第八章 多元函数微分法及其应用 1
第一节 多元函数的基本概念 1
一、区域 1
二、多元函数概念 3
三、多元函数的极限 6
四、多元函数的连续性 9
习题8-1 12
第二节 偏导数 13
一、偏导数的定义及其计算法 13
二、高阶偏导数 17
习题8-2 20
第三节 全微分及其应用 21
一、全微分的定义 21
二、全微分在近似计算中的应用 25
习题8-3 28
第四节 多元复合函数的求导法则 29
习题8-4 36
第五节 隐函数的求导公式 37
一、一个方程的情形 37
二、方程组的情形 40
习题8-5 43
第六节 微分法在几何上的应用 44
一、空间曲线的切线与法平面 44
二、曲面的切平面与法线 49
习题8-6 52
第七节 方向导数与梯度 53
一、方向导数 53
二、梯度 56
习题8-7 60
第八节 多元函数的极值及其求法 61
一、多元函数的极值及最大值、最小值 61
二、条件极值 拉格朗日乘数法 67
习题8-8 71
第九节 二元函数的泰勒公式 71
一、二元函数的泰勒公式 71
二、极值充分条件的证明 76
习题8-9 78
第十节 最小二乘法 79
习题8-10 84
总习题八 85
第九章 重积分 87
第一节 二重积分的概念与性质 87
一、二重积分的概念 87
二、二重积分的性质 91
习题9-1 93
第二节 二重积分的计算法 94
一、利用直角坐标计算二重积分 94
习题9-2（1） 103
二、利用极坐标计算二重积分 104
习题9-2（2） 110
三、二重积分的换元法 112
习题9-2（3） 118
第三节 二重积分的应用 119
一、曲面的面积 120
二、平面薄片的重心 123
三、平面薄片的转动惯量 125
四、平面薄片对质点的引力 126
习题9-3 127
第四节 三重积分的概念及其计算法 128
习题9-4 133
第五节 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 134
一、利用柱面坐标计算三重积分 134
二、利用球面坐标计算三重积分 136
习题9-5 141
第六节 含参变量的积分 143
习题9-6 149
总习题九 150
第十章 曲线积分与曲面积分 152
第一节 对弧长的曲线积分 152
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 152
二、对弧长的曲线积分的计算法 154
习题10-1 158
第二节 对坐标的曲线积分 159
一、对坐标的曲线积分的概念与性质 159
二、对坐标的曲线积分的计算法 163
三、两类曲线积分之间的联系 168
习题10-2 170
第三节 格林公式及其应用 171
一、格林公式 171
二、平面上曲线积分与路径无关的条件 176
三、二元函数的全微分求积 179
习题10-3 184
第四节 对面积的曲面积分 185
一、对面积的曲面积分的概念与性质 185
二、对面积的曲面积分的计算法 186
习题10-4 190
第五节 对坐标的曲面积分 192
一、对坐标的曲面积分的概念与性质 192
二、对坐标的曲面积分的计算法 197
三、两类曲面积分之间的联系 200
习题10-5 203
第六节 高斯公式 通量与散度 204
一、高斯公式 204
二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 209
三、通量与散度 210
习题10-6 212
第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度 213
一、斯托克斯公式 213
二、空间曲线积分与路径无关的条件 219
三、环流量与旋度 221
四、向量微分算子 223
习题10-7 224
总习题十 225
第十一章 无穷级数 228
第一节 常数项级数的概念和性质 228
一、常数项级数的概念 228
二、收敛级数的基本性质 231
三、柯西审敛原理 235
习题11-1 236
第二节 常数项级数的审敛法 237
一、正项级数及其审敛法 237
二、交错级数及其审敛法 245
三、绝对收敛与条件收敛 247
习题11-2 252
第三节 幂级数 254
一、函数项级数的概念 254
二、幂级数及其收敛性 255
三、幂级数的运算 260
习题11-3 263
第四节 函数展开成幂级数 264
一、泰勒级数 264
二、函数展开成幂级数 267
习题11-4 275
第五节 函数的幂级数展开式的应用 275
一、近似计算 275
二、欧拉公式 280
习题11-5 281
第六节 函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质 282
一、函数项级数的一致收敛性 282
二、一致收敛级数的基本性质 287
习题11-6 292
第七节 傅里叶级数 293
一、三角级数 三角函数系的正交性 293
二、函数展开成傅里叶级数 296
习题11-7 303
第八节 正弦级数和余弦级数 304
一、奇函数和偶函数的傅里叶级数 304
二、函数展开成正弦级数或余弦级数 308
习题11-8 310
第九节 周期为2l的周期函数的傅里叶级数 310
习题11-9 314
第十节 傅里叶级数的复数形式 314
习题11-10 317
总习题十一 318
第十二章 微分方程 320
第一节 微分方程的基本概念 320
习题12-1 325
第二节 可分离变量的微分方程 326
习题12-2 333
第三节 齐次方程 334
一、齐次方程 334
二、可化为齐次的方程 339
习题12-3 341
第四节 一阶线性微分方程 342
一、线性方程 342
二、伯努利方程 345
习题12-4 348
第五节 全微分方程 349
习题12-5 352
第六节 欧拉-柯西近似法 352
习题12-6 357
第七节 可降阶的高阶微分方程 357
一、y(n)=f（x）型的微分方程 358
二、y″=f（x,y′）型的微分方程 360
三、y″=f（y,y′）型的微分方程 363
习题12-7 366
第八节 高阶线性微分方程 366
一、二阶线性微分方程举例 366
二、线性微分方程的解的结构 369
三、常数变易法 372
习题12-8 375
第九节 二阶常系数齐次线性微分方程 376
习题12-9 386
第十节 二阶常系数非齐次线性微分方程 387
一、f(x)=eλxPm（x）型 388
二、f(x)=eλx［Pl(x)cos ωx+Pn(x)sin ωx］型 390
习题12-10 394
第十一节 欧拉方程 395
习题12-11 397
第十二节 微分方程的幂级数解法 397
习题12-12 402
第十三节 常系数线性微分方程组解法举例 402
习题12-13 406
总习题十二 407
习题答案与提示 409