第1章 函数与极限 1
1.1 函数——变量相依关系的数学模型 1
1.1.1 邻域 1
1.1.2 函数的概念及其表示方法 2
1.1.3 函数的性质 3
1.1.4 初等函数 6
练习与思考1-1 9
1.2 函数的极限——函数变化趋势的数学模型 10
1.2.1 函数极限的概念 10
1.2.2 极限的性质 14
练习与思考1-2 14
1.3 极限的运算 15
1.3.1 极限的运算法则 15
1.3.2 两个重要极限 16
练习与思考1-3 20
1.4 无穷小及其比较 20
1.4.1 无穷小与无穷大 21
1.4.2 无穷小与极限的关系 23
1.4.3 无穷小的比较与阶 23
练习与思考1-4 25
1.5 函数的连续性——函数连续变化的数学模型 26
1.5.1 函数的改变量——描述函数变化的方法 26
1.5.2 函数连续的概念 26
1.5.3 函数的间断点 28
1.5.4 初等函数的连续性 30
练习与思考1-5 31
1.6 数学实验（一） 32
1.7 数学建模（一）——初等模型 37
1.7.1 数学模型的概念 38
1.7.2 数学建模及其步骤 39
1.7.3 初等数学模型建模举例——有空气隔层的双层玻璃窗的节能分析 40
练习与思考1-7 43
本章小结 43
本章复习题 45
第2章 导数与微分 49
2.1 导数的概念——函数变化速率的数学模型 49
2.1.1 函数变化率的实例 50
2.1.2 导数的概念及其物理意义 52
2.1.3 导数的几何意义与曲线的切线和法线方程 55
练习与思考2-1 56
2.2 导数的运算（一） 56
2.2.1 函数四则运算的求导 56
2.2.2 复合函数及反函数的求导 58
练习与思考2-2 60
2.3 导数的运算（二） 60
2.3.1 二阶导数的概念及其计算 60
2.3.2 隐函数求导 61
2.3.3 参数方程所确定的函数求导 62
练习与思考2-3 63
2.4 微分——函数变化幅度的数学模型 63
2.4.1 微分的概念及其计算 63
2.4.2 微分作近似计算——函数局部线性逼近 66
2.4.3 一元方程的近似根 68
2.4.4 弧的微分与曲率 70
练习与思考2-4 72
本章小结 73
本章复习题 75
第3章 导数的应用 78
3.1 函数的单调性与极值 78
3.1.1 拉格朗日微分中值定理 78
3.1.2 函数的单调性 79
3.1.3 函数的极值 81
练习与思考3-1 84
3.2 函数的最值——函数最优化的数学模型 85
3.2.1 函数的最值 85
3.2.2 实践中的最优化问题举例 88
练习与思考3-2 92
3.3 一元函数图形的描绘 92
3.3.1 函数图形的凹凸性与拐点 92
3.3.2 函数图形的渐近线 95
3.3.3 一元函数图形的描绘 96
练习与思考3-3 99
3.4 罗必达法则——未定式计算的一般方法 99
3.4.1 柯西微分中值定理 99
3.4.2 罗必达法则 100
练习与思考3-4 105
3.5 数学实验（二） 105
3.6 数学建模（二）——最优化模型 111
3.6.1 磁盘最大存储量模型 111
3.6.2 易拉罐优化设计模型 112
练习与思考3-6 117
本章小结 118
本章复习题 120
第4章 定积分与不定积分及其应用 123
4.1 定积分——函数变化累积效应的数学模型 123
4.1.1 引例 123
4.1.2 定积分的定义 126
4.1.3 定积分的几何意义 127
4.1.4 定积分的性质 129
练习与思考4-1 130
4.2 微积分基本公式 130
4.2.1 引例 131
4.2.2 积分上限函数及其导数 132
4.2.3 微积分基本公式 134
练习与思考4-2 136
4.3 不定积分与积分计算（一） 136
4.3.1 不定积分概念与基本积分表 137
练习与思考4-3A 140
4.3.2 换元积分法 140
练习与思考4-3B 145
4.4 积分计算（二）与广义积分 146
4.4.1 分部积分法 146
练习与思考4-4A 148
4.4.2 定积分的近似积分法 149
4.4.3 广义积分 153
练习与思考4-4B 155
4.5 定积分的应用 155
4.5.1 微元法——积分思想的再认识 155
4.5.2 定积分在几何上的应用 156
练习与思考4-5A 162
4.5.3 定积分在物理方面的应用举例 163
练习与思考4-5B 164
4.6 二重积分 165
4.6.1 二元函数的概念 165
4.6.2 二重积分的概念和性质 167
4.6.3 二重积分的计算 170
4.6.4 二重积分的应用 178
练习与思考4-6 180
4.7 数学实验（三） 181
4.8 数学建模（三）——积分模型 187
4.8.1 第二宇宙速度模型 187
4.8.2 人口增长模型 189
练习与思考4-8 193
本章小结 194
本章复习题 197
第5章 线性代数初步 200
5.1 行列式 200
5.1.1 行列式的定义 201
5.1.2 行列式的性质与计算 203
5.1.3 克莱姆法则 206
练习与思考5-1 209
5.2 矩阵及其运算 209
5.2.1 矩阵的概念 209
5.2.2 矩阵的运算（一）：矩阵的加减、数乘、乘法 213
5.2.3 矩阵的初等变换 216
5.2.4 矩阵的运算（二）：逆矩阵 217
练习与思考5-2 222
5.3 线性方程组 222
5.3.1 矩阵的秩与线性方程组解的基本定理 223
5.3.2 线性方程组的求解 230
练习与思考5-3 234
5.4 数学实验（四） 235
5.5 数学建模（四）——线性代数模型 242
练习与思考5-5 246
本章小结 247
本章复习题 250
第6章 微分方程 253
6.1 一阶微分方程 253
6.1.1 微分方程的基本概念 253
6.1.2 一阶微分方程 256
练习与思考6-1 261
6.2 二阶可降阶微分方程 262
6.2.1 型如主y″＝f（x），y″＝f（x,y′），y″＝f（y,y′）的方程 262
6.2.2 应用举例 264
练习与思考6-2 266
6.3 二阶常系数线性微分方程 266
6.3.1 二阶线性微分方程解的结构 267
6.3.2 二阶常系数齐次线性微分方程 268
6.3.3 二阶常系数非齐次线性微分方程 270
6.3.4 二阶常系数线性微分方程应用举例 272
练习与思考6-3 273
6.4 数学建模（五）——微分方程模型 274
6.4.1 微分方程模型的基本概念 274
6.4.2 放射性废料处理模型 277
6.4.3 船舶渡河路线模型 282
练习与思考6-4 287
本章小结 287
本章复习题 288
第7章 拉普拉斯变换 290
7.1 拉普拉斯变换的概念 290
7.1.1 拉普拉斯变换的概念与性质 290
7.1.2 常见函数的拉普拉斯变换 295
练习与思考7-1 297
7.2 拉普拉斯逆变换及其求法 297
练习与思考7-2 301
7.3 拉普拉斯变换的应用 301
7.3.1 求解微分方程 301
7.3.2 线性系统问题 303
练习与思考7-3 304
本章小结 304
本章复习题 307
第8章 无穷级数 308
8.1 无穷级数的概念 309
8.1.1 无穷级数及其收敛与发散的概念 309
8.1.2 无穷级数的性质 311
8.1.3 常数项级数 312
练习与思考8-1 316
8.2 幂级数与多项式逼近 316
8.2.1 幂级数及其收敛区间 316
8.2.2 幂级数的性质 319
8.2.3 函数展开成泰勒级数 321
8.2.4 多项式逼近及其应用 326
练习与思考8-2 328
8.3 傅立叶级数 329
8.3.1 三角级数、三角函数的正交性 329
8.3.2 函数展开成傅立叶级数 330
8.3.3 正弦级数与余弦级数 335
练习与思考8-3 337
8.4 数学实验（五） 337
本章小结 345
本章复习题 348
附录一 常用数学公式 350
附录二 参考答案 358