第一章 函数与极限 1
第一节 函数 1
一、集合 1
二、一元函数的定义 2
三、函数的几种特性 7
四、反函数 9
习题1-1 10
第二节 初等函数 12
一、基本初等函数 12
二、复合函数 16
三、初等函数 16
四、双曲函数 16
主要概念的背景与应用——函数 18
习题1-2 19
第三节 数列的极限 20
一、数列 21
二、数列极限的定义 21
三、收敛数列的性质 25
习题1-3 27
第四节 函数的极限 28
一、自变量趋向无穷大时函数的极限 28
二、自变量趋向有限值时函数的极限 30
三、函数极限的性质 33
习题1-4 35
第五节 无穷小与无穷大 36
一、无穷小 36
二、无穷大 37
习题1-5 39
第六节 极限运算法则 39
习题1-6 46
第七节 极限存在准则 两个重要极限 47
一、极限存在的两个准则 47
二、几个重要不等式 48
三、两个重要极限 51
四、杂例 53
习题1-7 55
第八节 无穷小的比较 56
主要概念的背景与应用——极限 58
习题1-8 59
第九节 函数的连续性 59
一、函数连续的定义 59
二、函数的间断点 61
习题1-9 63
第十节 连续函数的运算与初等函数的连续性 63
一、连续函数的和、积及商的连续性 63
二、反函数与复合函数的连续性 64
三、初等函数的连续性 65
习题1-10 66
第十一节 闭区间上连续函数的性质 67
一、最大值和最小值定理 67
二、介值定理 68
主要概念的背景与应用——连续 70
习题1-11 70
第二章 导数与微分 72
第一节 导数的概念 72
一、引例 72
二、导数的定义 74
三、求导数举例 75
四、导数的几何意义 78
五、函数的可导性与连续性之间的关系 78
六、差商 79
习题2-1 80
第二节 函数的求导法则 82
一、函数的和、差、积、商的求导法则 82
二、反函数的导数 85
三、复合函数的导数 86
习题2-2 92
第三节 高阶导数 94
习题2-3 98
第四节 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 99
一、隐函数的导数 99
二、对数求导法 101
三、由参数方程所确定的函数的导数 102
四、相关变化率 105
习题2-4 106
第五节 函数的微分 108
一、微分的概念 108
二、微分的运算公式 110
三、微分的应用 112
主要概念的背景与应用——导数与微分 115
习题2-5 116
第三章 中值定理与导数的应用 118
第一节 中值定理 118
一、罗尔定理 118
二、拉格朗日中值定理 119
三、柯西中值定理 122
习题3-1 123
第二节 洛必达法则 124
习题3-2 129
第三节 泰勒中值定理 130
习题3-3 136
第四节 函数单调性判别法 137
习题3-4 140
第五节 函数的极值与最值 141
一、函数的极值及其求法 141
二、函数的最值及其求法 144
习题3-5 148
第六节 曲线的凹凸性与拐点 149
习题3-6 152
第七节 函数作图 153
一、斜渐近线 153
二、函数作图 154
习题3-7 156
第八节 曲线的曲率 157
一、曲率的概念 157
二、曲率的计算公式 158
三、曲率圆与曲率半径 159
习题3-8 161
第九节 方程的近似解 161
一、两分法 162
二、牛顿法 163
习题3-9 164
第四章 不定积分 165
第一节 不定积分的概念与性质 165
一、原函数与不定积分的概念 165
二、基本积分表 168
三、不定积分的性质 170
习题4-1 172
第二节 换元积分法 172
一、第一类换元法 173
二、第二类换元法 179
习题4-2 184
第三节 分部积分法 186
一、分部积分法 186
二、杂例 189
习题4 -3 191
第四节 几种特殊类型函数的积分 192
一、有理函数的积分 192
二、三角函数有理式的积分 196
三、简单无理函数的积分举例 197
习题4-4 199
第五章 定积分 200
第一节 定积分的概念 200
一、引例 200
二、定积分的定义 203
习题5-1 205
第二节 定积分的性质 206
习题5 -2 210
第三节 微积分基本公式 210
习题5 -3 216
第四节 定积分的换元法与分部积分法 218
一、定积分的换元法 218
二、定积分的分部积分法 222
三、杂例 225
主要概念的背景与应用——不定积分与定积分 228
习题5 -4 229
第五节 定积分的近似计算 231
一、梯形法 231
二、抛物线法 232
习题5 -5 233
第六节 反常积分初步 234
一、积分区间为无穷的反常积分 234
二、无界函数的反常积分 236
三、Γ函数 238
习题5 -6 239
第六章 定积分的应用 241
第一节 定积分的元素法 241
第二节 平面图形的面积 242
一、直角坐标情形 242
二、极坐标情形 244
习题6-2 247
第三节 体积 248
一、旋转体的体积 248
二、平行截面面积为已知的立体的体积 250
习题6-3 251
第四节 平面曲线的弧长 252
一、直角坐标情形 252
二、参数方程情形 253
三、极坐标方程情形 254
习题6-4 255
第五节 定积分的其他应用 256
一、功 256
二、液体压力 258
三、引力 258
四、工程上的应用 260
习题6 -5 263
第七章 常微分方程 266
第一节 常微分方程的基本概念 266
习题7-1 269
第二节 可分离变量的微分方程 270
习题7 -2 273
第三节 齐次方程 274
习题7 -3 277
第四节 一阶线性微分方程 278
一、一阶线性微分方程 278
二、伯努利方程 282
习题7-4 284
第五节 可降阶的高阶微分方程 285
一、y（n）=f（x）型的微分方程 285
二、y"=f（x， y'）型的微分方程 286
三、y"=f （y ，y'）型的微分方程 287
习题7 -5 288
第六节 高阶线性微分方程及其解的结构 289
习题7 -6 295
第七节 二阶常系数齐次线性微分方程 296
习题7-7 300
第八节 二阶常系数非齐次线性微分方程 301
一、非齐次项 f（x） = Pm （x） eλx 302
二、非齐次项f（x） =eλx[Pl（x） cos ωx +Pn（x）sinωx] 305
习题7-8 307
第九节欧拉方程 308
习题7-9 310
第十节常微分方程组解法举例 310
习题7-10 311
第十一节微分方程应用举例 312
习题7-1 1 321
附录一 微积分学简史 322
附录二Mathematica使用初步 329
附录三 二阶和三阶行列式介绍 346
附录四 极坐标介绍 349
习题答案与提示 353
参考文献 381