第一章 向量与张量 1
1.1 n维实向量空间 1
一、向量与坐标 1
二、坐标变换 2
1.2对偶空间 3
一、线性函数与对偶空间 3
二、对偶空间中的坐标变换 4
三、力学中的对偶空间 5
1.3欧氏空间与伪欧氏空间 8
一、欧氏空间 8
二、欧氏空间的自对偶性质 10
三、伪欧氏空间 11
1.4张量 14
一、张量的定义 14
二、欧氏空间中的张量 15
三、张量代数 16
1.5张量的反称化和外积 20
一、张量的反称化，外形式 20
二、向量的外积 22
三、Hodge星算子 26
1.6几类特殊张量和它们的性质 29
一、二阶张量与特征值 29
二、Levi-Civita符号 30
习题一 31
第二章 欧氏空间中的曲纹坐标 32
2.1曲纹坐标与活动标架 32
一、曲纹坐标 32
二、活动标架 33
三、活动标架的微商 35
2.2绝对微商 38
一、协变导数 38
二、逆变导数 41
三、张量的绝对微商 42
四、正交曲线坐标与非完整系 44
五、张量的物理分量 48
六、几个常见的微分算子 48
七、两点张量场 51
2.3欧氏空间中的曲线 52
一、曲线的参数方程与弧长 52
二、Frenet公式 53
三、曲线的密切性质 57
四、例子与应用——曲杆的弯曲 59
2.4曲面论 62
一、欧氏空间的子流形 62
二、曲面与曲面的弯曲性质 64
三、曲面论的基本方程 67
四、Gauss方程与Codazzi方程 68
五、曲面上的曲线，测地曲率与测地线 71
六、曲面上的曲线坐标网 72
2.5曲面的无限小弯曲 79
一、曲面的弯曲变形与无限小弯曲 79
二、卵形曲面的刚硬性 82
2.6几种特殊曲面 85
一、直纹面与可展曲面 85
二、旋转曲面 88
三、平行曲面，曲面的焦曲面 88
四、伪球面与Sine-Gordon方程 89
五、Backlund变换 92
2.7欧氏空间的变换群 97
一、变换群 97
二、线性变换群？？（n,R） 98
三、线性变换群的某些特殊子群 100
四、变换群与其切空间的关系 102
五、欧氏空间中的保角变换 104
习题二 109
第三章 流形与Riemann流形 111
3.1流形 111
一、流形的定义 111
二、流形上的坐标 113
3.2流形的切空间 117
一、切空间与切丛 117
二、余切空间与余切丛 120
三、流形上的张量 122
3.3子流形与Riemann流形 123
一、流形间光滑映射的诱导映射 123
二、子流形 124
三、Riemann流形 127
四、Riemann流形中向量的平行 128
3.4 Riemann曲率张量 129
一、曲率张量的引进 129
二、曲率张量的性质 130
三、曲率张量的缩并 131
3.5 Riemann流形与力学系统 134
一、有限自由度系统的运动方程 134
二、变形张量的协调方程 134
习题三 136
第四章 外微分与Stokes定理 138
4.1外微分 138
一、微分形式 138
二、外微分 139
三、若干例子 141
4.2 Stokes定理 143
一、流形上的积分 143
二、Stokes定理 146
三、Stokes定理的若干应用 150
4.3 Poincare逆定理 151
一、闭形与恰当形 151
二、Poincare逆定理 152
三、Poincare逆定理在全局成立的充分条件 155
四、流形上的对偶关系 156
4.4 Lie导数 157
一、流形上的向量场 157
二、Lie导数 159
三、Lie导数的性质 161
4.5 Frobenius定理 162
一、预备讨论 162
二、Frobenius定理 165
三、外微分方程与Frobenius定理的第二种形式 170
四、Frobenius定理的应用 173
习题四 176
第五章Lie群与Lie代数 179
5.1基本概念 179
一、Lie群 179
二、Lie群核 181
三、Lie代数 183
四、变换诱导的切向量变换 184
5.2 Lie群与Lie代数 186
一、Lie群的Lie代数 186
二、单参数Lie群 189
三、Taylor展式 191
5.3 Lie群的同态和同构 193
一、代数系统的同态、同构和自同构 193
二、Lie代数的矩阵表示 195
5.4不变量 196
一、不变量的定义 196
二、微分不变量 199
三、Killing向量场 205
四、积分不变量 206
5.5 Lie-Backlund变换 208
一、Lie-Backlund变换 208
二、Lie-Backlund变换对微分方程的应用 211
三、Backlund变换 212
5.6与变换群有关的某些力学问题 215
一、不变量嵌入法 215
二、量纲分析与相似性理论 216
三、算子与分离变量 219
习题五 222
第六章 动力系统的几何理论 224
6.1 Symplectic几何与多自由度的Hamilton动力系统 224
一、相空间及其度量 224
二、Poisson括弧 226
三、Symplectic几何与Hamilton动力系统 230
四、Hamilton-Jacobi方程 233
6.2 Birkhoff系统 236
一、Birkhoff方程 236
二、Birkhoff方程的性质 239
6.3动力系统 242
一、动力系统 242
二、微分动力系统所确定的流 245
三、随参数变化的动力系统 247
6.4动力系统的等价和等价类 248
一、动力系统的等价 248
二、线性动力系统在奇点邻近的等价 251
三、非线性动力系统在奇点邻近的等价 255
四、非自治系统的等价 257
五、动力系统的稳定性 261
6.5什么是分岔 263
一、分岔的定义 263
二、中心流形 265
三、自治系统含参数解的分岔 267
6.6关于线性非自治系统的等价类问题 270
一、引言 270
二、预备讨论 271
三、线性非自治系统的等价类 273
名词索引 277
参考文献 281