高等数学 修订版 第3册PDF电子书下载

第一篇 场的数学描写方法 1

第一章 数量场的梯度 1

1 场和场的图解 1

1.1 场的概念和场的数学表示方法 1

1.2 场的分类和场的图形表示法 3

2 方向导数 8

2.1 方向导数的定义 8

2.2 方向导数的计算公式 9

3 梯度 12

3.1 梯度的定义 12

3.2 梯度的性质及其另一种定义 13

3.3 梯度的运算法则 14

4 梯度的几何性质 17

4.1 梯度的几何性质 17

4.2 梯度场的几何作法 20

第二章 矢量场的散度 23

1 散度及其计算公式 23

1.1 发散量 23

1.2 散度 25

1.3 散度在直角坐标下的计算公式 27

1.4 散度的运算法则 30

2 Gauss定理 32

2.1 Gauss定理 32

2.2 Gauss定理在积分计算中的应用 35

2.3 Gauss定理与三重积分的分部积分 38

2.4 质量守恒与连续性方程 39

第三章 矢量场的旋度 43

1 涡旋量及其计算 43

1.1 旋转量（环量） 43

1.2 涡旋量 46

1.3 涡旋量的计算公式 48

2 旋度及其计算 52

2.1 空间矢量场的旋度 52

2.2 旋度在直角坐标系下的计算公式 53

3 Green公式和Stokes公式 56

3.1 Green公式 56

3.2 Stokes公式 59

3.3 Green公式和Stokes公式在积分计算中的应用 61

3.4 Green公式与二重积分的分部积分 65

3.5 两个基本方程的建立 66

4 位场和标量势 69

4.1 空间矢量场的标量势 70

4.2 平面矢量场的标量势 78

第四章 ？算符和三度在球、柱坐标系下的计算式 81

1 ？算符及其运算法则 81

1.1 ？算符 81

1.2 ？算符的运算法 82

1.3 ？算符的线性运算性质 86

1.4 ？算符的复合运算法则 86

2 梯度、散度、旋度、？ 2算符在柱坐标系下的计算式 89

2.1 ？算符在柱坐标系下的表达式 89

2.2 单位矢量er、eψ、ez的“微商”公式 90

2.3 散度在柱坐标系下的计算式 91

2.4 旋度在柱坐标系下的计算式 92

2.5 ？ 2算符在柱坐标系下的表达式 93

3 梯度、散度、旋度、？2算符在球坐标系下的计算式 94

3.1 ？算符在球坐标系下的表达式 94

3.2 单位矢量er、eθ、eψ的“微商”公式 95

3.3 散度在球坐标系下的计算式 96

3.4 旋度、？ 2算符在球坐标系下的表达式 97

第二篇 无穷级数 100

第五章 数值级数 100

1 级数的收敛、发散概念 101

1.1 收敛、发散概念 101

1.2 级数的基本性质 103

2 正项级数的收敛、发散判别法 107

2.1 比较判别法 108

2.2 D'Alembert判别法、Cauchy判别法 112

2.3 积分判别法 115

3 任意项级数的敛散性判别 118

3.1 Cauchy收敛准则、Leibniz判别法 118

3.2 绝对收敛与条件收敛 122

3.3 Abel判别法和Dirichlet判别法 123

3.4 级数的乘法 125

第六章 函数级数 128

1 收敛域、函数级数的和函数 128

1.1 收敛域的概念 128

1.2 和函数的概念 130

1.3 和函数与函数级数的逐点收敛 130

2 函数级数的一致收敛 131

2.1 一致收敛的概念 131

2.2 一致收敛的判别法 134

2.3 内部一致收敛 138

3 和函数的性质 140

3.1 和函数的连续性 141

3.2 逐项积分性质 142

3.3 逐项微商定理 143

第七章 幂级数 145

1 收敛域的结构与求法 145

1.1 Abel引理及其推论 145

1.2 收敛域的结构与求法 147

1.3 幂级数的乘法 150

2 和函数的性质 153

2.1 内部一致收敛的性质 153

2.2 逐项求导幂级数的收敛半径 153

2.3 和函数的性质 155

3 初等函数的幂级数展开 159

3.1 必要条件 159

3.2 充分条件 161

3.3 初等函数在x=0点的Taylor展式 163

第八章 Fourier级数 169

1 形式Fourier级数 169

1.1 形式Fourier级数 169

1.2 求形式Fourier级数的例子 171

1.3 Besel不等式和Riemann引理 173

2 收敛定理 176

2.1 引理和命题 176

2.2 收敛定理及其推论 183

3 一般区间上的Fourier级数展开 192

3.1 收敛定理及其推论 192

3.2 展开例子 195

4 广义Fourier级数 197

4.1 内积概念和基本不等式 197

4.2 正交归一化系 199

4.3 广义Fourier级数及其收敛概念 199

4.4 完全系的概念及其判别 201

第三篇 常微分方程 204

第九章 一阶微分方程的解法 204

1 常微分方程举例和基本概念 205

1.1 常微分方程举例 205

1.2 基本概念 205

2 可分离变量的方程 209

2.1 可分离变量的方程 209

2.2 齐次方程 210

2.3 准齐次方程 212

3 一阶线性方程 215

3.1 齐次线性方程 216

3.2 非齐次线性方程 216

3.3 Bernoulli方程 218

4 恰当方程和积分因子 222

4.1 恰当方程的概念 222

4.2 恰当方程的判别 223

4.3 积分因子的概念 227

4.4 积分因子的求法 228

5 一阶隐式方程 234

5.1 参数形式的解 235

5.2 方程y=f(x,y′) 236

5.3 方程x=f(y,y′) 237

第十章 高阶方程和方程组的解法 240

1 特殊的非线性高阶方程的解法 240

1.1 dny/dxn=f(x)型的方程 240

1.2 y″=f(x,y′)型的方程 242

1.3 y″=f(y,y′)型的方程 243

1.4 解题的灵活性 244

2 二阶线性方程的解法 247

2.1 通解结构定理 247

2.2 置换法和视常数为变数法 248

2.3 常系数齐次线性方程的通解 252

2.4 待定系数法 255

2.5 幂级数解法 259

3 方程组的初等积分法 263

3.1 方程组的概念 263

3.2 方程组中的名称 264

3.3 方程组的解法 266

第十一章 高阶线性方程 274

1 解的存在与唯一性定理 274

1.1 Lipschitz条件 274

1.2 一阶正规形方程解的存在与唯一性定理 275

1.3 高阶线性方程解的存在与唯一性定理 279

2 函数间的线性关系 279

2.1 函数的线性相关和线性无关 279

2.2 相关性的判别 281

3 通解结构定理 285

3.1 齐次方程通解的结构定理 285

3.2 非齐次方程通解的结构定理 287

3.3 常系数齐次方程的基本解组 288

3.4 解非齐次方程的待定系数法 291

3.5 欧拉方程 293

4 奇解 296

4.1 奇解的概念 296

4.2 奇解的求法 298

第十二章 一阶偏微分方程 307

1 名称和基本概念 307

1.1 一阶偏微分方程 307

1.2 通解和特解 308

2 一阶线性齐次方程 309

2.1 特征方程组 309

2.2 首次积分与通解 311

2.3 多个自变量的线性齐次方程 316

3 一阶拟线性方程 318

3.1 拟线性方程的解法 318

3.2 初值问题的解法 320

答案与提示 324