第一章 集合、拓扑、线性运算与连续 1
1 集合 1
1.1 集合与关系 1
1.2 序与选择公理 3
1.3 集合的基数 5
1.4 良序集的序数 10
2 拓扑与连续 12
2.1 拓扑空间与连续映射 13
2.2 网与紧性 20
2.3 度量空间 25
2.4 连续函数 30
2.5 Riemann流形 35
2.6 拓扑群与Lie群 47
3 向量拓扑与线性算子 53
3.1 赋范线性空间 53
3.2 内积空间 57
3.3 有界线性算子 62
3.4 对偶空间与共轭算子 64
3.5 线性拓扑空间 68
3.6 缓增广义函数 74
第二章 测度 79
1 σ-代数 79
2 测度 84
3 外测度 91
4 Rn上的正则Borel测度 98
4.1 正则Borel测度 98
4.2 Lebesgue测度 104
5 几个反例 107
第三章 积分 112
1 可测函数及其基本性质 112
2 积分的定义及其基本性质 118
3 积分号下求极限 123
4 可测函数列的几种收敛性 132
5 乘积测度与Fubini定理 137
6 Rn上积分的变量替换 145
第四章 测度的分解与微分 156
1 测度的Jordan分解及其变差 156
2 测度的微分 163
3 Rn上的微分 170
3.1 Hardy-Littlewood极大定理 170
3.2 Lebesgue微分定理 172
4 R1上的有界变差函数 176
4.1 有界变差函数与L.-S．积分 176
4.2 绝对连续函数 182
第五章 函数空间及算子插值 189
1 Lp空间的基本理论 189
1.1 完备性与可分性 189
1.2 Lp空间的比较 194
1.3 几个不等式 196
1.4 Orlicz空间 199
2 Lp空间的对偶 200
3 弱Lp空间与Lorentz空间 206
3.1 分布函数与弱Lp空间 206
3.2 重排函数与Lorentz空间 209
4 Lp空间的插值 215
4.1 Riesz-Thorin定理及其推广 215
4.2 Marcinkiewicz定理及其推广 223
第六章 Daniell积分与Radon测度 231
1 Daniell积分 231
1.1 Daniell积分的扩张 232
1.2 Daniell-Stone定理 237
2 拓扑空间上的Radon测度 243
2.1 Riesz表示定理 243
2.2 Radon测度的若干性质 249
3 拓扑群上的Haar测度 252
4 拓扑群上的卷积 260
4.1 拓扑群上的卷积 260
4.2 Rn上的逼近恒等 263
5 Rn上的Fourier变换 267
第七章 几何测度 273
1 Hausdorff测度与维数 273
1.1 Hausdorff测度 273
1.2 Hausdorff维数 277
1.3 Lipα-曲面 280
2 子流形的Hausdorff测度 284
3 Sobolev不等式与等周不等式 290
3.1 Riesz位势与Sobolev不等式 290
3.2 等周不等式 294
4 容度 299
4.1 Bessel位势 299
4.2 Bessel容度及其基本性质 302
第八章 向量值测度与积分 310
1 向量值测度及其基本性质 310
1.1 向量值测度的定义 310
1.2 向量值测度的总变差与半变差 313
1.3 向量值测度的绝对连续性 317
2 向量值函数关于数值测度的积分 320
2.1 向量值函数的可测性 320
2.2 Dunford积分与Pettis积分 324
2.3 Bochner积分 328
3 关于向量值测度的积分 335
3.1 数值函数关于向量值测度的积分 336
3.2 Bartle积分 344
4 Radon-Nikodym性质 348
4.1 Radon-Nikodym性质 348
4.2 可表示算子 352
符号索引 356
术语索引 360
参考文献 370