第1章 函数与极限 1
1.1 函数 1
1.1.1 集合、常量与变量 1
1.1.2 函数的定义 2
1.1.3 函数的几种特性 5
1.1.4 反函数与复合函数 6
1.1.5 基本初等函数 8
1.1.6 初等函数 11
1.1.7 参数方程与极坐标 15
习题1-1 17
1.2 数列极限 18
习题1-2 22
1.3 函数极限 22
习题1-3 28
1.4 无穷小与无穷大 29
1.4.1 无穷小 29
1.4.2 无穷大 29
习题1-4 31
1.5 极限的运算法则 32
习题1-5 36
1.6 极限存在准则 两个重要极限 37
习题1-6 40
1.7 无穷小的比较 41
习题1-7 42
1.8 函数的连续性 43
1.8.1 连续性概念 43
1.8.2 间断点及其分类 45
习题1-8 46
1.9 连续函数的运算与闭区间上连续函数的性质 47
1.9.1 连续函数的运算与初等函数的连续性 47
1.9.2 闭区间上连续函数的性质 48
习题1-9 50
复习题1 52
第2章 导数与微分 55
2.1 导数概念 55
2.1.1 引例 55
2.1.2 导数的定义 56
2.1.3 求导数举例 57
2.1.4 导数的几何意义 59
2.1.5 函数的可导性与连续性的关系 60
习题2-1 61
2.2 函数的求导法则 62
2.2.1 导数的四则运算 62
2.2.2 反函数的导数 64
2.2.3 复合函数的导数 65
2.2.4 常用初等函数的导数公式 67
习题2-2 68
2.3 高阶导数 70
习题2-3 72
2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率 73
2.4.1 隐函数的导数 73
2.4.2 由参数方程所确定的函数的导数 75
2.4.3 相关变化率 77
习题2-4 77
2.5 函数的微分及其计算 79
2.5.1 微分的定义 79
2.5.2 微分的几何意义 80
2.5.3 基本初等函数的微分公式与微分运算法则 81
2.5.4 微分在近似计算中的应用 83
习题2-5 85
复习题2 86
第3章 微分中值定理与导数的应用 88
3.1 中值定理 88
3.1.1 罗尔定理 88
3.1.2 拉格朗日中值定理 89
3.1.3 柯西中值定理 91
习题3-1 92
3.2 洛必达法则 93
习题3-2 95
3.3 泰勒公式 96
习题3-3 99
3.4 函数单调性与曲线的凹凸性 100
3.4.1 函数单调性的判定法 100
3.4.2 曲线的凹凸与拐点 102
习题3-4 104
3.5 函数的极值 最大值与最小值 105
3.5.1 函数的极值及其求法 105
3.5.2 最大值最小值问题 107
习题3-5 110
3.6 函数图形的描绘 111
习题3-6 115
3.7 曲率 115
3.7.1 弧微分 115
3.7.2 曲率及其计算公式 116
3.7.3 曲率圆与曲率半径 118
习题3-7 118
复习题3 119
第4章 不定积分 122
4.1 不定积分的概念与性质 122
4.1.1 原函数与不定积分的概念 122
4.1.2 基本积分公式 124
4.1.3 不定积分的性质 125
习题4-1 127
4.2 换元积分法 128
4.2.1 第一类换元法 128
4.2.2 第二类换元法 132
习题4-2 135
4.3 分部积分法 136
习题4-3 140
4.4 几种特殊类型函数的积分 141
4.4.1 有理函数的积分 141
4.4.2 三角函数有理式的积分 143
4.4.3 简单无理函数的积分 144
习题4-4 145
4.5 积分表的使用 146
习题4-5 147
复习题4 152
第5章 定积分 154
5.1 定积分的概念与性质 154
5.1.1 引例 154
5.1.2 定积分定义 156
5.1.3 定积分的几何意义 157
5.1.4 定积分的性质 158
习题5-1 160
5.2 微积分基本公式 162
5.2.1 变上限积分及其导数 162
5.2.2 牛顿—莱布尼兹公式 164
习题5-2 166
5.3 定积分的换元法和分部积分法 169
5.3.1 定积分的换元法 169
5.3.2 定积分的分部积分法 172
习题5-3 173
5.4 反常积分 175
5.4.1 无穷限反常积分 175
5.4.2 无界函数的反常积分 176
习题5-4 178
5.5 反常积分的审敛法 Γ函数 178
5.5.1 无穷限反常积分的审敛法 178
5.5.2 无界函数反常积分的审敛法 180
5.5.3 Γ函数 181
习题5-5 182
复习题5 185
第6章 定积分的应用 188
6.1 定积分的元素法 188
6.2 定积分在几何学上的应用 189
6.2.1 平面图形的面积 189
6.2.2 体积 193
6.2.3 平面曲线的弧长 196
习题6-2 199
6.3 定积分在物理学上的应用 200
6.3.1 变力沿直线所做的功 200
6.3.2 水压力 202
6.3.3 引力 203
习题6-3 204
复习题6 208
第7章 向量代数与空间解析几何 210
7.1 向量及其线性运算 210
7.1.1 空间直角坐标系 210
7.1.2 向量的线性运算 212
7.1.3 向量的坐标、向量的模与方向余弦 214
习题7-1 218
7.2 向量的乘积 219
7.2.1 两向量的数量积 219
7.2.2 两向量的向量积 220
7.2.3 向量的混合积 222
习题7-2 223
7.3 空间中的平面和直线 224
7.3.1 空间中的平面 224
7.3.2 空间中的直线 228
习题7-3 231
7.4 空间中的曲面和曲线 232
7.4.1 几种常见的空间曲面 232
7.4.2 空间曲线 238
习题7-4 240
复习题7 242
习题解答与提示 243
附录1 二阶和三阶行列式简介 275
附录2 常用积分表 280
参考文献 287