第一部分 数学语言 1
第一章 描述性集合论 3
1.1 集合的概念 3
1.2 包含 4
1.3 维恩图 5
1.4 相等 5
1.5 幂集 6
1.6 并与交 7
1.7 补集 10
1.8 量词 12
第二章 函数：描述性理论 15
2.1 函数的概念 15
2.2 函数的相等 16
2.3 象 17
2.4 单射、满射和等价 17
2.5 例题 18
2.6 符号和语言的泛用 20
2.7 函数的复合 22
2.8 单射、满射和等价的复合 23
2.9 反演定理 23
2.10 等价集 26
2.11 计数 26
第三章 笛卡儿积 30
3.1 序对和乘积 30
3.2 代数性质 31
3.3 函数的图象 33
3.4 再论函数的概念 33
3.5 再论序对 35
3.6 乘法系统 36
第四章 关系 39
4.1 什么是关系 39
4.2 RST条件 40
4.3 线状图 40
4.4 序关系 41
4.5 等价关系 43
4.6 划分 46
4.7 商映射 46
第五章 数学归纳法 49
5.1 物理的和数学的归纳法 49
5.2 一个坏习惯 50
5.3 归纳定义法 51
第二部分 集合论续 57
第六章 函数的集合 59
6.1 集合BA 59
6.2 BA的映射 60
6.3 当＃B=2的情形 63
6.4 乱排、排列和集Ⅰ(A,B) 64
6.5 组合 67
6.6 集S(A,B) 68
第七章 计数和超限算术 71
7.1 计数 71
7.2 超限算术 73
7.3 超限算术里的序关系 75
7.4 选择公理 77
第八章 集合代数和命题演算 83
8.1 集合代数 83
8.2 B－代数 87
8.3 命题演算 90
8.4 发展为更一般的公式 92
8.5 蕴涵和演绎法 94
第三部分 算术 98
第九章 交换环和域 99
9.1 作为代数系统的整数集 99
9.2 环 100
9.3 推论 101
9.4 子环 102
9.5 交换群 103
9.6 域 105
第十章 模m的算术 110
10.1 剩余类和环Zm 110
10.2 Zm的理论 112
10.3 欧拉函数 114
10.4 同余式的解 115
第十一章 具有整范数的环 118
11.1 整范数 118
11.2 例题 119
11.3 欧几里得整环内的因子分解 121
11.4 理想 122
11.5 HCF 124
11.6 欧几里得演段 126
11.7 LCM 128
第十二章 分解质因数 130
12.1 质数 130
12.2 不可约和质数 131
12.3 质因数分解的存在和唯一性 132
12.4 在Z[x]内分解因式 134
第十三章 HCF理论的应用 137
13.1 部分分式 137
13.2 连分式 140
第四部分 R3中的几何 143
第十四章 R3的向量几何 145
14.1 向量空间R3 145
14.2 线性相关；基 148
14.3 直线的方程 149
14.4 长度 150
14.5 球 151
14.6 射影 151
14.7 向量 152
14.8 数量积 154
14.9 平面 155
14.10 向量积 158
14.11 体积 160
第十五章 线性代数和R3内的测度 162
15.1 矩阵和行列式 162
15.2 三个线性方程 165
15.3 线性变换 168
附录：长度和面积 175
15.4 路径 176
15.5 可求长性 177
15.6 约当弧和约当曲线 180
15.7 面积 181
15.8 多边形 182
15.9 α的性质 183
15.10 曲线边界 185
15.11 格 187
15.12 ？A与？相关 188
第十六章 几何的逻辑 191
16.1 希腊的哲学及其它 191
16.2 希尔伯特 192
16.3 教学法 193
16.4 R3的一个代数模型 193
16.5 性能指标 197
16.6 证明的方案 198
16.7 证明 199
16.8 平行与垂直 201
第十七章 射影几何 204
17.1 广告 204
17.2 透视 204
17.3 平面射影几何 205
17.4 对偶性 206
17.5 ？(R)几何 208
17.6 与R2的关系 211
17.7 圆锥曲线 211
17.8 RP2的模型 214
17.9 将？(R)嵌入？(C) 216
17.10 在R3内的射影 218
17.11 不变量，爱尔朗根纲领 220
第五部分 代数 224
第十八章 群 226
18.1 群的概念 226
18.2 群的定义 227
18.3 指数；子群 230
18.4 群的生成元 231
18.5 子群 234
18.6 群的同态 235
18.7 同构 237
18.8 核与象 239
18.9 子群、商空间和商群 240
18.10 环 243
第十九章 向量空间和线性方程 244
19.1 原始定义 244
19.2 基 246
19.3 子空间 248
19.4 同态：矩阵 249
19.5 线性变换的秩 253
19.6 线性方程 254
第二十章 内积空间和对偶性 258
20.1 数量积；距离 258
20.2 V内的几何 260
20.3 正交性 262
20.4 对偶性 263
20.5 正交变换 266
第二十一章 不等式和布尔代数 267
21.1 不等式 267
21.2 某些应用 269
21.3 戴德金的有理数的完备性 272
21.4 布尔代数 274
21.5 将一布尔代数排序 276
21.6 同态 278
第二十二章 n次多项式和n次方程 280
22.1 多项式的形式 280
22.2 代换 282
22.3 余式定理 283
22.4 多项式函数 285
22.5 实和复的多项式 286
22.6 求导 287
22.7 多项式方程的解 289
22.8 应用到有限域 291
第六部分 数系与拓扑 293
第二十三章 有理数 295
23.1 皮亚诺公理 295
23.2 系统Z 297
23.3 系统Q 300
第二十四章 实数与复数 303
24.1 Q的不完备性 303
24.2 序列 306
24.3 R的结构 309
24.4 R的序关系 311
24.5 十进小数 312
24.6 R的完备性 315
24.7 复数 317
24.8 C的完备性 319
24.9 四元数与超复数 320
第二十五章 Rn的拓扑 323
25.1 引言 323
25.2 爱尔朗根纲领中的拓扑学 323
25.3 同胚 324
25.4 笛卡尔积 329
25.5 度量空间 329
25.6 闭集与开集 332
25.7 维数 337
25.8 紧空间 339
25.9 商空间 340
25.10 单连通空间：同伦 345
25.11 代数方法 348
25.12 流形 351
25.13 应用与进一步展望 357
25.14 参考书介绍 357
第七部分 微积分 358
第二十六章 R1上代数 360
26.1 区间 360
26.2 代数运算 360
26.3 多项式 362
26.4 倒数 363
26.5 序关系 363
第二十七章 极限过程 365
27.1 极限 365
27.2 极限的代数 367
27.3 无限极限 369
27.4 序列 371
第二十八章 连续函数 372
28.1 代数？(Ⅰ) 372
28.2 复合 373
28.3 不等式保存原理 374
28.4 最大与最小 375
28.5 两个较深刻的定理 375
28.6 指数律 377
第二十九章 可微函数 379
29.1 微商 379
29.2 导数 380
29.3 代数？(Ⅰ) 380
29.4 复合 382
29.5 微分dcf 383
29.6 高阶导数 385
29.7 洛尔条件 387
29.8 例题（三角函数） 389
29.9 反函数 392
第三十章 积分 396
30.1 问题 396
30.2 积分法则 398
30.3 换元积分法 402
30.4 积分的收敛性 404
第七部分（续） 微积分的补充课题 406
第三十一章 对数函数与指数函数 407
31.1 对数函数 407
31.2 函数exp 410
31.3 指数律 411
第三十二章 微分方程 414
32.1 线性一阶方程 414
32.2 二阶方程 415
第三十三章 复变函数 419
33.1 微分法 419
33.2 函数Cis 419
33.3 ez的代数 421
第三十四章 逼近与迭代 425
34.1 泰勒展开式 425
34.2 极大与极小 428
34.3 牛顿逼近法 429
34.4 近似积分法 430
34.5 级数 433
34.6 进一步展望 436
第三十五章 多元函数 437
35.1 问题 437
35.2 连续性 438
35.3 微分 439
35.4 小误差公式 442
35.5 可微性和导数 442
第三十六章 向量值函数 444
36.1 可微性 444
36.2 复合 447
36.3 坐标系 448
36.4 微分的链法则 449
36.5 主要公式摘要 452
第三十七章 Cr—函数 454
37.1 问题 454
37.2 泰勒展开式 454
37.3 临界点 455
37.4 隐函数 456
37.5 说明 459
第八部分 基础 462
第三十八章 范畴与函子 463
38.1 范畴 463
38.2 初始对象、最终对象、零对象 466
38.3 函子 467
38.4 范畴论中的标准概念 473
第三十九章 数理逻辑 481
39.1 公理 481
39.2 集 483
39.3 相容性 485
39.4 形式系统 488
39.5 ‘证明对策’的例题 490
39.6 哥德尔定理 492
39.7 哥德尔的证明 494
39.8 选择公理与连续统假设 497
参考文献 498
专用符号索引 505