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第一章 误差 1

1 引言 1

2 误差的来源 1

3 误差的基本概念 3

3-1 误差与误差限 3

3-2 相对误差与相对误差限 5

3-3 有效数字 6

3-4 有效数字与误差限的关系 6

4 误差的运算 9

5 数值计算中必须注意的问题 10

习题一 14

第二章 插值方法 16

1 引言 16

2 多项式插值问题的提法 17

2-1 多项式插值问题的提法 17

2-2 插值多项式的存在唯一性 18

3 拉格朗日（Lagrange）插值多项式 19

3-1 基本插值多项式 19

3-2 拉格朗日插值多项式 20

4 牛顿（Neuton）与埃特金（Aitken）逐次插值公式 24

4-1 差分 24

4-2 均差 27

4-3 牛顿插值多项式 31

4-4 用差分表示等距基点的插值公式 32

4-5 埃特金逐次插值公式 41

5 插值多项式的余项 43

6 分段线性插值 47

6-1 插值过程的收敛性 47

6-2 分段线性插值 49

6-3 分段线性插值多项式的余项 52

7 厄米特（Hermite）插值 53

7-1 厄米特插值多项式的概念 53

7-2 厄米特插值多项式H2n+1（x）的求法 54

7-3 厄米特插值多项式的余项 55

8 分段三次厄米特（Hermite）插值 59

8-1 分段三次厄米特插值的概念 59

8-2 分段三次厄米特插值的余项 61

9 三次样条插值 62

9-1 三次样条插值函数的概念 63

9-2 三次样条插值函数的求法 64

10 二重插值 70

10-1 二重差分 71

10-2 二重插值法的一般公式 72

习题二 79

第三章 数值积分与数值微分 82

1 引言 82

1-1 定积分数值计算的必要性 82

1-2 代数精度的概念 83

1-3 插值型的求积公式 84

2 等距基点的求积公式 85

2-1 梯形求积公式 85

2-2 抛物线求积公式 86

2-3 牛顿—柯特斯（Newton—cote） 86

2-4 偶阶求积公式的代数精度 89

2-5 差分求积公式 90

3 牛顿—柯特斯公式的误差分析 93

3-1 余项估计 93

3-2 稳定性与收敛性分析 95

4 复合求积公式 97

4-1 复合梯形公式 97

4-2 复合抛物线公式 98

4-3 复合梯形求积公式的余项估计 98

4-4 复合抛物线求积公式的余项估计 99

4-5 步长的自动选择 101

5 龙贝格（Romberg）算法 103

5-1 里查逊（Richardson）推法 103

5-2 龙贝格求积公式 104

6 高斯（Gauss）型求积公式 107

6-1 问题的提出 107

6-2 高斯型求积公式 108

6-3 正交多项式 109

6-4 高斯点与正交多项式的关系 113

6-5 高斯型求积公式的构造 114

6-6 高斯型求积公式的余项 117

6-7 高斯型求积公式的稳定性与收敛性 118

6-8 一般高斯型求积公式及其构造 120

7 广义积分的数值方法 125

7-1 无穷区间上的广义积分 125

7-2 无界函数的广义积分 127

8 二重积分的数值方法 129

9 数值微分 132

9-1 插值型的微商公式 132

9-2 实用的五点公式 136

习题三 138

第四章 最小二乘拟合与函数逼近 141

1 引言 141

2 曲线拟合的最小二乘法 141

3 多变量的数据拟合 145

4 非线性曲线的数据拟合 148

5 超定方程组及其最小二乘解 154

6 最佳平方逼近 156

6-1 最佳平方逼近多项式的概念 156

6-2 最佳平方逼近多项式的求法 157

6-3 利用勒让德多项式的最佳平方逼近 159

7 最佳一致逼近 161

7-1 最佳一致逼近多项式的概念 161

7-2 最佳一致逼近多项式的唯一性 161

7-3 最佳一致逼近多项式的近似求法 163

习题四 168

第五章 解线性代数方程组的直接方法 170

1 高斯消去法 170

1-1 高斯消去法的计算过程 170

1-2 高斯消去法的运算量 174

1-3 高斯消去法的矩阵解释 175

2 高斯主元素消去法 178

2-1 完全主元素消去法 179

2-2 列主元素消去法 181

2-3 主元素法与排列矩阵的关系 182

3 矩阵的三角分解 184

3-1 矩阵的三角分解 184

3-2 矩阵的Crout分解 185

3-3 矩阵的Doolittle分解 187

4 正定矩阵的Cholesky分解 189

4-1 正定矩阵的性质 189

4-2 正定矩阵的Cholesky分解 190

5 行列式和逆矩阵的计算 192

5-1 行列式的计算 193

5-2 逆矩阵的计算 194

习题五 197

第六章 解线性方程组的迭代法 199

1 引言 199

2 向量和矩阵的范数 199

2-1 向量范数的概念与性质 199

2-2 向量范数的主要例子 202

2-3 矩阵范数的概念和性质 202

2-4 矩阵范数的主要例子 203

2-5 向量范数和矩阵范数的收敛性 204

3 几种常用的迭代格式 207

3-1 雅可比（Jaeobi）迭代法 207

3-2 高斯—塞德尔（Gauss—Seidel）迭代法 209

3-3 松弛（SOR）迭代法 210

4 迭代法的收敛性 211

4-1 迭代法的基本定理 211

4-2 迭代收敛的充分判别法 214

5 迭代法的误差估计 217

习题六 219

第七章 矩阵特征值和特征向量的计算方法 222

1 引言 222

2 特征值的定域理论 223

3 幂法与反幂法 226

3-1 幂法 226

3-2 幂法的加速与降阶 229

3-3 反幂法 234

4 Jacobi算法 237

4-1 矩阵的正交相似交换 237

4-2 求正交矩阵V的方法 237

4-3 Jacobi方法的收敛性 241

5 LU和QR方法 245

5-1 LU方法 245

5-2 QR分解 246

5-3 QR方法 248

5-4 加原点平移的QR方法 249

5-5 LU和QR方法的收敛性 250

习题七 252

第八章 非线性方程求根 254

1 引言 254

2 几种特殊的方法 255

2-1 初始近似根的求法 255

2-2 区间对分法 256

2-3 比例求根法 259

3 迭代法 261

4 迭代收敛的加速 264

5 牛顿（Newton）法 268

5-1 牛顿公式 268

5-2 牛顿法的收敛性 269

5-3 牛顿法应用举例 271

5-4 解非线性方程组的牛顿迭代法 273

6 弦截法与抛物线法 274

6-1 弦截法 275

6-2 抛物线法 279

7 秦九韶方法 281

8 分离因子法 284

习题八 289

第九章 常微分方程初值问题的数值解法 291

1 引言 291

2 几种简单的数值解法 292

2-1 欧拉（Euler）方法 292

2-2 向后欧拉方法 296

2-3 梯形公式 297

2-4 改进的欧拉公式 298

3 龙格—库塔（Runge—Kutta）方法 300

3-1 泰勒展开法 300

3-2 龙格—库塔方法 302

3-3 m级显式龙格—库塔方法 304

4 单步法的收敛性和稳定性 307

4-1 单步法的收敛性 307

4-2 单步法的稳定性 310

5 线性多步法 314

5-1 数值积分法 315

5-2 亚当姆斯（Adams）显式公式 316

5-3 亚当姆斯隐式公式 318

5-4 亚当姆斯公式的误差估计 319

6 预测—校正公式 320

7 常微分方程组和高阶微分方程的数值解法 325

7-1 两个未知函数的方程组 325

7-2 化高阶方程为一阶方程组 328

7-3 刚性（Stiff）方程组 330

习题九 335