贝塞尔函数的级数表示 346
17.5.4球贝塞尔函数的递推公式 346
17.5.5球贝塞尔函数的初等函数表示式 346
17.5.6球形区域内的球贝塞尔方程的本征值问题 347
17.6典型综合实例 348
小结 350
习题17 352
计算机仿真编程实践 353
第三篇综合测试题 353
第四篇 计算机仿真与实践 355
第18章 计算机仿真在复变函数中的应用 355
18.1复数运算和复变函数的图形 355
18.1.1复数的基本运算 355
18.1.2复数的运算 355
18.1.3复变函数的图形 357
18.2复变函数的极限与导数、解析函数 360
18.2.1复变函数的极限 360
18.2.2复变函数的导数 361
18.2.3解析函数 361
18.3复变函数的积分与留数定理 362
18.3.1非闭合路径的积分计算 362
18.3.2闭合路径的积分计算 362
18.4复变函数级数 364
18.4.1复变函数级数的收敛及其收敛半径 364
18.4.2单变量函数的泰勒级数展开 365
18.4.3多变量函数的泰勒级数展开 366
18.5傅里叶变换及其逆变换 367
18.5.1傅里叶积分变换 367
18.5.2傅里叶逆变换 368
18.6拉普拉斯变换及其逆变换 368
18.6.1拉普拉斯变换 368
18.6.2拉普拉斯逆变换 369
计算机仿真编程实践 370
第19章 数学物理方程的计算机仿真求解 371
19.1用偏微分方程工具箱求解偏微分方程 371
19.1.1用GUI解PDE问题 371
19.1.2计算结果的可视化 372
19.2计算机仿真编程求解偏微分方程 374
19.2.1双曲型：波动方程的求解 374
19.2.2抛物型：热传导方程的求解 377
19.2.3椭圆型：稳定场方程的求解 379
19.2.4点源泊松方程的适应解 381
19.2.5亥姆霍兹方程的求解 382
19.3定解问题的计算机仿真显示 383
19.3.1波动方程解的动态演示 384
19.3.2热传导方程解的分布 385
19.3.3泊松方程解的分布 386
19.3.4格林函数解的分布 387
19.3.5本征值问题中本征函数的分布 388
计算机仿真编程实践 389
第20章 特殊函数的计算机仿真应用 390
20.1连带勒让德函数、勒让德多项式、球函数 390
20.1.1连带勒让德函数 390
20.1.2勒让德多项式 390
20.1.3球函数 391
20.1.4勒让德多项式的母函数图形 391
20.2贝塞尔函数（柱函数）及其性质 392
20.2.1贝塞尔函数及仿真 392
20.2.2虚宗量贝塞尔函数 394
20.2.3球贝塞尔函数的图形 394
20.2.4平面波用柱面波形式展开 395
20.2.5定解问题的图形显示 396
20.3其他特殊函数 397
计算机仿真编程实践 397
第21章 数学物理方法仿真实践 398
21.1复变函数仿真实践 398
21.2数学物理方程仿真实践 400
21.2.1基模高斯光束的传输特性仿真 400
21.2.2光子晶体中本征值问题的仿真 403
21.3特殊函数应用仿真实践——布拉格光纤光传输特性仿真 405
参考文献 410