一 证明的由来 1
1.1 证明的作用是什么 2
1.2 数学证明的由来 3
1.3 古代希腊的数学证明 4
1.4 证明方法不限于数学 6
1.5 东方古代社会的数学证明 8
二 证明的功用 12
2.1 直观可靠吗 13
2.2 证明可靠吗 20
2.3 证明是完全客观的吗 23
2.4 证明与信念 28
2.5 证明与理解 33
三 证明与理解（一） 38
3.1 一个数学认知能力的实验 38
3.2 二次方程的解的公式 42
3.3 希腊《原本》里的勾股定理 43
3.4 刘徽的一题多证 45
3.5 高斯的一题多证 49
四 证明与理解（二） 55
4.1 欧拉的七桥问题 55
4.2 欧拉的多面体公式 61
4.3 几个重要的不等式 67
五 证明与理解（三） 75
5.1 一条关于正多边形的几何定理 76
5.2 薄饼与三明治 78
5.3 微积分基本定理 80
5.4 舞伴的问题 82
5.5 几个著名的反例 84
六 证明与理解（四） 92
6.1 四色问题 92
6.2 费马最后定理 96
6.3 一致收敛的函数序列 99
七 反证法 102
7.1 两个古老的反证法证明 102
7.2 间接证明与反证法 103
7.3 逆否命题 104
7.4 施坦纳-李密士定理 106
7.5 反证法在数学以外的运用 107
八 存在性证明 109
8.1 两个头发根数相同的人 109
8.2 一条古老的存在性定理 111
8.3 数学乎神学乎 112
8.4 高斯类数猜想的征服 113
8.5 存在性证明的功用 116
8.6 极值问题的解的存在性 119
8.7 有理数与无理数 121
8.8 代数数与超越数 122
九 不可能性证明 126
9.1 十五方块的玩意 126
9.2 一个很古老的不可能性证明 128
9.3 古代三大难题 130
9.4 不可能证明的证明 133
9.5 希尔伯特的问题 137
十 一次亲身经历：最长周长的内接多边形 142
10.1 一个熟悉的问题 142
10.2 初步的试验结果 143
10.3 旁敲侧击 145
10.4 艰苦战斗 146
10.5 拨开云雾见青天 149
10.6 各归其位 151
10.7 余音未了 154
附录 156
后记 180
人名中外文对照表 181