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第1章 函数与极限 1

1.1 函数 1

1.1.1 集合、常量与变量 1

1.1.2 函数的定义 2

1.1.3 函数的几种特性 5

1.1.4 反函数与复合函数 6

1.1.5 基本初等函数 8

1.1.6 初等函数 11

1.1.7 参数方程与极坐标 15

习题1-1 17

1.2 数列极限 18

习题1-2 22

1.3 函数极限 22

习题1-3 28

1.4 无穷小与无穷大 29

1.4.1 无穷小 29

1.4.2 无穷大 29

习题1-4 31

1.5 极限的运算法则 32

习题1-5 36

1.6 极限存在准则 两个重要极限 37

习题1-6 40

1.7 无穷小的比较 41

习题1-7 42

1.8 函数的连续性 43

1.8.1 连续性概念 43

1.8.2 间断点及其分类 45

习题1-8 46

1.9 连续函数的运算与闭区间上连续函数的性质 47

1.9.1 连续函数的运算与初等函数的连续性 47

1.9.2 闭区间上连续函数的性质 48

习题1-9 50

复习题1 52

第2章 导数与微分 55

2.1 导数概念 55

2.1.1 引例 55

2.1.2 导数的定义 56

2.1.3 求导数举例 57

2.1.4 导数的几何意义 59

2.1.5 函数的可导性与连续性的关系 60

习题2-1 61

2.2 函数的求导法则 62

2.2.1 导数的四则运算 62

2.2.2 反函数的导数 64

2.2.3 复合函数的导数 65

2.2.4 常用初等函数的导数公式 67

习题2-2 68

2.3 高阶导数 70

习题2-3 72

2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率 73

2.4.1 隐函数的导数 73

2.4.2 由参数方程所确定的函数的导数 75

2.4.3 相关变化率 77

习题2-4 77

2.5 函数的微分及其计算 79

2.5.1 微分的定义 79

2.5.2 微分的几何意义 80

2.5.3 基本初等函数的微分公式与微分运算法则 81

2.5.4 微分在近似计算中的应用 83

习题2-5 85

复习题2 86

第3章 微分中值定理与导数的应用 88

3.1 中值定理 88

3.1.1 罗尔定理 88

3.1.2 拉格朗日中值定理 89

3.1.3 柯西中值定理 91

习题3-1 92

3.2 洛必达法则 93

习题3-2 95

3.3 泰勒公式 96

习题3-3 99

3.4 函数单调性与曲线的凹凸性 100

3.4.1 函数单调性的判定法 100

3.4.2 曲线的凹凸与拐点 102

习题3-4 104

3.5 函数的极值 最大值与最小值 105

3.5.1 函数的极值及其求法 105

3.5.2 最大值最小值问题 107

习题3-5 110

3.6 函数图形的描绘 111

习题3-6 115

3.7 曲率 115

3.7.1 弧微分 115

3.7.2 曲率及其计算公式 116

3.7.3 曲率圆与曲率半径 118

习题3-7 118

复习题3 119

第4章 不定积分 122

4.1 不定积分的概念与性质 122

4.1.1 原函数与不定积分的概念 122

4.1.2 基本积分公式 124

4.1.3 不定积分的性质 125

习题4-1 127

4.2 换元积分法 128

4.2.1 第一类换元法 128

4.2.2 第二类换元法 132

习题4-2 135

4.3 分部积分法 136

习题4-3 140

4.4 几种特殊类型函数的积分 141

4.4.1 有理函数的积分 141

4.4.2 三角函数有理式的积分 143

4.4.3 简单无理函数的积分 144

习题4-4 145

4.5 积分表的使用 146

习题4-5 147

复习题4 152

第5章 定积分 154

5.1 定积分的概念与性质 154

5.1.1 引例 154

5.1.2 定积分定义 156

5.1.3 定积分的几何意义 157

5.1.4 定积分的性质 158

习题5-1 160

5.2 微积分基本公式 162

5.2.1 变上限积分及其导数 162

5.2.2 牛顿—莱布尼兹公式 164

习题5-2 166

5.3 定积分的换元法和分部积分法 169

5.3.1 定积分的换元法 169

5.3.2 定积分的分部积分法 172

习题5-3 173

5.4 反常积分 175

5.4.1 无穷限反常积分 175

5.4.2 无界函数的反常积分 176

习题5-4 178

5.5 反常积分的审敛法 Γ函数 178

5.5.1 无穷限反常积分的审敛法 178

5.5.2 无界函数反常积分的审敛法 180

5.5.3 Γ函数 181

习题5-5 182

复习题5 185

第6章 定积分的应用 188

6.1 定积分的元素法 188

6.2 定积分在几何学上的应用 189

6.2.1 平面图形的面积 189

6.2.2 体积 193

6.2.3 平面曲线的弧长 196

习题6-2 199

6.3 定积分在物理学上的应用 200

6.3.1 变力沿直线所做的功 200

6.3.2 水压力 202

6.3.3 引力 203

习题6-3 204

复习题6 208

第7章 向量代数与空间解析几何 210

7.1 向量及其线性运算 210

7.1.1 空间直角坐标系 210

7.1.2 向量的线性运算 212

7.1.3 向量的坐标、向量的模与方向余弦 214

习题7-1 218

7.2 向量的乘积 219

7.2.1 两向量的数量积 219

7.2.2 两向量的向量积 220

7.2.3 向量的混合积 222

习题7-2 223

7.3 空间中的平面和直线 224

7.3.1 空间中的平面 224

7.3.2 空间中的直线 228

习题7-3 231

7.4 空间中的曲面和曲线 232

7.4.1 几种常见的空间曲面 232

7.4.2 空间曲线 238

习题7-4 240

复习题7 242

习题解答与提示 243

附录1 二阶和三阶行列式简介 275

附录2 常用积分表 280

参考文献 287