第8章 向量代数与空间解析几何 1
8.1 向量及其线性运算 1
8.1.1 向量的概念 1
8.1.2 向量的线性运算 2
8.1.3 空间直角坐标系 5
8.1.4 向量的坐标及向量的运算 6
8.1.5 向量的模、方向余弦、投影 9
习题8.1 13
8.2 数量积 向量积·混合积 14
8.2.1 两向量的数量积 14
8.2.2 两向量的向量积 16
8.2.3 向量的混合积 18
习题8.2 20
8.3 平面及其方程 21
8.3.1 平面的点法式方程 21
8.3.2 平面的一般式方程 22
8.3.3 平面的截距式方程 24
8.3.4 两平面的夹角 24
习题8.3 26
8.4 空间直线及其方程 27
8.4.1 空间直线的一般式方程 27
8.4.2 空间直线的对称式方程和参数方程 27
8.4.3 两直线的夹角 29
8.4.4 直线与平面的夹角 29
习题8.4 32
8.5 曲面及其方程 33
8.5.1 曲面方程的概念 33
8.5.2 旋转曲面 35
8.5.3 柱面 37
习题8.5 38
8.6 空间曲线及其方程 39
8.6.1 空间曲线的一般式方程 39
8.6.2 空间曲线的参数方程 40
8.6.3 空间曲线在坐标面上的投影 41
习题8.6 43
8.7 二次曲面 43
8.7.1 椭球面 44
8.7.2 双曲面 45
8.7.3 椭圆锥面 46
8.7.4 抛物面 47
习题8.7 48
总习题8 49
阅读材料：非欧几何——几何学的革命 51
第9章 多元函数微分法及其应用 53
9.1 多元函数的基本概念 53
9.1.1 平面点集 ·n维空间 53
9.1.2 多元函数的概念 56
9.1.3 多元函数的极限 57
9.1.4 多元函数的连续性 59
习题9.1 61
9.2 偏导数 62
9.2.1 偏导数及其计算法 62
9.2.2 高阶偏导数 65
习题9.2 67
9.3 全微分 68
9.3.1 全微分的定义 69
9.3.2 全微分在近似计算中的应用 72
习题9.3 73
9.4 多元复合函数的求导法则 74
9.4.1 多元复合函数的求导法则 74
9.4.2 全微分的形式不变性 79
习题9.4 81
9.5 隐函数的求导公式 81
9.5.1 由一个方程所确定的隐函数的求导公式 82
9.5.2 由方程组所确定的隐函数的求导公式 85
习题9.5 89
9.6 微分法在几何上的应用 90
9.6.1 空间曲线的切线与法平面 90
9.6.2 曲面的切平面与法线 93
习题9.6 97
9.7 方向导数与梯度 98
9.7.1 方向导数 98
9.7.2 梯度 101
9.7.3 向量场简介 105
习题9.7 105
9.8 多元函数的极值及其求法 106
9.8.1 多元函数的极值 106
9.8.2 函数的最大值和最小值 109
9.8.3 条件极值 拉格朗日乘数法 110
9.8.4 最小二乘法 114
习题9.8 116
9.9 二元函数的泰勒公式和极值充分条件的证明 117
9.9.1 二元函数的泰勒公式 117
9.9.2 极值充分条件的证明 121
习题9.9 122
总习题9 122
阅读材料：李善兰——中国微积分的先驱 124
第10章 重积分 127
10.1 二重积分的概念和性质 127
10.1.1 实例分析 127
10.1.2 二重积分的概念 129
10.1.3 二重积分的性质 130
习题10.1 132
10.2 二重积分的计算法 133
10.2.1 利用直角坐标计算二重积分 133
10.2.2 利用极坐标计算二重积分 140
10.2.3 二重积分的换元法 144
习题10.2 147
10.3 三重积分 150
10.3.1 三重积分的概念 150
10.3.2 三重积分的计算 151
习题10.3 159
10.4 重积分的应用 161
10.4.1 立体的体积 161
10.4.2 曲面的面积 163
10.4.3 质量 165
10.4.4 质心 165
10.4.5 转动惯量 168
10.4.6 引力 169
习题10.4 171
总习题10 172
阅读材料：MATLAB在微积分中的应用 175
第11章 曲线积分与曲面积分 180
11.1 对弧长的曲线积分 180
11.1.1 曲线形构件的质量 180
11.1.2 对弧长的曲线积分的概念与性质 181
11.1.3 对弧长的曲线积分的计算 183
习题11.1 186
11.2 对坐标的曲线积分 187
11.2.1 变力沿曲线所做的功 187
11.2.2 对坐标的曲线积分的概念与性质 188
11.2.3 对坐标的曲线积分的计算 190
11.2.4 两类曲线积分之间的联系 194
习题11.2 195
11.3 格林公式及其应用 197
11.3.1 格林公式 197
11.3.2 平面上曲线积分与路径无关的条件 201
习题11.3 205
11.4 对面积的曲面积分 207
11.4.1 曲面形构件的质量 207
11.4.2 对面积的曲面积分的概念与性质 207
11.4.3 对面积的曲面积分的计算 208
习题11.4 211
11.5 对坐标的曲面积分 212
11.5.1 有向曲面 212
11.5.2 流向曲面一侧的流量 212
11.5.3 对坐标的曲面积分的概念与性质 213
11.5.4 两类曲面积分之间的联系 215
11.5.5 对坐标曲面积分的计算 216
习题11.5 220
11.6 高斯公式 通量与散度 221
11.6.1 高斯公式 221
11.6.2 通量与散度 225
11.6.3 曲面积分与曲面无关的条件 227
习题11.6 228
11.7 斯托克斯公式 环流量与旋度 229
11.7.1 斯托克斯公式 229
11.7.2 环流量与旋度 233
11.7.3 空间曲线积分与路径无关的条件 235
习题11.7 236
总习题11 236
阅读材料：奇妙的曲面——莫比乌斯带与克莱因瓶 239
第12章 微分方程 242
12.1 微分方程的基本概念 242
12.1.1 两个实例 242
12.1.2 微分方程的基本概念 243
习题12.1 246
12.2 一阶微分方程 246
12.2.1 可分离变量的微分方程及齐次方程 246
12.2.2 一阶线性微分方程及伯努利方程 252
12.2.3 全微分方程 258
习题12.2 260
12.3 可降阶的高阶微分方程 262
12.3.1 y（n）＝f（x）型的微分方程 262
12.3.2 y″＝f（x,y′）型的微分方程 263
12.3.3 y″＝f（y，y′）型的微分方程 264
习题12.3 266
12.4 高阶线性微分方程 266
12.4.1 高阶线性微分方程及其解的结构 266
12.4.2 二阶常系数线性齐次微分方程 270
12.4.3 二阶常系数线性非齐次微分方程 273
习题12.4 280
12.5 欧拉方程 281
习题12.5 282
12.6 常系数线性微分方程组的解法 283
习题12.6 284
12.7 微分方程的应用 285
习题12.7 289
总习题12 290
阅读材料：从有序走向混沌——微分方程发展简介 292
部分习题参考答案与提示 296
参考文献 320