第八章 多元函数微分法及其应用 1
第一节 多元函数的基本概念 1
一、多元函数概念 1
二、二元函数的极限 5
三、二元函数的连续性 8
习题8-1 11
第二节 偏导数 12
一、偏导数的定义及其计算法 12
二、高阶偏导数 16
习题8-2 19
第三节 全微分及其应用 20
一、全微分的定义 20
二、全微分在近似计算中的应用 24
习题8-3 27
第四节 多元复合函数的求导法则 28
习题8-4 33
第五节 隐函数的求导公式 34
一、一个方程的情形 34
二、方程组的情形 37
习题8-5 40
第六节 偏导数的几何应用 41
一、空间曲线的切线与法平面 41
二、曲面的切平面与法线 45
习题8-6 48
第七节 方向导数与梯度 49
一、方向导数 49
二、梯度 51
习题8-7 56
第八节 多元函数的极值及其求法 56
一、多元函数的极值及最大值、最小值 56
二、条件极值拉格朗日乘数法 62
习题8-8 65
第九节 二元函数的泰勒公式 66
一、二元函数的泰勒公式 66
二、极值充分条件的证明 71
习题8-9 73
第十节 最小二乘法 73
习题8-10 80
第九章 重积分 81
第一节 二重积分的概念与性质 81
一、二重积分的概念 81
二、二重积分的性质 85
习题9-1 87
第二节 二重积分的计算法 88
一、利用直角坐标计算二重积分 88
习题9-2（1） 96
二、利用极坐标计算二重积分 98
习题9-2（2） 104
三、二重积分的换元法 106
习题9-2（3） 111
第三节 二重积分的应用 112
一、曲面的面积 113
二、平面薄片的重心 116
三、平面薄片的转动惯量 118
习题9-3 119
第四节 三重积分的概念及其计算法 120
习题9-4 124
第五节 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 125
一、利用柱面坐标计算三重积分 125
二、利用球面坐标计算三重积分 127
习题9-5 132
第六节 含参变量的积分 133
习题9-6 140
第十章 曲线积分与曲面积分 141
第一节 曲线积分的概念与性质 141
一、对弧长的曲线积分的概念 141
二、对坐标的曲线积分的概念 143
三、曲线积分的性质 146
习题10-1 147
第二节 曲线积分的计算法 148
一、对弧长的曲线积分的计算法 148
二、对坐标的曲线积分的计算法 152
三、两类曲线积分之间的联系 157
习题10-2 159
第三节 格林公式及其应用 161
一、格林公式 161
二、平面上曲线积分与路径无关的条件 164
三、二元函数的全微分求积 167
习题10-3 171
第四节 曲面积分的概念与性质 173
一、对面积的曲面积分 173
二、对坐标的曲面积分 174
三、曲面积分的性质 179
习题10-4 179
第五节 曲面积分的计算法 180
一、对面积的曲面积分的计算法 180
二、对坐标的曲面积分的计算法 184
三、两类曲面积分之间的联系 186
习题10-5 187
第六节 高斯公式 通量与散度 189
一、高斯公式 189
二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 193
三、通量与散度 194
习题10-6 197
第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度 198
一、斯托克斯公式 198
二、空间曲线积分与路径无关的条件 202
三、环流量与旋度 203
习题10-7 206
第十一章 无穷级数 207
第一节 常数项级数的概念和性质 207
一、常数项级数的概念 207
二、无穷级数的基本性质 210
三、级数收敛的必要条件 213
四、柯西审敛原理 214
习题11-1 215
第二节 常数项级数的审敛法 217
一、正项级数及其审敛法 217
二、交错级数及其审敛法 224
三、绝对收敛与条件收敛 225
习题11-2 231
第三节 广义积分的审敛法 Γ-函数 232
一、广义积分的审敛法 232
二、Γ-函数 238
习题11-3 240
第四节 幂级数 241
一、函数项级数的一般概念 241
二、幂级数及其收敛性 242
三、幂级数的运算 247
习题11-4 250
第五节 函数展开成幂级数 251
一、泰勒级数 251
二、函数展开成幂级数 253
习题11-5 260
第六节 函数的幂级数展开式的应用 260
一、近似计算 260
二、欧拉公式 265
习题11-6 267
第七节 函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质 268
一、函数项级数的一致收敛性 268
二、一致收敛级数的基本性质 272
习题11-7 277
第八节 傅立叶级数 278
一、三角级数 三角函数系的正交性 278
二、函数展开成傅立叶级数 281
习题11-8 289
第九节 正弦级数和余弦级数 289
一、奇函数和偶函数的傅立叶级数 289
二、函数展开成正弦级数或余弦级数 294
习题11-9 296
第十节 周期为2l的周期函数的傅立叶级数 296
习题11-10 300
第十一节 傅立叶级数的复数形式 300
习题11-11 303
第十二章 微分方程 305
第一节 微分方程的基本概念 305
习题12-1 310
第二节 可分离变量的微分方程 311
习题12-2 318
第三节 齐次方程 319
一、齐次方程 319
二、可化为齐次的方程 323
习题12-3 325
第四节 一阶线性微分方程 326
一、线性方程 326
二、贝努利方程 330
习题12-4 331
第五节 全微分方程 332
习题12-5 335
第六节 欧拉-柯西近似法 336
习题12-6 339
第七节 可降阶的高阶微分方程 340
一、y(n)=f（x）型的微分方程 340
二、y″=f（x,y′）型的微分方程 342
三、y″=f（y,y′）型的微分方程 346
习题12-7 349
第八节 高阶线性微分方程及其解的结构 350
一、二阶线性微分方程举例 350
二、线性微分方程的解的结构 353
习题12-8 356
第九节 二阶常系数齐次线性微分方程 357
习题12-9 367
第十节 二阶常系数非齐次线性微分方程 368
一、f(x)=eλxPm（x）型 369
二、f(x)=eλx［Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx］型 372
习题12-10 376
第十一节 欧拉方程 377
习题12-11 379
第十二节 微分方程的幂级数解法举例 379
习题12-12 384
第十三节 常系数线性微分方程组解法举例 384
习题12-13 387