第一章 离散时间Markov链 1
1 转移概率与Chapman-Kolmogorov方程 1
1.定义与例子 1
2.Chapman-Kolmogorov方程 3
2 状态分类 5
1.相通状态 5
2.常返状态与非常返状态 7
3.随机游动 9
4.一个应用例子 12
5.Stirling公式 13
3 极限概率 13
1.极限概率 14
2.一些例子 15
3.平稳分布 20
1.赌徒破产问题 22
4 赌徒破产问题及其在药物试验中的应用 22
2.赌徒破产问题在药物试验中的应用 24
5 处于非常返状态的平均时间 25
1.非常返状态的逗留时间 25
2.非常返状态的到达概率 27
第二章 Poisson过程 29
1 Poisson过程的定义 29
1.计数过程 29
2.Poisson过程 30
2 Poisson过程的性质 32
1.到达时间间隔 32
2.等待时间 33
3.Poisson过程的分解 34
4.一个概率计算问题 37
5.到达时间的条件分布 38
3 Poisson过程的应用举例 40
1.定义 46
第三章 Brown运动 46
1 Brown运动的定义及一些基本性质 46
2.关于Brown运动的一些分布函数 48
3.首中时刻 49
4.最大值变量 50
5.Brown运动的零点与Arcsine律 50
2 与Brown运动有关的过程 52
1.有飘移的Brown运动 52
2.几何Brown运动 52
第四章 随机过程的公理化定义 54
1 概率空间 54
1.集合论中的一些基本概念 54
2.概率空间的定义 55
3.概率空间的一般性质 55
2 随机变量与条件期望 57
1.随机变量与期望 57
2.条件期望 58
3.独立性 59
3 构造特殊的概率空间 59
1.确定事件与概率 59
2.存在性定理 60
3.有限维欧几里得空间上的概率 60
4.函数空间上的概率 60
5.完备概率空间 61
4 随机过程 61
1.过滤的概率空间 61
2.随机过程 62
3.Markov链 62
4.鞅 62
5.停时 62
6.计数过程 63
1.Radon-Nikodym定理 64
2.测度变换下的性质 64
5 测度变换 64
3.Girsanov定理 65
第五章 离散时间鞅 67
1 条件期望 67
1.概率空间与变量 67
2.条件期望 68
2 鞅与下鞅 71
1.定义与例子 71
2.鞅变换 73
3.Doob可选停时定理 73
4.Doob可选停时定理的一个应用 74
5.Doob分解定理 75
3 逆向随机游动 76
1.逆向随机游动 76
2.投票定理 77
1.基本过程 78
第六章 连续时间鞅 78
1 Brown运动与Poisson过程 78
2.关于鞅的基本结论 81
2 二次变差过程 82
1.Doob-Meyer分解定理 82
2.连续平方可积鞅 82
3.二次变差过程的另一种解释 84
3 关于连续平方可积鞅的随机积分 84
1.连续平方可积鞅的轨道 84
2.简单过程关于鞅的随机积分 85
3.一般过程关于鞅的随机积分 86
4 It?公式与随机微分方程 87
1.It?公式 87
2.随机微分方程 89
1.连续时间过程的Radon-Nikodym导数 90
2.一个简单的测度变换 90
5 测度变换与Girsanov定理 90
3.Girsanov定理 91
6 鞅方法的应用 91
1.一个引理 91
2.几何Poisson过程 92
7 关于半鞅的变量替换法则的一般形式 93
1.关于半鞅的变量替换法则的一般形式 93
2.变量替换法则的一些应用 94
第七章 寿险中的随机性 99
1 寿险数学的基本概念 99
1.引言 99
2.计数过程 100
3.随机积分 100
4.保险与年金 101
5.寿险数学基础 102
6.现值变量的期望 102
7.关于计数过程的其他例子 103
8.鞅 104
2 逐段可微函数与积分 105
1.逐段可微函数 105
2.关于函数的积分 105
3.链式法则 106
4.一些特殊情形 107
3 支付量函数 109
1.支付量函数 109
5.计数过程 109
2.利率 110
3.支付量的价值评估与准备金的概念 111
4 寿险前瞻式准备金 113
1.一般框架 113
2.Thiele微分方程 114
3.储蓄保费与风险保费 114
4.从随机过程的观点讨论寿险 115
1.Markov性质 116
第八章 寿险中的Markov链 116
1 连续时间Markov链 116
2.Markov性质的另一个定义 118
3.Chapman-Kolmogorov方程 118
4.转移强度 118
5.Kolmogorov微分方程 119
6.占位概率与似然函数 121
7.向后和向前积分方程 122
2 一些例子 122
1.只有一种死因的单个生命 122
2.有多种死因的单个生命 123
3.伤残、健康与死亡模型 124
3 齐次Markov链 125
1.矩阵符号 125
2.齐次Markov链 126
1.合同涉及的支付量 127
4 标准的多状态合同 127
2.现值变量的期望与前瞻准备金 128
3.向后(Thiele)微分方程 129
4.平衡原理 131
5.储蓄保费和风险保费 131
6.微分方程的应用 131
5 现值变量的高阶矩 132
1.现值变量的矩满足的微分方程 132
2.数值例子 134
3.寿险中的偿付能力额度 135
6 关于利率的Markov链模型 136
1.利率力过程 136
2.完整的Markov模型 136
3.组合模型的矩 137
4.组合保单的数值例子 137
7 应用鞅方法推导Thiele微分方程 139
1.连续时间破产概率 141
第九章 非寿险中的风险过程 141
1 风险过程的破产概念 141
2.离散时间破产概率 142
2 Sparre Andersen风险模型 143
1.模型的定义 143
2.关于破产概率的Lundberg不等式 144
3 应用Laplace变换求解经典风险模型的破产概率 146
1.Laplace变换 146
2.应用Laplace变换求解破产概率 147
4 索赔变量服从Phase分布时经典风险模型破产概率 148
1.Phase分布 148
2.经典风险模型中破产概率的矩阵表示 150
5 鞅方法在非寿险定价中的应用 152
1.引言 152
2.标准差原理 152
4.多周期分析——离散时间 153
3.效用函数与方差原理 153
5.多周期分析——连续时间 155
第十章 离散时间金融模型 158
1 二叉树 158
1.股票 158
2.债券 159
3.无风险组合 159
4.衍生工具价格的期望形式 160
2 二叉树模型 160
1.股票 161
2.债券 161
3.向后推导方法 162
4.二周期的树结构 162
5.路径概率 163
6.结论 166
2.概率测度 167
1.股票价格过程 167
3 二叉树表示定理 167
3.滤波 168
4.请求权 168
5.条件期望 168
6.可预期过程 169
7.鞅 170
8.二叉树表示定理 171
9.二叉树表示定理在金融上的应用 172
10.构造策略 173
11.无套利性 174
12.自融资策略的存在性 174
13.在鞅测度下求贴现请求权的期望 174
14.测度Q的存在性和唯一性 175
第十一章 连续时间金融模型 178
1 鞅表示定理 178
1.鞅的概念 178
3.无漂移项 179
2.鞅表示定理 179
4.指数鞅 180
2 构造策略 180
1.投资组合(φ,ψ) 180
2.自融资策略 180
3.随机微分方程 180
4.可复制策略 181
3 Black-Scholes模型 182
1.基本的Black-Scholes模型 182
2.零利率 182
3.可复制策略 183
4.非零利率 184
5.可复制策略 184
6.看涨期权 185
2.Markov性 186
1.引言 186
1 一些性质 186
第十二章 平稳独立增量过程 186
3.无穷可分分布与Lévy-Khintchine公式 187
4.一维Lévy过程 190
2 Lévy过程的结构 191
1.Poisson点过程 191
2.Lévy过程的分解 192
3 Feynman-Kac公式 193
1.Feynman-Kac公式 193
2.Feynman-Kac公式与偏微分方程的联系 194
3.微分方程的概率表示的应用例子:Arcsine律 196
第十三章 更新过程 198
1 基本概念 198
1.定义 198
2.计数过程N(t)的期望 199
3.E[N(t)]的上下界 200
4.一些特殊情形下E[N(t)]的解析表达式 201
2 关于更新次数的极限 202
1.强大数律 202
2.更新过程的概念推广 204
3 年龄与剩余寿命 205
1.平均剩余寿命 205
2.平均年龄 205
3.时刻t之前的平均寿命 206
4.剩余寿命的极限分布 206
5.年龄的极限分布 207
6.均衡更新过程 207
4 更新方程简介 209
1.定义 209
2.解的渐近表示 211
参考文献 212
名词索引 214