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第一章 函数与极限 1

第一节 函数 1

一、集合 1

二、一元函数的定义 2

三、函数的几种特性 7

四、反函数 9

习题1-1 10

第二节 初等函数 12

一、基本初等函数 12

二、复合函数 16

三、初等函数 16

四、双曲函数 16

主要概念的背景与应用——函数 18

习题1-2 19

第三节 数列的极限 20

一、数列 21

二、数列极限的定义 21

三、收敛数列的性质 25

习题1-3 27

第四节 函数的极限 28

一、自变量趋向无穷大时函数的极限 28

二、自变量趋向有限值时函数的极限 30

三、函数极限的性质 33

习题1-4 35

第五节 无穷小与无穷大 36

一、无穷小 36

二、无穷大 37

习题1-5 39

第六节 极限运算法则 39

习题1-6 46

第七节 极限存在准则 两个重要极限 47

一、极限存在的两个准则 47

二、几个重要不等式 48

三、两个重要极限 51

四、杂例 53

习题1-7 55

第八节 无穷小的比较 56

主要概念的背景与应用——极限 58

习题1-8 59

第九节 函数的连续性 59

一、函数连续的定义 59

二、函数的间断点 61

习题1-9 63

第十节 连续函数的运算与初等函数的连续性 63

一、连续函数的和、积及商的连续性 63

二、反函数与复合函数的连续性 64

三、初等函数的连续性 65

习题1-10 66

第十一节 闭区间上连续函数的性质 67

一、最大值和最小值定理 67

二、介值定理 68

主要概念的背景与应用——连续 70

习题1-11 70

第二章 导数与微分 72

第一节 导数的概念 72

一、引例 72

二、导数的定义 74

三、求导数举例 75

四、导数的几何意义 78

五、函数的可导性与连续性之间的关系 78

六、差商 79

习题2-1 80

第二节 函数的求导法则 82

一、函数的和、差、积、商的求导法则 82

二、反函数的导数 85

三、复合函数的导数 86

习题2-2 92

第三节 高阶导数 94

习题2-3 98

第四节 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 99

一、隐函数的导数 99

二、对数求导法 101

三、由参数方程所确定的函数的导数 102

四、相关变化率 105

习题2-4 106

第五节 函数的微分 108

一、微分的概念 108

二、微分的运算公式 110

三、微分的应用 112

主要概念的背景与应用——导数与微分 115

习题2-5 116

第三章 中值定理与导数的应用 118

第一节 中值定理 118

一、罗尔定理 118

二、拉格朗日中值定理 119

三、柯西中值定理 122

习题3-1 123

第二节 洛必达法则 124

习题3-2 129

第三节 泰勒中值定理 130

习题3-3 136

第四节 函数单调性判别法 137

习题3-4 140

第五节 函数的极值与最值 141

一、函数的极值及其求法 141

二、函数的最值及其求法 144

习题3-5 148

第六节 曲线的凹凸性与拐点 149

习题3-6 152

第七节 函数作图 153

一、斜渐近线 153

二、函数作图 154

习题3-7 156

第八节 曲线的曲率 157

一、曲率的概念 157

二、曲率的计算公式 158

三、曲率圆与曲率半径 159

习题3-8 161

第九节 方程的近似解 161

一、两分法 162

二、牛顿法 163

习题3-9 164

第四章 不定积分 165

第一节 不定积分的概念与性质 165

一、原函数与不定积分的概念 165

二、基本积分表 168

三、不定积分的性质 170

习题4-1 172

第二节 换元积分法 172

一、第一类换元法 173

二、第二类换元法 179

习题4-2 184

第三节 分部积分法 186

一、分部积分法 186

二、杂例 189

习题4 -3 191

第四节 几种特殊类型函数的积分 192

一、有理函数的积分 192

二、三角函数有理式的积分 196

三、简单无理函数的积分举例 197

习题4-4 199

第五章 定积分 200

第一节 定积分的概念 200

一、引例 200

二、定积分的定义 203

习题5-1 205

第二节 定积分的性质 206

习题5 -2 210

第三节 微积分基本公式 210

习题5 -3 216

第四节 定积分的换元法与分部积分法 218

一、定积分的换元法 218

二、定积分的分部积分法 222

三、杂例 225

主要概念的背景与应用——不定积分与定积分 228

习题5 -4 229

第五节 定积分的近似计算 231

一、梯形法 231

二、抛物线法 232

习题5 -5 233

第六节 反常积分初步 234

一、积分区间为无穷的反常积分 234

二、无界函数的反常积分 236

三、Γ函数 238

习题5 -6 239

第六章 定积分的应用 241

第一节 定积分的元素法 241

第二节 平面图形的面积 242

一、直角坐标情形 242

二、极坐标情形 244

习题6-2 247

第三节 体积 248

一、旋转体的体积 248

二、平行截面面积为已知的立体的体积 250

习题6-3 251

第四节 平面曲线的弧长 252

一、直角坐标情形 252

二、参数方程情形 253

三、极坐标方程情形 254

习题6-4 255

第五节 定积分的其他应用 256

一、功 256

二、液体压力 258

三、引力 258

四、工程上的应用 260

习题6 -5 263

第七章 常微分方程 266

第一节 常微分方程的基本概念 266

习题7-1 269

第二节 可分离变量的微分方程 270

习题7 -2 273

第三节 齐次方程 274

习题7 -3 277

第四节 一阶线性微分方程 278

一、一阶线性微分方程 278

二、伯努利方程 282

习题7-4 284

第五节 可降阶的高阶微分方程 285

一、y（n）=f（x）型的微分方程 285

二、y"=f（x， y'）型的微分方程 286

三、y"=f （y ，y'）型的微分方程 287

习题7 -5 288

第六节 高阶线性微分方程及其解的结构 289

习题7 -6 295

第七节 二阶常系数齐次线性微分方程 296

习题7-7 300

第八节 二阶常系数非齐次线性微分方程 301

一、非齐次项 f（x） = Pm （x） eλx 302

二、非齐次项f（x） =eλx[Pl（x） cos ωx +Pn（x）sinωx] 305

习题7-8 307

第九节欧拉方程 308

习题7-9 310

第十节常微分方程组解法举例 310

习题7-10 311

第十一节微分方程应用举例 312

习题7-1 1 321

附录一 微积分学简史 322

附录二Mathematica使用初步 329

附录三 二阶和三阶行列式介绍 346

附录四 极坐标介绍 349

习题答案与提示 353

参考文献 381