第1章 矩阵理论基础 1
1.1 矩阵及其数值特征 1
1.1.1 方阵的行列式 2
1.1.2 矩阵的秩 3
1.1.3 方阵的特征值 4
1.1.4 方阵的迹 5
1.1.5 矩阵的奇异值 5
1.2 正规矩阵与Hermite矩阵 6
1.2.1 正规矩阵及其性质 6
1.2.2 Hermite矩阵及其性质 9
1.3 矩阵在控制系统中的一些应用 13
1.3.1 一阶线性微分方程组的矩阵表示与求解 13
1.3.2 线性控制系统中有关问题的矩阵表示 14
习题1 16
第2章 范数与测度 17
2.1 向量范数 17
2.1.1 向量范数的定义 17
2.1.2 向量范数的性质 20
2.2 矩阵范数 22
2.2.1 矩阵范数 22
2.2.2 矩阵算子范数 25
2.3 矩阵测度 28
习题2 32
第3章 矩阵的相似标准形 34
3.1 λ矩阵及基本概念 34
3.2 λ矩阵的Smith标准形 37
3.3 λ矩阵的行列式因子和初等因子 39
3.4 矩阵的Jordan标准形 45
3.5 Cayley-Hamilton定理与最小多项式 51
习题3 53
第4章 矩阵分解 55
4.1 矩阵的三角分解 55
4.1.1 n阶方阵的三角分解 55
4.1.2 一般矩阵的三角分解 61
4.2 矩阵的秩分解 63
4.2.1 矩阵的秩1分解 64
4.2.2 矩阵的满秩分解 64
4.3 矩阵的谱分解 67
4.3.1 简单矩阵的谱分解 67
4.3.2 一般矩阵的谱分解 71
4.4 矩阵的奇异值分解 72
习题4 74
第5章 矩阵特征值的估计与定位 76
5.1 矩阵特征值界的估计 76
5.2 矩阵特征值的定位 82
5.2.1 Gerschgorin圆盘定理 82
5.2.2 Gerschgorin圆盘定理的推广 86
5.2.3 广义Gerschgorin圆盘定理 88
5.3 矩阵特征值的摄动 90
习题5 93
第6章 矩阵函数 95
6.1 简单矩阵的函数 95
6.1.1 简单矩阵的函数的定义 95
6.1.2 简单矩阵的函数的谱分解 97
6.2 一般矩阵的函数 99
6.2.1 一般矩阵的函数的定义 99
6.2.2 一般矩阵的函数的谱分解 103
6.3 矩阵函数的序列与级数 104
6.3.1 矩阵的序列与级数 104
6.3.2 矩阵函数的序列与级数 108
6.4 常用矩阵函数的幂级数表示和性质 110
6.5 矩阵函数的分析运算 112
6.5.1 矩阵值函数对数值变量的微分与积分 112
6.5.2 矩阵值函数对矩阵变量的导数 114
习题6 117
第7章 几种重要的矩阵 119
7.1 非负矩阵 119
7.1.1 非负矩阵及其谱半径 119
7.1.2 正矩阵及其Perron特征值 121
7.2 M矩阵 125
7.2.1 非奇异M矩阵 125
7.2.2 一般M矩阵 127
7.3 稳定矩阵 128
习题7 132
第8章 矩阵的广义逆 134
8.1 减号逆A￣ 134
8.2 自反减号逆A？ 137
8.3 最小范数广义逆A？与最小二乘广义逆A？ 142
8.4 加号逆A+ 145
8.5 广义逆矩阵的应用 148
8.5.1 线性方程组求解问题 148
8.5.2 相容方程组的通解 149
8.5.3 相容方程组的最小范数解 150
8.5.4 不相容方程组的最小二乘解 151
8.5.5 线性方程组的最佳逼近解 153
习题8 154
第9章 矩阵不等式 157
9.1 矩阵数值特征的不等式 157
9.1.1 矩阵行列式的不等式 157
9.1.2 矩阵特征值的不等式 160
9.1.3 矩阵迹的不等式 165
9.2 线性矩阵不等式 167
9.2.1 LMI及其表示 167
9.2.2 能转化成LMI的相关问题 168
9.2.3 一些标准的LMI问题 170
9.2.4 控制理论中的LMI问题 171
9.2.5 非严格LMI 173
9.2.6 关于矩阵不等式的一些结论 173
9.2.7 S过程 176
习题9 178
第10章 矩阵方程 179
10.1 线性矩阵方程 179
10.1.1 矩阵的Kronecker积及其性质 179
10.1.2 线性矩阵方程可解的条件 182
10.1.3 矩阵Lyapunov方程与矩阵Stein方程 186
10.2 非线性矩阵方程 188
10.2.1 连续矩阵Riccati方程及其解 189
10.2.2 连续矩阵Riccati方程的稳定化解 192
10.2.3 离散矩阵Riccati方程及其解 197
10.3 矩阵方程解的估计 201
10.3.1 连续矩阵方程解的估计 201
10.3.2 离散矩阵方程解的估计 206
10.3.3 摄动矩阵方程解的估计 212
习题10 214
参考文献 215