1 函数与极限 1
1.1 函数 1
1.1.1 集合 1
1.1.2 变量与函数的概念 4
1.1.3 函数的几种性质 7
1.1.4 反函数 9
1.1.5 复合函数 10
1.1.6 函数的四则运算 12
1.1.7 初等函数 13
1.1.8 双曲函数与反双曲函数 15
1.1.9 映射 17
习题1-1 18
1.2 极限 20
1.2.1 数列的极限及其性质 20
1.2.2 函数的极限及其性质 26
1.2.3 极限运算法则 31
1.2.4 极限存在准则 两个重要极限 34
1.2.5 无穷小与无穷大 39
习题1-2 44
1.3 函数的连续性和间断点 46
1.3.1 函数的连续性 46
1.3.2 函数的间断点及其分类 49
1.3.3 连续函数的运算 51
1.3.4 初等函数的连续性 53
1.3.5 闭区间上连续函数的性质 54
1.3.6 一致连续性的概念 56
习题1-3 58
本章小结 59
自我检测题1 60
复习题1 61
2 导数与微分 63
2.1 导数的概念 63
2.1.1 引例 63
2.1.2 导数的定义 65
2.1.3 导数的几何意义 69
2.1.4 利用单位解释导数 70
2.1.5 函数的可导性与连续性的关系 71
2.1.6 导数在自然学科中的应用实例 72
习题2-1 73
2.2 函数的求导方法 初等函数的导数 74
2.2.1 几个基本初等函数的导数公式 75
2.2.2 函数的和、差、积、商的求导法则 76
2.2.3 反函数的求导法则 78
2.2.4 复合函数的求导法则 80
习题2-2 85
2.3 高阶导数 86
2.3.1 高阶导数的概念 86
2.3.2 高阶导数的四则运算及莱布尼兹公式 89
习题2-3 90
2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 90
2.4.1 隐函数求导法 90
2.4.2 取对数求导法 92
2.4.3 由参数方程所确定的函数的求导法 93
2.4.4 由极坐标方程所表示的函数的导数 97
习题2-4 99
2.5 相关变化率 100
习题2-5 102
2.6 微分 102
2.6.1 微分的概念 102
2.6.2 可微的充分必要条件 103
2.6.3 微分的几何意义 104
2.6.4 微分法则 105
2.6.5 微分的应用举例 108
习题2-6 114
本章小结 115
自我检测题2 117
复习题2 118
3 微分学基本定理 119
3.1 微分学三个基本定理 119
3.1.1 费马（Fermat）引理 119
3.1.2 罗尔定理 120
3.1.3 拉格朗日中值定理 122
3.1.4 柯西定理 124
习题3-1 126
3.2 泰勒公式 127
习题3-2 130
本章小结 130
自我检测题3 131
复习题3 132
4 微分学应用 133
4.1 未定式求极限 133
4.1.1 0/0型未定式 133
4.1.2 ∞/∞型未定式 136
4.1.3 其他未定式 137
习题4-1 140
4.2 函数的单调性和极值 141
4.2.1 函数的单调性 141
4.2.2 函数的极值 143
4.2.3 最大值和最小值问题 146
习题4-2 148
4.3 曲线的凹凸性和拐点 150
习题4-3 154
4.4 函数图形的描绘 154
4.4.1 曲线的渐近线 154
4.4.2 函数图形的描绘 155
习题4-4 157
4.5 曲率 158
4.5.1弧微分 158
4.5.2 曲率的计算公式 159
4.5.3 曲率圆 161
习题4-5 162
4.6 方程的近似解 163
4.6.1 二分法 163
4.6.2 切线法 164
习题4-6 165
本章小结 166
自我检测题4 167
复习题4 168
5 不定积分 170
5.1 不定积分 170
5.1.1 原函数 170
5.1.2 不定积分的概念 171
5.1.3 基本积分表 172
5.1.4 基本积分运算法则 174
习题5-1 176
5.2 换元积分法 176
5.2.1 第一换元法（凑微分法） 177
5.2.2 第二换元法 181
习题5-2 184
5.3 分部积分法 185
习题5-3 190
5.4 有理函数的不定积分 190
5.4.1 有理函数的不定积分 191
5.4.2 三角函数有理式的积分 194
5.4.3 简单无理函数的积分 195
习题5-4 197
5.5 积分表的使用 197
本章小结 199
自我检测题5 201
复习题5 202
6 定积分 204
6.1 定积分的概念 204
6.1.1 引例 204
6.1.2 定积分的概念 206
习题6-1 208
6.2 定积分的性质 208
习题6-2 212
6.3 微积分基本定理 213
6.3.1 积分上限的函数及其导数 214
6.3.2 牛顿－莱布尼兹公式 215
习题6-3 218
6.4 定积分的换元法与分部积分法 219
6.4.1 定积分的换元法 219
6.4.2 定积分的分部积分法 223
习题6-4 226
6.5 反常积分 227
6.5.1 无穷限的反常积分 227
6.5.2 无界函数的反常积分 229
习题6-5 232
6.6 反常积分的审敛法 Γ函数 232
6.6.1 无穷限反常积分的审敛法 232
6.6.2 无界函数的反常积分的审敛法 235
6.6.3 Γ（Gamma）函数 237
习题6-6 239
本章小结 239
自我检测题6 241
复习题6 242
7 定积分的应用 244
7.1 定积分的元素法 244
7.2 定积分在几何方面的应用 246
7.2.1 平面图形的面积 246
7.2.2 体积 249
7.2.3 平面曲线的弧长 251
习题7-2 253
7.3 定积分在物理及其他方面的应用 254
7.3.1 变力沿直线所做的功 254
7.3.2 液体的静压力 256
7.3.3 引力 256
7.3.4 平均值和均方根 257
习题7-3 259
本章小结 260
自我检测题7 261
复习题7 261
8 无穷级数 263
8.1 数项级数的概念与性质 264
8.1.1 数项级数的概念 264
8.1.2 无穷级数的收敛与发散 264
8.1.3 收敛级数的性质 267
8.1.4 级数收敛的柯西（Cauchy）准则 270
习题8-1 271
8.2 正项级数及其审敛法 272
8.2.1 正项级数的基本性质 272
8.2.2 正项级数的比较审敛法 273
8.2.3 正项级数的比值审敛法 276
8.2.4 正项级数的根值审敛法 280
8.2.5 正项级数的积分审敛法 281
习题8-2 283
8.3 任意项级数 283
8.3.1 交错级数与莱布尼兹审敛法 284
8.3.2 任意项级数的绝对值审敛法 286
8.3.3 绝对收敛级数的性质 288
习题8-3 290
8.4 幂级数 290
8.4.1 函数项级数 290
8.4.2 幂级数与幂级数的收敛区间 291
8.4.3 幂级数的代数性质与解析性质 296
习题8-4 300
8.5 函数展开为幂级数 幂级数的若干应用 300
8.5.1 泰勒级数 300
8.5.2 函数展开成幂级数的方法 302
8.5.3 幂级数的若干应用 307
8.5.4 欧拉公式 310
习题8-5 310
8.6 函数项级数的一致收敛性 311
8.6.1 一致收敛的概念 312
8.6.2 函数项级数一致收敛的审敛法 314
8.6.3 一致收敛级数的解析性质 316
8.6.4 幂级数的一致收敛性 319
习题8-6 321
8.7 傅里叶级数 321
8.7.1 三角函数系的正交性及三角级数 322
8.7.2 函数的傅里叶级数 323
8.7.3 傅里叶级数的收敛性定理——狄利克雷（Dirichlet）充分条件 324
8.7.4 正弦级数与余弦级数 329
8.7.5 一般周期函数的傅里叶级数 332
8.7.6 傅里叶级数的复数形式 335
习题8-7 336
本章小结 337
自我检测题8 339
复习题8 339
附录1 二阶和三阶行列式简介 341
附录2 基本初等函数的图形及其主要性质 344
附录3 常用的三角公式 350
附录4 常用曲线和曲面 352
附录5 积分表 356
习题参考答案 365
参考文献 384