第一篇 微积分 1
第一章 空间解析几何 1
第一节 空间向量及其线性运算 1
一、空间直角坐标系 1
二、空间向量及其表示 2
三、向量的加法与数乘 3
四、向量的坐标表示 6
五、二阶和三阶行列式 8
习题1-1 11
第二节 空间向量的乘积 12
一、两个向量的数量积 12
二、两个向量的向量积 14
三、向量的混合积 16
习题1-2 18
第三节 平面与直线 19
一、平面方程 19
二、直线方程 21
习题1-3 23
第四节 直线、平面的位置关系 24
一、两个平面的夹角 24
二、两直线间的夹角 25
三、直线与平面间的夹角 27
四、距离 28
习题1-4 30
第五节 曲面与曲线 31
一、曲面方程与曲线方程 31
二、柱面 旋转曲面 33
三、空间曲线在坐标面上的投影 35
四、二次曲面 36
习题1-5 40
第二章 函数 极限 连续 42
第一节 映射与函数 42
一、映射 42
二、函数 43
三、一元函数的几种特性 45
四、函数类别 47
习题2-1 53
第二节 函数的极限 55
一、函数极限的定义 55
二、函数极限的性质 57
三、函数极限的分析定义 58
习题2-2 61
第三节 无穷小与无穷大 61
一、无穷小量 61
二、无穷大量 62
习题2-3 63
第四节 极限的运算法则 63
一、极限的四则运算 63
二、复合函数的极限 66
习题2-4 67
第五节 两个重要极限 68
一、极限 68
二、极限 69
习题2-5 71
第六节 无穷小的比较 71
习题2-6 73
第七节 函数的连续性 73
一、函数的连续 74
二、闭区间上连续函数的性质 76
三、初等函数的连续性 77
习题2-7 78
第三章 导数与微分 80
第一节 导数概念与基本初等函数的导数 80
一、导数概念 80
二、基本初等函数的导数 82
三、函数的可导与连续性的关系 85
四、导数的几何意义 85
习题3-1 86
第二节 初等函数的导数 87
一、函数的和、差、积、商的导数 87
二、复合函数的导数 89
三、函数的相关变化率 92
习题3-2 92
第三节 微分及其在近似计算中的应用 94
一、微分概念 94
二、微分的运算法则 96
三、微分在近似计算中的应用 97
习题3-3 98
第四节 几类特殊形式函数的求导法 99
一、隐函数的导数 99
二、幂指函数的导数 100
三、由参数方程确定的函数的导数 101
四、反函数的导数 102
习题3-4 103
第五节 高阶导数 104
习题3-5 107
第四章 导数的应用 109
第一节 中值定理 109
习题4-1 112
第二节 罗必塔（L’Hospital）法则 113
习题4-2 117
第三节 函数的单调性和极值 118
一、函数的单调性 118
二、函数的极值 120
习题4-3 122
第四节 最大值与最小值 123
习题4-4 127
第五节 函数图形的描绘 129
一、曲线的凹凸性、拐点 129
二、曲线的渐近线 132
三、函数作图 132
习题4-5 135
第六节 向量函数的导数 弧微分 曲率 136
一、向量函数的导数 136
二、弧微分 138
三、曲率 140
四、曲率圆与曲率半径 143
习题4-6 144
第七节 方程的近似解 145
一、弦位法 146
二、切线法（牛顿（Newton）法） 147
习题4-7 149
第五章 多元函数微分法及其应用 150
第一节 偏导数 150
一、二元函数的极限与连续 150
二、偏导数的概念 152
三、偏导数的几何意义 154
四、高阶偏导数 154
习题5-1 156
第二节 全微分 158
一、全微分概念 158
二、全微分在近似计算中的应用 160
习题5-2 162
第三节 多元函数的求导法则 163
一、多元复合函数求导法则 163
二、隐函数求导法 167
习题5-3 169
第四节 偏导数在几何上的应用 170
一、空间曲线的切线和法平面 170
二、曲面的切平面和法线 172
习题5-4 175
第五节 极值问题 176
一、多元函数的极值 176
二、最大值与最小值问题 178
习题5-5 181
第六节 最小二乘法 182
习题5-6 185
第七节 方向导数 梯度 186
一、方向导数 186
二、梯度 187
习题5-7 189
第六章 不定积分 190
第一节 不定积分的概念 190
一、原函数概念 190
二、不定积分的概念、性质 191
三、基本积分公式和运算法则 192
习题6-1 194
第二节 换元积分法 194
一、第一类换元积分法（凑微分法） 194
二、第二类换元积分法 200
习题6-2 203
第三节 分部积分法 205
习题6-3 209
第四节 有理函数与三角函数有理式的积分 210
一、有理函数的积分 210
二、三角函数有理式的积分举例 215
习题6-4 217
第七章 定积分及其应用 219
第一节 定积分概念与性质 219
一、几个实际问题 219
二、定积分概念 221
三、定积分的性质 223
习题7-1 227
第二节 定积分的计算 227
一、牛顿-莱布尼兹（Leibniz）公式 227
二、定积分的换元积分法 230
三、定积分的分部积分法 233
习题7-2 235
第三节 广义积分 236
一、无穷区间上的广义积分 236
二、无界函数的广义积分 238
习题7-3 240
第四节 定积分的近似计算 241
一、矩形法 241
二、梯形法 242
三、抛物线法（辛普生（Simpson）法） 242
习题7-4 244
第五节 定积分的应用 245
一、几何应用 246
习题7-5（1） 253
二、物理应用 254
习题7-5（2） 256
第八章 重积分及其应用 258
第一节 二重积分的定义与性质 258
习题8-1 260
第二节 二重积分的计算 260
一、二重积分在直角坐标系中的计算 260
二、二重积分在极坐标系中的计算 265
习题8-2 268
第三节 三重积分概念及其计算 269
一、三重积分的概念 269
二、三重积分的计算 270
习题8-3 277
第四节 重积分的应用 278
一、几何应用 278
二、物理应用 282
习题8-4 286
第九章 曲线积分与曲面积分 288
第一节 曲线积分 288
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 288
二、对弧长的曲线积分的计算 289
三、对坐标的曲线积分的概念与性质 292
四、对坐标的曲线积分的计算 294
习题9-1 298
第二节 格林公式及其应用 299
一、格林（Green）公式 299
二、平面上曲线积分与路径无关的条件 302
习题9-2 305
第三节 曲面积分 306
一、对面积的曲面积分 306
二、对面积的曲面积分的计算 307
三、对坐标的曲面积分 311
四、对坐标的曲面积分的计算 315
习题9-3 317
第四节 高斯公式 通量与散度 318
一、高斯（Gauss）公式 318
二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 322
三、通量与散度 323
习题9-4 325
第五节 斯托克斯公式 环流量与旋度 326
一、斯托克斯（Stocks）公式 326
二、环流量与旋度 329
习题9-5 331
第十章 无穷级数 332
第一节 无穷级数的概念及基本性质 332
一、无穷级数的概念 332
二、无穷级数的基本性质 334
习题10-1 337
第二节 正项级数敛散性的判别法 338
一、比较判别法 338
二、比值判别法 342
三、根值判别法 343
四、积分判别法 344
习题10-2 344
第三节 任意项级数 346
一、交错级数 346
二、绝对收敛与条件收敛 347
习题10-3 349
第四节 幂级数 350
一、幂级数的收敛半径与收敛域 351
二、幂级数的运算 355
习题10-4 358
第五节 函数的幂级数展开式 358
一、泰勒（Taylor）公式 359
二、泰勒级数 361
三、把函数展开为幂级数 364
四、近似计算举例 370
习题10-5 373
第六节 函数的三角级数展开 373
一、三角函数形式的富里哀级数 373
二、把函数展开成三角级数 376
习题10-6 383
第十一章 微分方程 384
第一节 微分方程的基本概念 384
习题11-1 387
第二节 一阶微分方程 387
一、可分离变量的方程 387
二、齐次微分方程 389
三、一阶线性方程 391
四、伯努利（Bernoulli）方程 395
习题11-2 396
第三节 高阶微分方程的几个特殊类型 398
一、y（m）＝f（x）型的微分方程 399
二、y″＝f （x，y′）型的微分方程 400
三、y″＝ f（y，y′）型的微分方程 402
习题11-3 403
第四节 二阶线性微分方程解的结构 403
习题11-4 406
第五节 二阶常系数线性微分方程 407
一、二阶常系数线性齐次方程 407
二、二阶常系数线性非齐次方程 410
习题11-5 420
第二篇 矩阵代数 线性规划初步 421
第一章 矩阵代数 421
第一节 矩阵及其运算 422
一、矩阵的概念 422
二、矩阵的加法及与数量的乘法 423
三、矩阵的乘法 424
四、矩阵的转置 426
五、几种特殊形式的矩阵 428
六、可逆矩阵 429
习题1-1 431
第二节 n阶行列式 432
一、n阶行列式的定义 432
二、n阶行列式的计算 435
习题1-2 440
第三节 行列式的应用 442
一、求可逆方阵的逆矩阵 442
二、克莱姆（Cramer）法则 445
习题1-3 449
第四节 矩阵的秩与初等变换 451
一、矩阵的秩 451
二、矩阵的初等变换 453
三、用初等变换求逆矩阵 456
四、线性方程组有解的判别定理 460
习题1-4 465
第五节 n维向量 467
一、n维向量及其运算 468
二、向量的线性相关性 470
三、最大线性无关组 474
习题1-5 476
第六节 线性方程组解的结构 477
一、齐次线性方程组解的结构 478
二、非齐次线性方程组解的结构 482
习题1-6 485
第七节 矩阵的特征值与特征向量 486
一、线性变换及其在一组基下的矩阵 486
二、矩阵的特征值与特征向量 489
三、化方阵为对角矩阵的条件 494
习题1-7 499
第八节 二次型及其标准形 501
一、二次型及其矩阵表示 501
二、二次型的标准 503
三、正交向量组 504
四、用正交变换化实二次型为标准形 507
五、正定二次型 514
习题1-8 517
第二章 线性规划初步 519
第一节 线性规划问题及其数学模型 519
一、线性规划问题的数学模型 519
二、线性规划问题的标准形式 523
三、线性规划问题解的几个基本概念 526
习题2-1 526
第二节 两个变量的线性规划问题的图解法 528
一、二元一次不等式的几何意义 528
二、两个变量的线性规划问题的可行域 529
三、目标函数的等值线与最优解 530
习题2-2 533
第三节 单纯形法 534
一、单纯形法举例 534
二、第一个基础可行解的确定 537
三、单纯形表 539
习题2-3 545
第四节 人造基和两阶段法 546
习题2-4 552
第一篇 习题答案 554
第二篇 习题答案 577