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第八章 多元函数微分法及其应用 1

第一节 多元函数的基本概念 1

一、区域 1

二、多元函数概念 3

三、多元函数的极限 6

四、多元函数的连续性 9

习题8-1 12

第二节 偏导数 13

一、偏导数的定义及其计算法 13

二、高阶偏导数 17

习题8-2 20

第三节 全微分及其应用 21

一、全微分的定义 21

二、全微分在近似计算中的应用 25

习题8-3 28

第四节 多元复合函数的求导法则 29

习题8-4 36

第五节 隐函数的求导公式 37

一、一个方程的情形 37

二、方程组的情形 40

习题8-5 43

第六节 微分法在几何上的应用 44

一、空间曲线的切线与法平面 44

二、曲面的切平面与法线 49

习题8-6 52

第七节 方向导数与梯度 53

一、方向导数 53

二、梯度 56

习题8-7 60

第八节 多元函数的极值及其求法 61

一、多元函数的极值及最大值、最小值 61

二、条件极值 拉格朗日乘数法 67

习题8-8 71

第九节 二元函数的泰勒公式 71

一、二元函数的泰勒公式 71

二、极值充分条件的证明 76

习题8-9 78

第十节 最小二乘法 79

习题8-10 84

总习题八 85

第九章 重积分 87

第一节 二重积分的概念与性质 87

一、二重积分的概念 87

二、二重积分的性质 91

习题9-1 93

第二节 二重积分的计算法 94

一、利用直角坐标计算二重积分 94

习题9-2（1） 103

二、利用极坐标计算二重积分 104

习题9-2（2） 110

三、二重积分的换元法 112

习题9-2（3） 118

第三节 二重积分的应用 119

一、曲面的面积 120

二、平面薄片的重心 123

三、平面薄片的转动惯量 125

四、平面薄片对质点的引力 126

习题9-3 127

第四节 三重积分的概念及其计算法 128

习题9-4 133

第五节 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 134

一、利用柱面坐标计算三重积分 134

二、利用球面坐标计算三重积分 136

习题9-5 141

第六节 含参变量的积分 143

习题9-6 149

总习题九 150

第十章 曲线积分与曲面积分 152

第一节 对弧长的曲线积分 152

一、对弧长的曲线积分的概念与性质 152

二、对弧长的曲线积分的计算法 154

习题10-1 158

第二节 对坐标的曲线积分 159

一、对坐标的曲线积分的概念与性质 159

二、对坐标的曲线积分的计算法 163

三、两类曲线积分之间的联系 168

习题10-2 170

第三节 格林公式及其应用 171

一、格林公式 171

二、平面上曲线积分与路径无关的条件 176

三、二元函数的全微分求积 179

习题10-3 184

第四节 对面积的曲面积分 185

一、对面积的曲面积分的概念与性质 185

二、对面积的曲面积分的计算法 186

习题10-4 190

第五节 对坐标的曲面积分 192

一、对坐标的曲面积分的概念与性质 192

二、对坐标的曲面积分的计算法 197

三、两类曲面积分之间的联系 200

习题10-5 203

第六节 高斯公式 通量与散度 204

一、高斯公式 204

二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 209

三、通量与散度 210

习题10-6 212

第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度 213

一、斯托克斯公式 213

二、空间曲线积分与路径无关的条件 219

三、环流量与旋度 221

四、向量微分算子 223

习题10-7 224

总习题十 225

第十一章 无穷级数 228

第一节 常数项级数的概念和性质 228

一、常数项级数的概念 228

二、收敛级数的基本性质 231

三、柯西审敛原理 235

习题11-1 236

第二节 常数项级数的审敛法 237

一、正项级数及其审敛法 237

二、交错级数及其审敛法 245

三、绝对收敛与条件收敛 247

习题11-2 252

第三节 幂级数 254

一、函数项级数的概念 254

二、幂级数及其收敛性 255

三、幂级数的运算 260

习题11-3 263

第四节 函数展开成幂级数 264

一、泰勒级数 264

二、函数展开成幂级数 267

习题11-4 275

第五节 函数的幂级数展开式的应用 275

一、近似计算 275

二、欧拉公式 280

习题11-5 281

第六节 函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质 282

一、函数项级数的一致收敛性 282

二、一致收敛级数的基本性质 287

习题11-6 292

第七节 傅里叶级数 293

一、三角级数 三角函数系的正交性 293

二、函数展开成傅里叶级数 296

习题11-7 303

第八节 正弦级数和余弦级数 304

一、奇函数和偶函数的傅里叶级数 304

二、函数展开成正弦级数或余弦级数 308

习题11-8 310

第九节 周期为2l的周期函数的傅里叶级数 310

习题11-9 314

第十节 傅里叶级数的复数形式 314

习题11-10 317

总习题十一 318

第十二章 微分方程 320

第一节 微分方程的基本概念 320

习题12-1 325

第二节 可分离变量的微分方程 326

习题12-2 333

第三节 齐次方程 334

一、齐次方程 334

二、可化为齐次的方程 339

习题12-3 341

第四节 一阶线性微分方程 342

一、线性方程 342

二、伯努利方程 345

习题12-4 348

第五节 全微分方程 349

习题12-5 352

第六节 欧拉-柯西近似法 352

习题12-6 357

第七节 可降阶的高阶微分方程 357

一、y(n)=f（x）型的微分方程 358

二、y″=f（x,y′）型的微分方程 360

三、y″=f（y,y′）型的微分方程 363

习题12-7 366

第八节 高阶线性微分方程 366

一、二阶线性微分方程举例 366

二、线性微分方程的解的结构 369

三、常数变易法 372

习题12-8 375

第九节 二阶常系数齐次线性微分方程 376

习题12-9 386

第十节 二阶常系数非齐次线性微分方程 387

一、f(x)=eλxPm（x）型 388

二、f(x)=eλx［Pl(x)cos ωx+Pn(x)sin ωx］型 390

习题12-10 394

第十一节 欧拉方程 395

习题12-11 397

第十二节 微分方程的幂级数解法 397

习题12-12 402

第十三节 常系数线性微分方程组解法举例 402

习题12-13 406

总习题十二 407

习题答案与提示 409