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第一章 集合、拓扑、线性运算与连续 1

1 集合 1

1.1 集合与关系 1

1.2 序与选择公理 3

1.3 集合的基数 5

1.4 良序集的序数 10

2 拓扑与连续 12

2.1 拓扑空间与连续映射 13

2.2 网与紧性 20

2.3 度量空间 25

2.4 连续函数 30

2.5 Riemann流形 35

2.6 拓扑群与Lie群 47

3 向量拓扑与线性算子 53

3.1 赋范线性空间 53

3.2 内积空间 57

3.3 有界线性算子 62

3.4 对偶空间与共轭算子 64

3.5 线性拓扑空间 68

3.6 缓增广义函数 74

第二章 测度 79

1 σ-代数 79

2 测度 84

3 外测度 91

4 Rn上的正则Borel测度 98

4.1 正则Borel测度 98

4.2 Lebesgue测度 104

5 几个反例 107

第三章 积分 112

1 可测函数及其基本性质 112

2 积分的定义及其基本性质 118

3 积分号下求极限 123

4 可测函数列的几种收敛性 132

5 乘积测度与Fubini定理 137

6 Rn上积分的变量替换 145

第四章 测度的分解与微分 156

1 测度的Jordan分解及其变差 156

2 测度的微分 163

3 Rn上的微分 170

3.1 Hardy-Littlewood极大定理 170

3.2 Lebesgue微分定理 172

4 R1上的有界变差函数 176

4.1 有界变差函数与L.-S．积分 176

4.2 绝对连续函数 182

第五章 函数空间及算子插值 189

1 Lp空间的基本理论 189

1.1 完备性与可分性 189

1.2 Lp空间的比较 194

1.3 几个不等式 196

1.4 Orlicz空间 199

2 Lp空间的对偶 200

3 弱Lp空间与Lorentz空间 206

3.1 分布函数与弱Lp空间 206

3.2 重排函数与Lorentz空间 209

4 Lp空间的插值 215

4.1 Riesz-Thorin定理及其推广 215

4.2 Marcinkiewicz定理及其推广 223

第六章 Daniell积分与Radon测度 231

1 Daniell积分 231

1.1 Daniell积分的扩张 232

1.2 Daniell-Stone定理 237

2 拓扑空间上的Radon测度 243

2.1 Riesz表示定理 243

2.2 Radon测度的若干性质 249

3 拓扑群上的Haar测度 252

4 拓扑群上的卷积 260

4.1 拓扑群上的卷积 260

4.2 Rn上的逼近恒等 263

5 Rn上的Fourier变换 267

第七章 几何测度 273

1 Hausdorff测度与维数 273

1.1 Hausdorff测度 273

1.2 Hausdorff维数 277

1.3 Lipα-曲面 280

2 子流形的Hausdorff测度 284

3 Sobolev不等式与等周不等式 290

3.1 Riesz位势与Sobolev不等式 290

3.2 等周不等式 294

4 容度 299

4.1 Bessel位势 299

4.2 Bessel容度及其基本性质 302

第八章 向量值测度与积分 310

1 向量值测度及其基本性质 310

1.1 向量值测度的定义 310

1.2 向量值测度的总变差与半变差 313

1.3 向量值测度的绝对连续性 317

2 向量值函数关于数值测度的积分 320

2.1 向量值函数的可测性 320

2.2 Dunford积分与Pettis积分 324

2.3 Bochner积分 328

3 关于向量值测度的积分 335

3.1 数值函数关于向量值测度的积分 336

3.2 Bartle积分 344

4 Radon-Nikodym性质 348

4.1 Radon-Nikodym性质 348

4.2 可表示算子 352

符号索引 356

术语索引 360

参考文献 370