第一章 离散时间Markov链 1
1 转移概率与Chapman-Kolmogorov方程 1
1．定义与例子 1
2．Chapman-Kolmogorov方程 3
2 状态分类 5
1．相通状态 5
2．常返状态与非常返状态 7
3．随机游动 9
4．一个应用例子 12
5．Stirling公式 13
3 极限概率 13
1．极限概率 14
2．一些例子 15
3．平稳分布 20
1．赌徒破产问题 22
4 赌徒破产问题及其在药物试验中的应用 22
2．赌徒破产问题在药物试验中的应用 24
5 处于非常返状态的平均时间 25
1．非常返状态的逗留时间 25
2．非常返状态的到达概率 27
第二章 Poisson过程 29
1 Poisson过程的定义 29
1．计数过程 29
2．Poisson过程 30
2 Poisson过程的性质 32
1．到达时间间隔 32
2．等待时间 33
3．Poisson过程的分解 34
4．一个概率计算问题 37
5．到达时间的条件分布 38
3 Poisson过程的应用举例 40
1．定义 46
第三章 Brown运动 46
1 Brown运动的定义及一些基本性质 46
2．关于Brown运动的一些分布函数 48
3．首中时刻 49
4．最大值变量 50
5．Brown运动的零点与Arcsine律 50
2 与Brown运动有关的过程 52
1．有飘移的Brown运动 52
2．几何Brown运动 52
第四章 随机过程的公理化定义 54
1 概率空间 54
1．集合论中的一些基本概念 54
2．概率空间的定义 55
3．概率空间的一般性质 55
2 随机变量与条件期望 57
1．随机变量与期望 57
2．条件期望 58
3．独立性 59
3 构造特殊的概率空间 59
1．确定事件与概率 59
2．存在性定理 60
3．有限维欧几里得空间上的概率 60
4．函数空间上的概率 60
5．完备概率空间 61
4 随机过程 61
1．过滤的概率空间 61
2．随机过程 62
3．Markov链 62
4．鞅 62
5．停时 62
6．计数过程 63
1．Radon-Nikodym定理 64
2．测度变换下的性质 64
5 测度变换 64
3．Girsanov定理 65
第五章 离散时间鞅 67
1 条件期望 67
1．概率空间与变量 67
2．条件期望 68
2 鞅与下鞅 71
1．定义与例子 71
2．鞅变换 73
3．Doob可选停时定理 73
4．Doob可选停时定理的一个应用 74
5．Doob分解定理 75
3 逆向随机游动 76
1．逆向随机游动 76
2．投票定理 77
1．基本过程 78
第六章 连续时间鞅 78
1 Brown运动与Poisson过程 78
2．关于鞅的基本结论 81
2 二次变差过程 82
1．Doob-Meyer分解定理 82
2．连续平方可积鞅 82
3．二次变差过程的另一种解释 84
3 关于连续平方可积鞅的随机积分 84
1．连续平方可积鞅的轨道 84
2．简单过程关于鞅的随机积分 85
3．一般过程关于鞅的随机积分 86
4 It？公式与随机微分方程 87
1．It？公式 87
2．随机微分方程 89
1．连续时间过程的Radon-Nikodym导数 90
2．一个简单的测度变换 90
5 测度变换与Girsanov定理 90
3．Girsanov定理 91
6 鞅方法的应用 91
1．一个引理 91
2．几何Poisson过程 92
7 关于半鞅的变量替换法则的一般形式 93
1．关于半鞅的变量替换法则的一般形式 93
2．变量替换法则的一些应用 94
第七章 寿险中的随机性 99
1 寿险数学的基本概念 99
1．引言 99
2．计数过程 100
3．随机积分 100
4．保险与年金 101
5．寿险数学基础 102
6．现值变量的期望 102
7．关于计数过程的其他例子 103
8．鞅 104
2 逐段可微函数与积分 105
1．逐段可微函数 105
2．关于函数的积分 105
3．链式法则 106
4．一些特殊情形 107
3 支付量函数 109
1．支付量函数 109
5．计数过程 109
2．利率 110
3．支付量的价值评估与准备金的概念 111
4 寿险前瞻式准备金 113
1．一般框架 113
2．Thiele微分方程 114
3．储蓄保费与风险保费 114
4．从随机过程的观点讨论寿险 115
1．Markov性质 116
第八章 寿险中的Markov链 116
1 连续时间Markov链 116
2．Markov性质的另一个定义 118
3．Chapman-Kolmogorov方程 118
4．转移强度 118
5．Kolmogorov微分方程 119
6．占位概率与似然函数 121
7．向后和向前积分方程 122
2 一些例子 122
1．只有一种死因的单个生命 122
2．有多种死因的单个生命 123
3．伤残、健康与死亡模型 124
3 齐次Markov链 125
1．矩阵符号 125
2．齐次Markov链 126
1．合同涉及的支付量 127
4 标准的多状态合同 127
2．现值变量的期望与前瞻准备金 128
3．向后（Thiele）微分方程 129
4．平衡原理 131
5．储蓄保费和风险保费 131
6．微分方程的应用 131
5 现值变量的高阶矩 132
1．现值变量的矩满足的微分方程 132
2．数值例子 134
3．寿险中的偿付能力额度 135
6 关于利率的Markov链模型 136
1．利率力过程 136
2．完整的Markov模型 136
3．组合模型的矩 137
4．组合保单的数值例子 137
7 应用鞅方法推导Thiele微分方程 139
1．连续时间破产概率 141
第九章 非寿险中的风险过程 141
1 风险过程的破产概念 141
2．离散时间破产概率 142
2 Sparre Andersen风险模型 143
1．模型的定义 143
2．关于破产概率的Lundberg不等式 144
3 应用Laplace变换求解经典风险模型的破产概率 146
1．Laplace变换 146
2．应用Laplace变换求解破产概率 147
4 索赔变量服从Phase分布时经典风险模型破产概率 148
1．Phase分布 148
2．经典风险模型中破产概率的矩阵表示 150
5 鞅方法在非寿险定价中的应用 152
1．引言 152
2．标准差原理 152
4．多周期分析——离散时间 153
3．效用函数与方差原理 153
5．多周期分析——连续时间 155
第十章 离散时间金融模型 158
1 二叉树 158
1．股票 158
2．债券 159
3．无风险组合 159
4．衍生工具价格的期望形式 160
2 二叉树模型 160
1．股票 161
2．债券 161
3．向后推导方法 162
4．二周期的树结构 162
5．路径概率 163
6．结论 166
2．概率测度 167
1．股票价格过程 167
3 二叉树表示定理 167
3．滤波 168
4．请求权 168
5．条件期望 168
6．可预期过程 169
7．鞅 170
8．二叉树表示定理 171
9．二叉树表示定理在金融上的应用 172
10．构造策略 173
11．无套利性 174
12．自融资策略的存在性 174
13．在鞅测度下求贴现请求权的期望 174
14．测度Q的存在性和唯一性 175
第十一章 连续时间金融模型 178
1 鞅表示定理 178
1．鞅的概念 178
3．无漂移项 179
2．鞅表示定理 179
4．指数鞅 180
2 构造策略 180
1．投资组合（φ，ψ） 180
2．自融资策略 180
3．随机微分方程 180
4．可复制策略 181
3 Black-Scholes模型 182
1．基本的Black-Scholes模型 182
2．零利率 182
3．可复制策略 183
4．非零利率 184
5．可复制策略 184
6．看涨期权 185
2．Markov性 186
1．引言 186
1 一些性质 186
第十二章 平稳独立增量过程 186
3．无穷可分分布与Lévy-Khintchine公式 187
4．一维Lévy过程 190
2 Lévy过程的结构 191
1．Poisson点过程 191
2．Lévy过程的分解 192
3 Feynman-Kac公式 193
1．Feynman-Kac公式 193
2．Feynman-Kac公式与偏微分方程的联系 194
3．微分方程的概率表示的应用例子：Arcsine律 196
第十三章 更新过程 198
1 基本概念 198
1．定义 198
2．计数过程N（t）的期望 199
3．E［N（t）］的上下界 200
4．一些特殊情形下E［N（t）］的解析表达式 201
2 关于更新次数的极限 202
1．强大数律 202
2．更新过程的概念推广 204
3 年龄与剩余寿命 205
1．平均剩余寿命 205
2．平均年龄 205
3．时刻t之前的平均寿命 206
4．剩余寿命的极限分布 206
5．年龄的极限分布 207
6．均衡更新过程 207
4 更新方程简介 209
1．定义 209
2．解的渐近表示 211
参考文献 212
名词索引 214