第一章 误差 1
1 引言 1
2 误差的来源 1
3 误差的基本概念 3
3-1 误差与误差限 3
3-2 相对误差与相对误差限 5
3-3 有效数字 6
3-4 有效数字与误差限的关系 6
4 误差的运算 9
5 数值计算中必须注意的问题 10
习题一 14
第二章 插值方法 16
1 引言 16
2 多项式插值问题的提法 17
2-1 多项式插值问题的提法 17
2-2 插值多项式的存在唯一性 18
3 拉格朗日（Lagrange）插值多项式 19
3-1 基本插值多项式 19
3-2 拉格朗日插值多项式 20
4 牛顿（Neuton）与埃特金（Aitken）逐次插值公式 24
4-1 差分 24
4-2 均差 27
4-3 牛顿插值多项式 31
4-4 用差分表示等距基点的插值公式 32
4-5 埃特金逐次插值公式 41
5 插值多项式的余项 43
6 分段线性插值 47
6-1 插值过程的收敛性 47
6-2 分段线性插值 49
6-3 分段线性插值多项式的余项 52
7 厄米特（Hermite）插值 53
7-1 厄米特插值多项式的概念 53
7-2 厄米特插值多项式H2n+1（x）的求法 54
7-3 厄米特插值多项式的余项 55
8 分段三次厄米特（Hermite）插值 59
8-1 分段三次厄米特插值的概念 59
8-2 分段三次厄米特插值的余项 61
9 三次样条插值 62
9-1 三次样条插值函数的概念 63
9-2 三次样条插值函数的求法 64
10 二重插值 70
10-1 二重差分 71
10-2 二重插值法的一般公式 72
习题二 79
第三章 数值积分与数值微分 82
1 引言 82
1-1 定积分数值计算的必要性 82
1-2 代数精度的概念 83
1-3 插值型的求积公式 84
2 等距基点的求积公式 85
2-1 梯形求积公式 85
2-2 抛物线求积公式 86
2-3 牛顿—柯特斯（Newton—cote） 86
2-4 偶阶求积公式的代数精度 89
2-5 差分求积公式 90
3 牛顿—柯特斯公式的误差分析 93
3-1 余项估计 93
3-2 稳定性与收敛性分析 95
4 复合求积公式 97
4-1 复合梯形公式 97
4-2 复合抛物线公式 98
4-3 复合梯形求积公式的余项估计 98
4-4 复合抛物线求积公式的余项估计 99
4-5 步长的自动选择 101
5 龙贝格（Romberg）算法 103
5-1 里查逊（Richardson）推法 103
5-2 龙贝格求积公式 104
6 高斯（Gauss）型求积公式 107
6-1 问题的提出 107
6-2 高斯型求积公式 108
6-3 正交多项式 109
6-4 高斯点与正交多项式的关系 113
6-5 高斯型求积公式的构造 114
6-6 高斯型求积公式的余项 117
6-7 高斯型求积公式的稳定性与收敛性 118
6-8 一般高斯型求积公式及其构造 120
7 广义积分的数值方法 125
7-1 无穷区间上的广义积分 125
7-2 无界函数的广义积分 127
8 二重积分的数值方法 129
9 数值微分 132
9-1 插值型的微商公式 132
9-2 实用的五点公式 136
习题三 138
第四章 最小二乘拟合与函数逼近 141
1 引言 141
2 曲线拟合的最小二乘法 141
3 多变量的数据拟合 145
4 非线性曲线的数据拟合 148
5 超定方程组及其最小二乘解 154
6 最佳平方逼近 156
6-1 最佳平方逼近多项式的概念 156
6-2 最佳平方逼近多项式的求法 157
6-3 利用勒让德多项式的最佳平方逼近 159
7 最佳一致逼近 161
7-1 最佳一致逼近多项式的概念 161
7-2 最佳一致逼近多项式的唯一性 161
7-3 最佳一致逼近多项式的近似求法 163
习题四 168
第五章 解线性代数方程组的直接方法 170
1 高斯消去法 170
1-1 高斯消去法的计算过程 170
1-2 高斯消去法的运算量 174
1-3 高斯消去法的矩阵解释 175
2 高斯主元素消去法 178
2-1 完全主元素消去法 179
2-2 列主元素消去法 181
2-3 主元素法与排列矩阵的关系 182
3 矩阵的三角分解 184
3-1 矩阵的三角分解 184
3-2 矩阵的Crout分解 185
3-3 矩阵的Doolittle分解 187
4 正定矩阵的Cholesky分解 189
4-1 正定矩阵的性质 189
4-2 正定矩阵的Cholesky分解 190
5 行列式和逆矩阵的计算 192
5-1 行列式的计算 193
5-2 逆矩阵的计算 194
习题五 197
第六章 解线性方程组的迭代法 199
1 引言 199
2 向量和矩阵的范数 199
2-1 向量范数的概念与性质 199
2-2 向量范数的主要例子 202
2-3 矩阵范数的概念和性质 202
2-4 矩阵范数的主要例子 203
2-5 向量范数和矩阵范数的收敛性 204
3 几种常用的迭代格式 207
3-1 雅可比（Jaeobi）迭代法 207
3-2 高斯—塞德尔（Gauss—Seidel）迭代法 209
3-3 松弛（SOR）迭代法 210
4 迭代法的收敛性 211
4-1 迭代法的基本定理 211
4-2 迭代收敛的充分判别法 214
5 迭代法的误差估计 217
习题六 219
第七章 矩阵特征值和特征向量的计算方法 222
1 引言 222
2 特征值的定域理论 223
3 幂法与反幂法 226
3-1 幂法 226
3-2 幂法的加速与降阶 229
3-3 反幂法 234
4 Jacobi算法 237
4-1 矩阵的正交相似交换 237
4-2 求正交矩阵V的方法 237
4-3 Jacobi方法的收敛性 241
5 LU和QR方法 245
5-1 LU方法 245
5-2 QR分解 246
5-3 QR方法 248
5-4 加原点平移的QR方法 249
5-5 LU和QR方法的收敛性 250
习题七 252
第八章 非线性方程求根 254
1 引言 254
2 几种特殊的方法 255
2-1 初始近似根的求法 255
2-2 区间对分法 256
2-3 比例求根法 259
3 迭代法 261
4 迭代收敛的加速 264
5 牛顿（Newton）法 268
5-1 牛顿公式 268
5-2 牛顿法的收敛性 269
5-3 牛顿法应用举例 271
5-4 解非线性方程组的牛顿迭代法 273
6 弦截法与抛物线法 274
6-1 弦截法 275
6-2 抛物线法 279
7 秦九韶方法 281
8 分离因子法 284
习题八 289
第九章 常微分方程初值问题的数值解法 291
1 引言 291
2 几种简单的数值解法 292
2-1 欧拉（Euler）方法 292
2-2 向后欧拉方法 296
2-3 梯形公式 297
2-4 改进的欧拉公式 298
3 龙格—库塔（Runge—Kutta）方法 300
3-1 泰勒展开法 300
3-2 龙格—库塔方法 302
3-3 m级显式龙格—库塔方法 304
4 单步法的收敛性和稳定性 307
4-1 单步法的收敛性 307
4-2 单步法的稳定性 310
5 线性多步法 314
5-1 数值积分法 315
5-2 亚当姆斯（Adams）显式公式 316
5-3 亚当姆斯隐式公式 318
5-4 亚当姆斯公式的误差估计 319
6 预测—校正公式 320
7 常微分方程组和高阶微分方程的数值解法 325
7-1 两个未知函数的方程组 325
7-2 化高阶方程为一阶方程组 328
7-3 刚性（Stiff）方程组 330
习题九 335