第一篇 场的数学描写方法 1
第一章 数量场的梯度 1
1 场和场的图解 1
1.1 场的概念和场的数学表示方法 1
1.2 场的分类和场的图形表示法 3
2 方向导数 8
2.1 方向导数的定义 8
2.2 方向导数的计算公式 9
3 梯度 12
3.1 梯度的定义 12
3.2 梯度的性质及其另一种定义 13
3.3 梯度的运算法则 14
4 梯度的几何性质 17
4.1 梯度的几何性质 17
4.2 梯度场的几何作法 20
第二章 矢量场的散度 23
1 散度及其计算公式 23
1.1 发散量 23
1.2 散度 25
1.3 散度在直角坐标下的计算公式 27
1.4 散度的运算法则 30
2 Gauss定理 32
2.1 Gauss定理 32
2.2 Gauss定理在积分计算中的应用 35
2.3 Gauss定理与三重积分的分部积分 38
2.4 质量守恒与连续性方程 39
第三章 矢量场的旋度 43
1 涡旋量及其计算 43
1.1 旋转量（环量） 43
1.2 涡旋量 46
1.3 涡旋量的计算公式 48
2 旋度及其计算 52
2.1 空间矢量场的旋度 52
2.2 旋度在直角坐标系下的计算公式 53
3 Green公式和Stokes公式 56
3.1 Green公式 56
3.2 Stokes公式 59
3.3 Green公式和Stokes公式在积分计算中的应用 61
3.4 Green公式与二重积分的分部积分 65
3.5 两个基本方程的建立 66
4 位场和标量势 69
4.1 空间矢量场的标量势 70
4.2 平面矢量场的标量势 78
第四章 ？算符和三度在球、柱坐标系下的计算式 81
1 ？算符及其运算法则 81
1.1 ？算符 81
1.2 ？算符的运算法 82
1.3 ？算符的线性运算性质 86
1.4 ？算符的复合运算法则 86
2 梯度、散度、旋度、？ 2算符在柱坐标系下的计算式 89
2.1 ？算符在柱坐标系下的表达式 89
2.2 单位矢量er、eψ、ez的“微商”公式 90
2.3 散度在柱坐标系下的计算式 91
2.4 旋度在柱坐标系下的计算式 92
2.5 ？ 2算符在柱坐标系下的表达式 93
3 梯度、散度、旋度、？2算符在球坐标系下的计算式 94
3.1 ？算符在球坐标系下的表达式 94
3.2 单位矢量er、eθ、eψ的“微商”公式 95
3.3 散度在球坐标系下的计算式 96
3.4 旋度、？ 2算符在球坐标系下的表达式 97
第二篇 无穷级数 100
第五章 数值级数 100
1 级数的收敛、发散概念 101
1.1 收敛、发散概念 101
1.2 级数的基本性质 103
2 正项级数的收敛、发散判别法 107
2.1 比较判别法 108
2.2 D'Alembert判别法、Cauchy判别法 112
2.3 积分判别法 115
3 任意项级数的敛散性判别 118
3.1 Cauchy收敛准则、Leibniz判别法 118
3.2 绝对收敛与条件收敛 122
3.3 Abel判别法和Dirichlet判别法 123
3.4 级数的乘法 125
第六章 函数级数 128
1 收敛域、函数级数的和函数 128
1.1 收敛域的概念 128
1.2 和函数的概念 130
1.3 和函数与函数级数的逐点收敛 130
2 函数级数的一致收敛 131
2.1 一致收敛的概念 131
2.2 一致收敛的判别法 134
2.3 内部一致收敛 138
3 和函数的性质 140
3.1 和函数的连续性 141
3.2 逐项积分性质 142
3.3 逐项微商定理 143
第七章 幂级数 145
1 收敛域的结构与求法 145
1.1 Abel引理及其推论 145
1.2 收敛域的结构与求法 147
1.3 幂级数的乘法 150
2 和函数的性质 153
2.1 内部一致收敛的性质 153
2.2 逐项求导幂级数的收敛半径 153
2.3 和函数的性质 155
3 初等函数的幂级数展开 159
3.1 必要条件 159
3.2 充分条件 161
3.3 初等函数在x=0点的Taylor展式 163
第八章 Fourier级数 169
1 形式Fourier级数 169
1.1 形式Fourier级数 169
1.2 求形式Fourier级数的例子 171
1.3 Besel不等式和Riemann引理 173
2 收敛定理 176
2.1 引理和命题 176
2.2 收敛定理及其推论 183
3 一般区间上的Fourier级数展开 192
3.1 收敛定理及其推论 192
3.2 展开例子 195
4 广义Fourier级数 197
4.1 内积概念和基本不等式 197
4.2 正交归一化系 199
4.3 广义Fourier级数及其收敛概念 199
4.4 完全系的概念及其判别 201
第三篇 常微分方程 204
第九章 一阶微分方程的解法 204
1 常微分方程举例和基本概念 205
1.1 常微分方程举例 205
1.2 基本概念 205
2 可分离变量的方程 209
2.1 可分离变量的方程 209
2.2 齐次方程 210
2.3 准齐次方程 212
3 一阶线性方程 215
3.1 齐次线性方程 216
3.2 非齐次线性方程 216
3.3 Bernoulli方程 218
4 恰当方程和积分因子 222
4.1 恰当方程的概念 222
4.2 恰当方程的判别 223
4.3 积分因子的概念 227
4.4 积分因子的求法 228
5 一阶隐式方程 234
5.1 参数形式的解 235
5.2 方程y=f(x,y′) 236
5.3 方程x=f(y,y′) 237
第十章 高阶方程和方程组的解法 240
1 特殊的非线性高阶方程的解法 240
1.1 dny/dxn=f(x)型的方程 240
1.2 y″=f(x,y′)型的方程 242
1.3 y″=f(y,y′)型的方程 243
1.4 解题的灵活性 244
2 二阶线性方程的解法 247
2.1 通解结构定理 247
2.2 置换法和视常数为变数法 248
2.3 常系数齐次线性方程的通解 252
2.4 待定系数法 255
2.5 幂级数解法 259
3 方程组的初等积分法 263
3.1 方程组的概念 263
3.2 方程组中的名称 264
3.3 方程组的解法 266
第十一章 高阶线性方程 274
1 解的存在与唯一性定理 274
1.1 Lipschitz条件 274
1.2 一阶正规形方程解的存在与唯一性定理 275
1.3 高阶线性方程解的存在与唯一性定理 279
2 函数间的线性关系 279
2.1 函数的线性相关和线性无关 279
2.2 相关性的判别 281
3 通解结构定理 285
3.1 齐次方程通解的结构定理 285
3.2 非齐次方程通解的结构定理 287
3.3 常系数齐次方程的基本解组 288
3.4 解非齐次方程的待定系数法 291
3.5 欧拉方程 293
4 奇解 296
4.1 奇解的概念 296
4.2 奇解的求法 298
第十二章 一阶偏微分方程 307
1 名称和基本概念 307
1.1 一阶偏微分方程 307
1.2 通解和特解 308
2 一阶线性齐次方程 309
2.1 特征方程组 309
2.2 首次积分与通解 311
2.3 多个自变量的线性齐次方程 316
3 一阶拟线性方程 318
3.1 拟线性方程的解法 318
3.2 初值问题的解法 320
答案与提示 324