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1 函数与极限 1

1.1 函数 1

1.1.1 集合 1

1.1.2 变量与函数的概念 4

1.1.3 函数的几种性质 7

1.1.4 反函数 9

1.1.5 复合函数 10

1.1.6 函数的四则运算 12

1.1.7 初等函数 13

1.1.8 双曲函数与反双曲函数 15

1.1.9 映射 17

习题1-1 18

1.2 极限 20

1.2.1 数列的极限及其性质 20

1.2.2 函数的极限及其性质 26

1.2.3 极限运算法则 31

1.2.4 极限存在准则 两个重要极限 34

1.2.5 无穷小与无穷大 39

习题1-2 44

1.3 函数的连续性和间断点 46

1.3.1 函数的连续性 46

1.3.2 函数的间断点及其分类 49

1.3.3 连续函数的运算 51

1.3.4 初等函数的连续性 53

1.3.5 闭区间上连续函数的性质 54

1.3.6 一致连续性的概念 56

习题1-3 58

本章小结 59

自我检测题1 60

复习题1 61

2 导数与微分 63

2.1 导数的概念 63

2.1.1 引例 63

2.1.2 导数的定义 65

2.1.3 导数的几何意义 69

2.1.4 利用单位解释导数 70

2.1.5 函数的可导性与连续性的关系 71

2.1.6 导数在自然学科中的应用实例 72

习题2-1 73

2.2 函数的求导方法 初等函数的导数 74

2.2.1 几个基本初等函数的导数公式 75

2.2.2 函数的和、差、积、商的求导法则 76

2.2.3 反函数的求导法则 78

2.2.4 复合函数的求导法则 80

习题2-2 85

2.3 高阶导数 86

2.3.1 高阶导数的概念 86

2.3.2 高阶导数的四则运算及莱布尼兹公式 89

习题2-3 90

2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 90

2.4.1 隐函数求导法 90

2.4.2 取对数求导法 92

2.4.3 由参数方程所确定的函数的求导法 93

2.4.4 由极坐标方程所表示的函数的导数 97

习题2-4 99

2.5 相关变化率 100

习题2-5 102

2.6 微分 102

2.6.1 微分的概念 102

2.6.2 可微的充分必要条件 103

2.6.3 微分的几何意义 104

2.6.4 微分法则 105

2.6.5 微分的应用举例 108

习题2-6 114

本章小结 115

自我检测题2 117

复习题2 118

3 微分学基本定理 119

3.1 微分学三个基本定理 119

3.1.1 费马（Fermat）引理 119

3.1.2 罗尔定理 120

3.1.3 拉格朗日中值定理 122

3.1.4 柯西定理 124

习题3-1 126

3.2 泰勒公式 127

习题3-2 130

本章小结 130

自我检测题3 131

复习题3 132

4 微分学应用 133

4.1 未定式求极限 133

4.1.1 0/0型未定式 133

4.1.2 ∞/∞型未定式 136

4.1.3 其他未定式 137

习题4-1 140

4.2 函数的单调性和极值 141

4.2.1 函数的单调性 141

4.2.2 函数的极值 143

4.2.3 最大值和最小值问题 146

习题4-2 148

4.3 曲线的凹凸性和拐点 150

习题4-3 154

4.4 函数图形的描绘 154

4.4.1 曲线的渐近线 154

4.4.2 函数图形的描绘 155

习题4-4 157

4.5 曲率 158

4.5.1弧微分 158

4.5.2 曲率的计算公式 159

4.5.3 曲率圆 161

习题4-5 162

4.6 方程的近似解 163

4.6.1 二分法 163

4.6.2 切线法 164

习题4-6 165

本章小结 166

自我检测题4 167

复习题4 168

5 不定积分 170

5.1 不定积分 170

5.1.1 原函数 170

5.1.2 不定积分的概念 171

5.1.3 基本积分表 172

5.1.4 基本积分运算法则 174

习题5-1 176

5.2 换元积分法 176

5.2.1 第一换元法（凑微分法） 177

5.2.2 第二换元法 181

习题5-2 184

5.3 分部积分法 185

习题5-3 190

5.4 有理函数的不定积分 190

5.4.1 有理函数的不定积分 191

5.4.2 三角函数有理式的积分 194

5.4.3 简单无理函数的积分 195

习题5-4 197

5.5 积分表的使用 197

本章小结 199

自我检测题5 201

复习题5 202

6 定积分 204

6.1 定积分的概念 204

6.1.1 引例 204

6.1.2 定积分的概念 206

习题6-1 208

6.2 定积分的性质 208

习题6-2 212

6.3 微积分基本定理 213

6.3.1 积分上限的函数及其导数 214

6.3.2 牛顿－莱布尼兹公式 215

习题6-3 218

6.4 定积分的换元法与分部积分法 219

6.4.1 定积分的换元法 219

6.4.2 定积分的分部积分法 223

习题6-4 226

6.5 反常积分 227

6.5.1 无穷限的反常积分 227

6.5.2 无界函数的反常积分 229

习题6-5 232

6.6 反常积分的审敛法 Γ函数 232

6.6.1 无穷限反常积分的审敛法 232

6.6.2 无界函数的反常积分的审敛法 235

6.6.3 Γ（Gamma）函数 237

习题6-6 239

本章小结 239

自我检测题6 241

复习题6 242

7 定积分的应用 244

7.1 定积分的元素法 244

7.2 定积分在几何方面的应用 246

7.2.1 平面图形的面积 246

7.2.2 体积 249

7.2.3 平面曲线的弧长 251

习题7-2 253

7.3 定积分在物理及其他方面的应用 254

7.3.1 变力沿直线所做的功 254

7.3.2 液体的静压力 256

7.3.3 引力 256

7.3.4 平均值和均方根 257

习题7-3 259

本章小结 260

自我检测题7 261

复习题7 261

8 无穷级数 263

8.1 数项级数的概念与性质 264

8.1.1 数项级数的概念 264

8.1.2 无穷级数的收敛与发散 264

8.1.3 收敛级数的性质 267

8.1.4 级数收敛的柯西（Cauchy）准则 270

习题8-1 271

8.2 正项级数及其审敛法 272

8.2.1 正项级数的基本性质 272

8.2.2 正项级数的比较审敛法 273

8.2.3 正项级数的比值审敛法 276

8.2.4 正项级数的根值审敛法 280

8.2.5 正项级数的积分审敛法 281

习题8-2 283

8.3 任意项级数 283

8.3.1 交错级数与莱布尼兹审敛法 284

8.3.2 任意项级数的绝对值审敛法 286

8.3.3 绝对收敛级数的性质 288

习题8-3 290

8.4 幂级数 290

8.4.1 函数项级数 290

8.4.2 幂级数与幂级数的收敛区间 291

8.4.3 幂级数的代数性质与解析性质 296

习题8-4 300

8.5 函数展开为幂级数 幂级数的若干应用 300

8.5.1 泰勒级数 300

8.5.2 函数展开成幂级数的方法 302

8.5.3 幂级数的若干应用 307

8.5.4 欧拉公式 310

习题8-5 310

8.6 函数项级数的一致收敛性 311

8.6.1 一致收敛的概念 312

8.6.2 函数项级数一致收敛的审敛法 314

8.6.3 一致收敛级数的解析性质 316

8.6.4 幂级数的一致收敛性 319

习题8-6 321

8.7 傅里叶级数 321

8.7.1 三角函数系的正交性及三角级数 322

8.7.2 函数的傅里叶级数 323

8.7.3 傅里叶级数的收敛性定理——狄利克雷（Dirichlet）充分条件 324

8.7.4 正弦级数与余弦级数 329

8.7.5 一般周期函数的傅里叶级数 332

8.7.6 傅里叶级数的复数形式 335

习题8-7 336

本章小结 337

自我检测题8 339

复习题8 339

附录1 二阶和三阶行列式简介 341

附录2 基本初等函数的图形及其主要性质 344

附录3 常用的三角公式 350

附录4 常用曲线和曲面 352

附录5 积分表 356

习题参考答案 365

参考文献 384