第一编 数论编 3
第一章 麦比乌斯函数的提出与性质 3
1 一道美国数学奥林匹克试题 3
2 麦比乌斯其人 5
3 麦比乌斯函数的提出 6
4 一道涉及麦比乌斯函数的国家集训队试题 8
5 曼戈尔特函数∧（n） 12
6 麦比乌斯函数的两个简单性质 13
7 麦比乌斯函数的积性 14
8 麦比乌斯反演定理 17
9 麦比乌斯反演公式的推广 18
10 麦比乌斯变换的多种形式 19
第二章 应用举例 21
1 麦比乌斯函数与分圆多项式 21
2 麦比乌斯变换与概率 23
3 麦比乌斯函数与序列密码学 28
4 麦比乌斯函数与数的几何 29
5 麦比乌斯函数与数论函数的计算和估计 32
6 麦比乌斯函数与算术级数中的缩集 39
第三章 练习与征解问题 44
1 几个简单练习 44
2 一组例题 45
3 三个《美国数学月刊》征解问题 48
4 两个稍难问题 53
5 一组练习题 57
第四章 麦比乌斯函数在解析数论中的应用 61
1 解析数论是数论吗 61
2 埃拉托塞尼筛法 62
3 麦比乌斯函数与π（x）的上界估计 64
4 麦比乌斯函数与三角和估计 66
5 哈代与麦比乌斯变换 69
6 一个解析数论引理的证明 70
7 麦比乌斯变换与数论函数的均值 71
8 解析数论中的几个涉及麦比乌斯函数的引理 79
9 麦比乌斯函数与迪利克雷级数 81
10 数论函数的贝尔级数 85
11 麦比乌斯变换与切比雪夫定理 89
12 麦比乌斯变换与素数定理 91
13 麦比乌斯函数与黎曼猜想 92
14 麦比乌斯函数与哥德巴赫猜想 96
15 王元得到的关于整值多项式的某些性质 97
16 谢盛刚得到的关于三生殆素数的分布的结果 104
17 麦比乌斯变换与埃尔朗根纲领 107
第五章 短区间中的达文波特定理 120
1 结果的陈述 120
2 若干引理 122
3 定理3的证明 123
4 定理4的证明 129
第二编 组合编 135
第六章 麦比乌斯反演公式 135
1 近代组合学中的麦比乌斯反演 135
2 用麦比乌斯反演公式解可重圆排列的计数问题 136
3 数列的反演公式 141
4 高斯系数与麦比乌斯反演 143
5 兰伯特级数与麦比乌斯函数 144
6 米塔-列夫勒多项式 146
第七章 麦比乌斯反演公式的应用 148
1 麦比乌斯反演与编码理论 148
2 麦比乌斯变换与跳频通信 149
3 麦比乌斯变换与有限典型群 152
4 麦比乌斯反演与图论 154
5 互反μ函数偶与一般的反演公式 154
6 合流与切比雪夫多项式 156
7 波赫哈默尔-巴恩斯合流超几何函数 156
8 Fq［x］中不可约多项式的计数公式 160
第八章 偏序集上的麦比乌斯反演与组合计数 163
1 贝尔热论麦比乌斯反演 163
2 有限偏序集的麦比乌斯反演公式 169
3 计算麦比乌斯函数的技巧 171
4 格及其麦比乌斯代数 177
5 半模格的麦比乌斯函数 179
6 ζ多项式 182
7 秩选取 183
8 R-标号 185
9 偏序集上的麦比乌斯反演公式 188
第九章 麦比乌斯函数与非线性移位寄存器 205
1 麦比乌斯函数与非奇异移位寄存器 205
2 两个简单的移位寄存器的分析 210
3 非线性移位寄存器序列 215
4 非奇异移位寄存器 216
5 非线性移位寄存器的剪接理论 218
6 n-级纯轮换与反轮换非线性移位寄存器 220
第十章 密码学与凝聚态物理 223
1 麦比乌斯平面与消息认证码 223
2 麦比乌斯变换与凝聚态物理 224
3 量子物理学中的反演公式 227
第十一章 反演公式与麦比乌斯函数 231
1 第一反演公式 231
2 布置的格式数 234
3 偏序关系与麦比乌斯函数 236
4 麦比乌斯反演的一个应用——环状字的计数 245
5 习题 247
第十二章 表示论中的麦比乌斯反演公式 250
1 线性表示的定义和例子 250
2 练习 256
第十三章 反演公式的矩阵形式 258
1 三个初等反演公式 258
2 局部有限偏序集上的麦比乌斯反演公式 261
第三编 几何编 265
第十四章 平面几何中的麦比乌斯问题 265
1 一道美国数学竞赛中的平面几何题 267
2 麦比乌斯命题 270
3 一个加强命题 271
第十五章 复数的几何 274
1 高斯（或复）平面 280
2 复平面中的圆 283
3 麦比乌斯变换群 284
4 一道普特南竞赛题 285
5 保圆映照 287
6 等角变换 288
7 无穷远点 289
8 黎曼球面 290
9 交比 291
10 关于圆的反射 296
11 圆之位置及大小的确定 299
12 圆束 301
13 由两个反射产生的麦比乌斯变换 303
14 将一般的麦比乌斯变换表示为关于圆的反演之积 304
第十六章 欧氏几何、球面几何和非欧几何 308
1 圆丛 308
2 圆丛的圆之方程 309
3 关于一个丛中圆的反演的积 310
4 欧氏几何、球面几何以及非欧几何的刚体运动 311
5 距离不变式 313
6 球面三角 316
7 麦比乌斯与球面三角的历史 321
8 非欧三角 331
9 球面几何 335
10 椭圆几何 336
11 球面的转动 338
12 非欧几何 340
13 非欧运动 342
14 庞加莱半平面 345
15 弦和准弦距离 346
第十七章 麦比乌斯变换和反演 349
1 引言 349
2 反演 351
3 反演应用的三个例子 362
4 黎曼球面 364
5 麦比乌斯变换的基本结果 372
6 麦比乌斯变换作为矩阵 380
7 可视化与分类 386
8 分解为两个或四个反射 394
9 单位圆盘的自同构 398
10 补偿列紧理论与气体动力学方程组中的复数变换 402
11 习题 405
第十八章 麦比乌斯变换与希尔伯特的第22个问题 413
1 引言 413
2 黎曼曲面 414
3 富克斯群 417
4 一般的单值化定理 418
5 克莱因群 420
6 拟共形映照 421
7 克莱因群的拟共形变形 424
8 克贝群 426
9 麦比乌斯变换与塞尔猜想 428
第四编 复分析和拓扑编 433
第十九章 关于几道培训题的高等背景 433
1 引言 433
2 几道数学竞赛培训题 433
3 麦比乌斯变换与保角变换 434
4 一道西德竞赛题 436
5 施瓦兹引理 438
6 同时代的两位施瓦兹 439
7 一个伯克利问题 440
8 中国大学生夏令营试题 441
9 与非欧几何的联系 444
10 与多复变函数论的联系 446
11 复函数的逼近 447
12 与插值问题的联系 448
13 麦比乌斯变换在低阶占优不等式中的应用 448
第二十章 线性变换与罗巴切夫斯基几何 452
1 罗巴切夫斯基几何在圆上的欧几里得图象 452
2 给定附标的两点间的非欧距离的计算法 454
3 非欧几里得圆周 455
4 曲线的非欧长度 455
5 非欧几里得面积 456
6 远环 456
7 超环 457
8 罗巴切夫斯基几何在半平面上的欧几里得图象 458
第二十一章 再谈保形映射 460
1 线性映象 460
2 圆的性质 463
3 共轭点的不变性 464
4 确定分式线性映象的条件 466
5 特殊情形 468
6 共形映象理论的一般原理 470
7 习题 472
第二十二章 麦比乌斯变换与调和函数的几何理论 474
1 引言 474
2 旧事重提 474
3 实数形式 478
4 单位球的几何学 479
5 微分度量 481
6 微分算子 482
7 球坐标 484
8 泊松公式 487
9 建议了些什么 489
10 对称原理 491
11 拉普拉斯方程的不变性 493
第二十三章 麦比乌斯变换揭秘 496
1 引言 496
2 函数的可视化 497
3 麦比乌斯变换 500
4 麦比乌斯变换揭秘 502
5 麦比乌斯变换与比伯巴赫猜想 506
第二十四章 麦比乌斯变换与代数函数的迭代 511
1 代数函数的复合 511
2 分支点处的复合 512
3 迭代 516
4 麦比乌斯变换下的共轭 516
5 黎曼球面上的动力系统 517
第二十五章 麦比乌斯变换与施瓦兹导数 522
1 施瓦兹导数的来源 522
2 由另一种观点导出施瓦兹导数 524
3 第三种观点 525
4 几何的角度 526
5 施瓦兹导数的重要性质 528
6 亚纯函数与麦比乌斯变换的偏离 531
第二十六章 关于麦比乌斯变换的一点注记 535
1 引言 535
2 多复变复超球上的麦比乌斯变换 536
3 复超球上全纯函数在麦比乌斯变换下的展开 537
4 复超球上全纯映照在麦比乌斯变换下的展开 541
5 实超球上解析函数在实射影变换下的展开 544
6 实超球上解析函数在非欧运动变换下的展开 545
第二十七章 麦比乌斯与拓扑学 550
1 引子 550
2 拓扑学第一人 554
3 麦比乌斯带 554
4 莫斯科的麦比乌斯带 555
5 阿诺德的可视化作品 556
6 各领域中的麦比乌斯带 556
7 单侧边的麦比乌斯带 560
8 麦比乌斯传动带 561
9 麦比乌斯棋盘 561
10 麦比乌斯迷宫 562
11 麦比乌斯电阻 562
12 沿中线切开的麦比乌斯带 563
13 麦比乌斯带分割的圆环 564
14 麦比乌斯带分割的麦比乌斯雕塑 564
15 麦比乌斯分子 565
16 未解决的问题 565
第二十八章 麦比乌斯带与代数几何——格列菲斯论麦比乌斯带 567
1 一些简单的有边界的曲面 567
2 进一步考虑麦比乌斯带 569
3 习题 570
第二十九章 制作复杂的曲面 571
1 平面性区域 571
2 添加耳朵 572
3 非平面性曲面 572
4 扭转的识别 573
5 添加桥 574
6 欧拉数 574
7 克莱因瓶和投影平面 575
第三十章 曲面族 578
1 片和茧 578
2 环族及其亲属 580
3 平面性区域族和有柄球面族 583
4 一般的规划图？p,q,r 586
5 交换定理 587
6 在？p,q,r上添加片 590
7 识别曲面族的规则 596
第三十一章 完成曲面族的普查 598
1 引言 598
2 一些代数 598
3 基本定理 599
4 p,q,r的计算 600
5 曲面规划图的唯一性 601
第三十二章 组合不变量 603
1 重新镶拼一个纸曲面 603
2 纸复形 604
3 三角剖分 605
4 关于片的不变性定理 607
5 加细一种镶拼方式 608
6 镶拼方式及其加细的欧拉数 609
7 综合练习 610
第三十三章 数学的统一性 613
1 引言 613
2 三个例子 614
3 圆 615
4 奇偶性 617
5 模与丛 618
6 丛与算子 619
7 泛函分析 619
8 结束语 620
第三十四章 扭曲环带拓扑理论的研究 622
1 基本概念及定义 622
2 自然数列的扭曲环带的直观拓扑性质 625
3 扭曲环带经分裂后扭曲数的变化 633
4 偶数扭曲环带经分裂后环绕数与原环扭曲数的关系——互绕数的确定 636
5 奇数扭曲环带经分裂后环绕数与原环扭曲数的关系 638
6 扭曲环带的复合 646
7 奇数扭曲环带和偶数扭曲环带之间的相互转换 654
8 扭曲环带的特殊制作方法及其意义 656
9 扭曲环带与有关学科的关系及其应用 660
附录 677
附录Ⅰ A Limit Problem Involving the F.Smarandache Square Complementary 677
1 Introduction and Results 677
2 Proof of the Theorem 678
附录Ⅱ Schwarz's Lemma and Pick's Theorem 680
1 Schwarz's Lemma 680
2 Pick's Theorem 684
参考文献 690
编后语 693