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第一章 离散时间Markov链 1

1　转移概率与Chapman-Kolmogorov方程 1

1．定义与例子 1

2．Chapman-Kolmogorov方程 3

2　状态分类 5

1．相通状态 5

2．常返状态与非常返状态 7

3．随机游动 9

4．一个应用例子 12

5．Stirling公式 13

3　极限概率 13

1．极限概率 14

2．一些例子 15

3．平稳分布 20

1．赌徒破产问题 22

4　赌徒破产问题及其在药物试验中的应用 22

2．赌徒破产问题在药物试验中的应用 24

5　处于非常返状态的平均时间 25

1．非常返状态的逗留时间 25

2．非常返状态的到达概率 27

第二章 Poisson过程 29

1　Poisson过程的定义 29

1．计数过程 29

2．Poisson过程 30

2　Poisson过程的性质 32

1．到达时间间隔 32

2．等待时间 33

3．Poisson过程的分解 34

4．一个概率计算问题 37

5．到达时间的条件分布 38

3 Poisson过程的应用举例 40

1．定义 46

第三章 Brown运动 46

1　Brown运动的定义及一些基本性质 46

2．关于Brown运动的一些分布函数 48

3．首中时刻 49

4．最大值变量 50

5．Brown运动的零点与Arcsine律 50

2　与Brown运动有关的过程 52

1．有飘移的Brown运动 52

2．几何Brown运动 52

第四章 随机过程的公理化定义 54

1　概率空间 54

1．集合论中的一些基本概念 54

2．概率空间的定义 55

3．概率空间的一般性质 55

2　随机变量与条件期望 57

1．随机变量与期望 57

2．条件期望 58

3．独立性 59

3　构造特殊的概率空间 59

1．确定事件与概率 59

2．存在性定理 60

3．有限维欧几里得空间上的概率 60

4．函数空间上的概率 60

5．完备概率空间 61

4　随机过程 61

1．过滤的概率空间 61

2．随机过程 62

3．Markov链 62

4．鞅 62

5．停时 62

6．计数过程 63

1．Radon-Nikodym定理 64

2．测度变换下的性质 64

5　测度变换 64

3．Girsanov定理 65

第五章 离散时间鞅 67

1　条件期望 67

1．概率空间与变量 67

2．条件期望 68

2　鞅与下鞅 71

1．定义与例子 71

2．鞅变换 73

3．Doob可选停时定理 73

4．Doob可选停时定理的一个应用 74

5．Doob分解定理 75

3　逆向随机游动 76

1．逆向随机游动 76

2．投票定理 77

1．基本过程 78

第六章 连续时间鞅 78

1　Brown运动与Poisson过程 78

2．关于鞅的基本结论 81

2　二次变差过程 82

1．Doob-Meyer分解定理 82

2．连续平方可积鞅 82

3．二次变差过程的另一种解释 84

3　关于连续平方可积鞅的随机积分 84

1．连续平方可积鞅的轨道 84

2．简单过程关于鞅的随机积分 85

3．一般过程关于鞅的随机积分 86

4　It？公式与随机微分方程 87

1．It？公式 87

2．随机微分方程 89

1．连续时间过程的Radon-Nikodym导数 90

2．一个简单的测度变换 90

5　测度变换与Girsanov定理 90

3．Girsanov定理 91

6　鞅方法的应用 91

1．一个引理 91

2．几何Poisson过程 92

7　关于半鞅的变量替换法则的一般形式 93

1．关于半鞅的变量替换法则的一般形式 93

2．变量替换法则的一些应用 94

第七章 寿险中的随机性 99

1　寿险数学的基本概念 99

1．引言 99

2．计数过程 100

3．随机积分 100

4．保险与年金 101

5．寿险数学基础 102

6．现值变量的期望 102

7．关于计数过程的其他例子 103

8．鞅 104

2　逐段可微函数与积分 105

1．逐段可微函数 105

2．关于函数的积分 105

3．链式法则 106

4．一些特殊情形 107

3　支付量函数 109

1．支付量函数 109

5．计数过程 109

2．利率 110

3．支付量的价值评估与准备金的概念 111

4　寿险前瞻式准备金 113

1．一般框架 113

2．Thiele微分方程 114

3．储蓄保费与风险保费 114

4．从随机过程的观点讨论寿险 115

1．Markov性质 116

第八章 寿险中的Markov链 116

1　连续时间Markov链 116

2．Markov性质的另一个定义 118

3．Chapman-Kolmogorov方程 118

4．转移强度 118

5．Kolmogorov微分方程 119

6．占位概率与似然函数 121

7．向后和向前积分方程 122

2　一些例子 122

1．只有一种死因的单个生命 122

2．有多种死因的单个生命 123

3．伤残、健康与死亡模型 124

3　齐次Markov链 125

1．矩阵符号 125

2．齐次Markov链 126

1．合同涉及的支付量 127

4　标准的多状态合同 127

2．现值变量的期望与前瞻准备金 128

3．向后（Thiele）微分方程 129

4．平衡原理 131

5．储蓄保费和风险保费 131

6．微分方程的应用 131

5　现值变量的高阶矩 132

1．现值变量的矩满足的微分方程 132

2．数值例子 134

3．寿险中的偿付能力额度 135

6　关于利率的Markov链模型 136

1．利率力过程 136

2．完整的Markov模型 136

3．组合模型的矩 137

4．组合保单的数值例子 137

7　应用鞅方法推导Thiele微分方程 139

1．连续时间破产概率 141

第九章 非寿险中的风险过程 141

1　风险过程的破产概念 141

2．离散时间破产概率 142

2　Sparre Andersen风险模型 143

1．模型的定义 143

2．关于破产概率的Lundberg不等式 144

3　应用Laplace变换求解经典风险模型的破产概率 146

1．Laplace变换 146

2．应用Laplace变换求解破产概率 147

4　索赔变量服从Phase分布时经典风险模型破产概率 148

1．Phase分布 148

2．经典风险模型中破产概率的矩阵表示 150

5　鞅方法在非寿险定价中的应用 152

1．引言 152

2．标准差原理 152

4．多周期分析——离散时间 153

3．效用函数与方差原理 153

5．多周期分析——连续时间 155

第十章 离散时间金融模型 158

1　二叉树 158

1．股票 158

2．债券 159

3．无风险组合 159

4．衍生工具价格的期望形式 160

2　二叉树模型 160

1．股票 161

2．债券 161

3．向后推导方法 162

4．二周期的树结构 162

5．路径概率 163

6．结论 166

2．概率测度 167

1．股票价格过程 167

3　二叉树表示定理 167

3．滤波 168

4．请求权 168

5．条件期望 168

6．可预期过程 169

7．鞅 170

8．二叉树表示定理 171

9．二叉树表示定理在金融上的应用 172

10．构造策略 173

11．无套利性 174

12．自融资策略的存在性 174

13．在鞅测度下求贴现请求权的期望 174

14．测度Q的存在性和唯一性 175

第十一章 连续时间金融模型 178

1　鞅表示定理 178

1．鞅的概念 178

3．无漂移项 179

2．鞅表示定理 179

4．指数鞅 180

2　构造策略 180

1．投资组合（φ，ψ） 180

2．自融资策略 180

3．随机微分方程 180

4．可复制策略 181

3　Black-Scholes模型 182

1．基本的Black-Scholes模型 182

2．零利率 182

3．可复制策略 183

4．非零利率 184

5．可复制策略 184

6．看涨期权 185

2．Markov性 186

1．引言 186

1　一些性质 186

第十二章 平稳独立增量过程 186

3．无穷可分分布与Lévy-Khintchine公式 187

4．一维Lévy过程 190

2　Lévy过程的结构 191

1．Poisson点过程 191

2．Lévy过程的分解 192

3　Feynman-Kac公式 193

1．Feynman-Kac公式 193

2．Feynman-Kac公式与偏微分方程的联系 194

3．微分方程的概率表示的应用例子：Arcsine律 196

第十三章 更新过程 198

1　基本概念 198

1．定义 198

2．计数过程N（t）的期望 199

3．E［N（t）］的上下界 200

4．一些特殊情形下E［N（t）］的解析表达式 201

2　关于更新次数的极限 202

1．强大数律 202

2．更新过程的概念推广 204

3　年龄与剩余寿命 205

1．平均剩余寿命 205

2．平均年龄 205

3．时刻t之前的平均寿命 206

4．剩余寿命的极限分布 206

5．年龄的极限分布 207

6．均衡更新过程 207

4　更新方程简介 209

1．定义 209

2．解的渐近表示 211

参考文献 212

名词索引 214