数学物理方法与仿真 第3版PDF电子书下载

第一篇 复变函数 3

第1章 复数与复变函数 3

1.1复数概念及其运算 3

1.1.1复数概念 3

1.1.2复数的基本代数运算 4

1.2复数的表示 4

1.2.1复数的几何表示 4

1.2.2复数的三角表示 6

1.2.3复数的指数表示 6

1.2.4共轭复数 7

1.2.5复球面、无穷远点 7

1.3复数的乘幂与方根 8

1.3.1复数的乘幂 8

1.3.2复数的方根 9

1.3.3实践编程：正十七边形的几何作图法 10

1.4区域 11

1.4.1基本概念 11

1.4.2区域的判断方法及实例分析 14

1.5复变函数 14

1.5.1复变函数概念 14

1.5.2复变函数的几何意义——映射 15

1.6复变函数的极限 16

1.6.1复变函数极限概念 16

1.6.2复变函数极限的基本定理 17

1.7复变函数的连续 18

1.7.1复变函数连续的概念 18

1.7.2复变函数连续的基本定理 18

1.8典型综合实例 19

小结 23

习题1 25

计算机仿真编程实践 26

第2章 解析函数 28

2.1复变函数导数与微分 28

2.1.1复变函数的导数 28

2.1.2复变函数的微分概念 30

2.1.3可导的必要条件 30

2.1.4可导的充分必要条件 32

2.1.5求导法则 33

2.1.6复变函数导数的几何意义 34

2.2解析函数 35

2.2.1解析函数的概念 35

2.2.2解析函数的法则 36

2.2.3函数解析的充分必要条件 37

2.2.4解析函数的几何意义（映射的保角性） 39

2.3初等解析函数 40

2.3.1指数函数（单值函数） 40

2.3.2对数函数——指数函数的反函数（多值函数） 41

2.3.3三角函数（单值函数） 43

2.3.4反三角函数（多值函数） 45

2.3.5双曲函数（单值函数） 46

2.3.6反双曲函数（多值函数） 47

2.3.7 整幂函数z n（单值函数） 47

2.3.8一般幂函数与根式函数w=n？z（多值函数） 48

2.3.9多值函数的基本概念 49

2.4解析函数与调和函数的关系 51

2.4.1调和函数与共轭调和函数的概念 51

2.4.2解析函数与调和函数之间的关系 51

2.4.3解析函数的构建方法 52

2.5解析函数的物理意义——平面矢量场 53

2.5.1用解析函数表述平面矢量场 53

2.5.2静电场的复势 54

2.6典型综合实例 56

小结 58

习题2 59

计算机仿真编程实践 60

第3章 复变函数的积分 61

3.1复变函数积分及性质 61

3.1.1复变函数积分的概念 61

3.1.2复积分存在的条件及计算方法 62

3.1.3复积分的基本性质 62

3.1.4复积分的计算典型实例 63

3.1.5复变函数环路积分的物理意义 64

3.2柯西积分定理及其应用 65

3.2.1柯西积分定理 65

3.2.2不定积分 66

3.2.3典型应用实例 68

3.2.4柯西积分定理（柯西-古萨定理）的物理意义 68

3.3基本定理的推广——复合闭路定理 69

3.4柯西积分公式 72

3.4.1有界区域的单连通柯西积分公式 72

3.4.2有界区域的复连通柯西积分公式 73

3.4.3无界区域的柯西积分公式 74

3.5柯西积分公式的几个重要推论 76

3.5.1解析函数的无限次可微性（高阶导数公式） 76

3.5.2解析函数的平均值公式 78

3.5.3柯西不等式 78

3.5.4刘维尔定理 79

3.5.5莫勒纳定理 79

3.5.6最大模原理 79

3.5.7代数基本定理 80

3.6典型综合实例 80

小结 85

习题3 86

计算机仿真编程实践 88

第4章 解析函数的幂级数表示 89

4.1复数项级数的基本概念 89

4.1.1复数项级数概念 89

4.1.2复数项级数的判断准则和定理 89

4.2复变函数项级数 91

4.3幂级数 93

4.3.1幂级数概念 93

4.3.2收敛圆与收敛半径 94

4.3.3收敛半径的求法 95

4.4解析函数的泰勒级数展开式 98

4.4.1泰勒级数 98

4.4.2将函数展开成泰勒级数的方法 99

4.5罗朗级数及展开方法 100

4.5.1罗朗级数 100

4.5.2罗朗级数展开方法实例 103

4.5.3用级数展开法计算闭合环路积分 105

4.6典型综合实例 105

小结 108

习题4 110

计算机仿真编程实践 112

第5章 留数定理 113

5.1解析函数的孤立奇点 113

5.1.1孤立奇点概念 113

5.1.2孤立奇点的分类及其判断定理 113

5.2解析函数在无穷远点的性质 117

5.3留数概念 118

5.4留数定理与留数和定理 120

5.5留数的计算方法 121

5.5.1有限远点留数的计算方法 121

5.5.2无穷远点的留数计算方法 123

5.6用留数定理计算实积分 125

5.6.1 ∫2π 0 R（cosθ，sinθ）dθ型积分 125

5.6.2 ∫＋∞-∞ P（x）/Q（x）dx型积分 127

5.6.3 ∫＋∞-∞ f（x）e iax dx（a＞0）型积分 128

5.6.4其他类型（积分路径上有奇点）的积分计算举例 130

5.7典型综合实例 132

小结 136

习题5 137

计算机仿真编程实践 139

第6章 保角映射 140

6.1保角映射的概念 140

6.2分式线性映射 141

6.2.1分式线性映射的概念 141

6.2.2两种基本映射 142

6.2.3分式线性映射的性质 143

6.2.4分式线性映射的确定及应用 145

6.2.5三类典型的分式线性映射 148

6.3几个初等函数所构成的映射 150

6.3.1幂函数映射 150

6.3.2指数函数w=e z映射 151

6.3.3儒可夫斯基函数映射 152

6.4典型综合实例 153

小结 156

习题6 157

计算机仿真编程实践 158

第一篇复变函数论全篇总结框图 158

第一篇综合测试题 159

第二篇 数学物理方程 162

第7章 数学建模——数学物理定解问题 162

7.1数学建模——波动方程类型的建立 163

7.1.1波动方程的建立 163

7.1.2波动方程的定解条件 169

7.2数学建模——热传导方程类型的建立 171

7.2.1数学物理方程——热传导类型方程的建立 171

7.2.2热传导（或扩散）方程的定解条件 174

7.3数学建模——稳定场方程类型的建立 175

7.3.1稳定场方程类型的建立 175

7.3.2泊松方程和拉普拉斯方程的定解条件 176

7.4数学物理定解理论 177

7.4.1定解条件和定解问题的提法 177

7.4.2数学物理定解问题的适定性 178

7.4.3数学物理定解问题的求解方法 178

7.5典型综合实例 178

小结 181

习题7 181

计算机仿真编程实践 182

第8章 二阶线性偏微分方程的分类 183

8.1基本概念 183

8.2数学物理方程的分类 184

8.3二阶线性偏微分方程标准化 187

8.4线性偏微分方程解的特征 190

8.5典型综合实例 191

小结 192

习题8 193

计算机仿真编程实践 193

第9章 行波法与达朗贝尔公式 194

9.1二阶线性偏微分方程的通解 194

9.2二阶线性偏微分方程的行波解 195

9.3达朗贝尔公式 196

9.3.1一维波动方程的达朗贝尔公式 196

9.3.2达朗贝尔公式的物理意义 197

9.4达朗贝尔公式的应用 197

9.4.1齐次偏微分方程求解 197

9.4.2非齐次偏微分方程的求解 200

9.5定解问题的适定性验证 201

9.6典型综合实例 202

小结 205

习题9 206

计算机仿真编程实践 206

第10章 分离变量法 207

10.1分离变量理论 207

10.1.1偏微分方程变量分离及条件 207

10.1.2边界条件可实施变量分离的条件 208

10.2直角坐标系下的分离变量法 208

10.2.1分离变量法介绍 208

10.2.2解的物理意义 211

10.2.3三维形式的直角坐标分离变量 212

10.2.4直角坐标系分离变量例题分析 213

10.3二维极坐标系下拉普拉斯方程的分离变量法 217

10.4球坐标系下的分离变量法 219

10.4.1拉普拉斯方程Δu=0的分离变量（与时间无关） 219

10.4.2与时间有关的方程的分离变量 221

10.4.3亥姆霍兹方程的分离变量 222

10.5柱坐标系下的分离变量 223

10.5.1与时间无关的拉普拉斯方程分离变量 223

10.5.2与时间相关的方程的分离变量 225

10.6非齐次二阶线性偏微分方程的解法 225

10.6.1泊松方程非齐次方程的特解法 225

10.6.2非齐次偏微分方程的傅里叶级数解法 227

10.7非齐次边界条件的处理 229

10.8典型综合实例 231

小结 235

习题10 237

计算机仿真编程实践 239

第11章 幂级数解法——本征值问题 240

11.1二阶常微分方程的幂级数解法 240

11.1.1幂级数解法理论概述 240

11.1.2常点邻域上的幂级数解法（勒让德方程的求解） 241

11.1.3奇点邻域的级数解法（贝塞尔方程的求解） 243

11.2施图姆-刘维尔本征值 246

11.2.1施图姆-刘维尔本征值问题 246

11.2.2施图姆-刘维尔本征值问题的性质 247

11.2.3广义傅里叶级数 249

11.2.4复数的本征函数族 249

11.2.5希尔伯特空间矢量分解 250

11.3综合实例 250

小结 251

习题11 252

计算机仿真编程实践 252

第12章 格林函数法 253

12.1格林公式 253

12.2解泊松方程的格林函数法 253

12.3无界空间的格林函数基本解 256

12.3.1三维球对称情形 257

12.3.2二维轴对称情形 257

12.4用电像法确定格林函数 258

12.4.1上半平面区域第一边值问题的格林函数构建方法 259

12.4.2上半空间内求解拉普拉斯方程的第一边值问题 260

12.4.3圆形区域第一边值问题的格林函数构建 261

12.4.4球形区域第一边值问题的格林函数构建 262

12.5典型综合实例 264

小结 265

习题12 266

计算机仿真编程实践 267

第13章 积分变换法求解定解问题 268

13.1傅里叶变换及性质 268

13.1.1傅里叶变换 268

13.1.2广义傅里叶变换 269

13.1.3傅里叶变换的基本性质 271

13.2拉普拉斯变换及性质 276

13.2.1拉普拉斯变换 276

13.2.2拉普拉斯变换的性质 278

13.2.3拉普拉斯变换的反演 281

13.3傅里叶变换法解数学物理定解问题 283

13.3.1弦振动问题 284

13.3.2热传导问题 285

13.3.3稳定场问题 286

13.4拉普拉斯变换解数学物理定解问题 288

13.4.1无界区域的问题 288

13.4.2半无界区域的问题 288

小结 290

习题13 292

第14章 保角变换法求解定解问题 294

14.1保角变换与拉普拉斯方程边值问题的关系 294

14.2保角变换法求解定解问题典型实例 295

习题14 299

计算机仿真编程实践 299

第15章 数学物理方程综述 300

15.1线性偏微分方程解法综述 300

15.2非线性偏微分方程 301

15.2.1孤立波 302

15.2.2冲击波 303

小结 304

第二篇综合测试题 305

第三篇 特殊函数 308

第16章 勒让德多项式——球函数 308

16.1勒让德方程及其解的表示 308

16.1.1勒让德方程、勒让德多项式 308

16.1.2勒让德多项式的表示 308

16.2勒让德多项式的性质及其应用 311

16.2.1勒让德多项式的性质 311

16.2.2勒让德多项式的应用（广义傅里叶级数展开） 313

16.3勒让德多项式的生成函数（母函数） 315

16.3.1勒让德多项式的生成函数的定义 315

16.3.2勒让德多项式的递推公式 316

16.4连带勒让德函数 318

16.4.1连带勒让德函数的定义 318

16.4.2连带勒让德函数的微分表示 319

16.4.3连带勒让德函数的积分表示 320

16.4.4连带勒让德函数的正交关系与模的公式 320

16.4.5连带勒让德函数——广义傅里叶级数 320

16.4.6连带勒让德函数的递推公式 321

16.5球函数 321

16.5.1球函数的方程及其解 321

16.5.2球函数的正交关系和模的公式 322

16.5.3球面上函数的广义傅里叶级数 323

16.5.4拉普拉斯方程的非轴对称定解问题 324

16.6典型综合实例 325

小结 328

习题16 331

计算机仿真编程实践 331

第17章 贝塞尔函数 332

17.1贝塞尔方程及其解 332

17.1.1贝塞尔方程 332

17.1.2贝塞尔方程的解 333

17.2三类贝塞尔函数的表示式及性质 333

17.2.1第一类贝塞尔函数 333

17.2.2第二类贝塞尔函数 335

17.2.3第三类贝塞尔函数 335

17.3贝塞尔函数的基本性质 336

17.3.1贝塞尔函数的递推公式 336

17.3.2贝塞尔函数与本征值问题 338

17.3.3贝塞尔函数的正交性和模 340

17.3.4广义傅里叶-贝塞尔级数 341

17.3.5贝塞尔函数的母函数（生成函数） 342

17.4虚宗量贝塞尔方程及其解 343

17.4.1虚宗量贝塞尔方程的解 343

17.4.2第一类虚宗量贝塞尔函数的性质 344

17.4.3第二类虚宗量贝塞尔函数的性质 345

17.5球贝塞尔方程及其解 345

17.5.1球贝塞尔方程 345

17.5.2球贝塞尔方程的解 345

17.5.3球贝塞尔函数的级数表示 346

17.5.4球贝塞尔函数的递推公式 346

17.5.5球贝塞尔函数的初等函数表示式 346

17.5.6球形区域内的球贝塞尔方程的本征值问题 347

17.6典型综合实例 348

小结 350

习题17 352

计算机仿真编程实践 353

第三篇综合测试题 353

第四篇 计算机仿真与实践 355

第18章 计算机仿真在复变函数中的应用 355

18.1复数运算和复变函数的图形 355

18.1.1复数的基本运算 355

18.1.2复数的运算 355

18.1.3复变函数的图形 357

18.2复变函数的极限与导数、解析函数 360

18.2.1复变函数的极限 360

18.2.2复变函数的导数 361

18.2.3解析函数 361

18.3复变函数的积分与留数定理 362

18.3.1非闭合路径的积分计算 362

18.3.2闭合路径的积分计算 362

18.4复变函数级数 364

18.4.1复变函数级数的收敛及其收敛半径 364

18.4.2单变量函数的泰勒级数展开 365

18.4.3多变量函数的泰勒级数展开 366

18.5傅里叶变换及其逆变换 367

18.5.1傅里叶积分变换 367

18.5.2傅里叶逆变换 368

18.6拉普拉斯变换及其逆变换 368

18.6.1拉普拉斯变换 368

18.6.2拉普拉斯逆变换 369

计算机仿真编程实践 370

第19章 数学物理方程的计算机仿真求解 371

19.1用偏微分方程工具箱求解偏微分方程 371

19.1.1用GUI解PDE问题 371

19.1.2计算结果的可视化 372

19.2计算机仿真编程求解偏微分方程 374

19.2.1双曲型：波动方程的求解 374

19.2.2抛物型：热传导方程的求解 377

19.2.3椭圆型：稳定场方程的求解 379

19.2.4点源泊松方程的适应解 381

19.2.5亥姆霍兹方程的求解 382

19.3定解问题的计算机仿真显示 383

19.3.1波动方程解的动态演示 384

19.3.2热传导方程解的分布 385

19.3.3泊松方程解的分布 386

19.3.4格林函数解的分布 387

19.3.5本征值问题中本征函数的分布 388

计算机仿真编程实践 389

第20章 特殊函数的计算机仿真应用 390

20.1连带勒让德函数、勒让德多项式、球函数 390

20.1.1连带勒让德函数 390

20.1.2勒让德多项式 390

20.1.3球函数 391

20.1.4勒让德多项式的母函数图形 391

20.2贝塞尔函数（柱函数）及其性质 392

20.2.1贝塞尔函数及仿真 392

20.2.2虚宗量贝塞尔函数 394

20.2.3球贝塞尔函数的图形 394

20.2.4平面波用柱面波形式展开 395

20.2.5定解问题的图形显示 396

20.3其他特殊函数 397

计算机仿真编程实践 397

第21章 数学物理方法仿真实践 398

21.1复变函数仿真实践 398

21.2数学物理方程仿真实践 400

21.2.1基模高斯光束的传输特性仿真 400

21.2.2光子晶体中本征值问题的仿真 403

21.3特殊函数应用仿真实践——布拉格光纤光传输特性仿真 405

参考文献 410