历史介绍 1
第一章 算术基本定理 17
1．1 引言 17
1．2 整除性 18
1．3 最大公约数 19
1．4 素数 21
1．5 算术基本定理 22
1．6 素数倒数的级数 24
1．7 Euclid算法 25
1．8 两个以上的数的最大公约数 27
第一章 习题 28
2．2 Mobius函数μ(n) 33
第二章 数论函数与Dirichlet乘积 33
2．1 引言 33
2．3 Euler函数ψ(n) 34
2．4 ψ与μ的相互关系 36
2．5 ψ(n)的一个乘积公式 37
2．6 数论函数的Dirichlet乘积 39
2．7 Dirichlet逆函数与Mobius反转公式 41
2．8 Mangoldt函数Λ(n) 43
2．9 积性函数 45
2．10 积性函数与Dirichlet乘积 46
2．11 完全积性函数的逆函数 48
2．12 Liouville函数λ(n) 50
2．13 除数函数σα(n) 51
2．14 广义卷积 52
2．15 形式幂级数 54
2．16 数论函数的Bell级数 57
2．17 Bell级数与Dirichlet乘积 58
2．18 数论函数的导数 59
2．19 Selberg等式 61
第二章 习题 61
第三章 数论函数的平均值 69
3．1 引言 69
3．2 大0符号，函数的渐近等式 70
3．3 Euler求和公式 71
3．4 几个基本渐近公式 73
3．5 d(n)的平均阶 75
3．6 除数函数σα(n)的平均阶 79
3．7 ψ(n)的平均阶 81
3．8 对于由原点可见的格点分布的应用 82
3．9 μ(n)与Λ(n)的平均阶 85
3．10 Dirichlet乘积的部分和 86
3．11 对μ(n)与Λ(n)的应用 87
3．12 Dirichlet乘积的部分和的另一个等式 91
第三章 习题 92
第四章 素数分布的几个基本定理 99
4．1 引言 99
4．2 Chebyshev函数ψ(x)与θ(x) 100
4．3 联系θ(x)与π(x)的关系式 102
4．4 素数定理的几个等价形式 105
4．5 π(n)与pn的一些不等式 109
4．6 Shapiro Tauberian定理 113
4．7 Shapiro定理的应用 117
4．8 部分和∑，≤x(1/p)的一个渐近公式 119
4．9 Mobius函数的部分和 121
4．10 素数定理初等证明的简概 130
4．11 Selberg渐近公式 131
第四章 习题 133
5．1 同余的定义与基本性质 143
第五章 同余式 143
5．2 剩余类与完全剩余系 147
5．3 一次同余式 149
5．4 简化剩余系与Euler-Fermat定理 152
5．5 模p的多项式同余式，Lagrange定理 154
5．6 Lagrange定理的应用 155
5．7 一次同余式组，中国剩余定理 157
5．8 中国剩余定理的应用 159
5．9 模是素数方幂的多项式同余式 161
5．10 交叉分类原理 164
5．11 简化剩余系的分解性 168
第五章 习题 169
6．1 定义 173
第六章 有限Abel群及其特征 173
6．2 群和子群的例 174
6．3 群的基本性质 174
6．4 子群的结构 176
6．5 有限Abel群的特征 179
6．6 特征群 181
6．7 特征的正交关系式 182
6．8 Dirichlet特征 184
6．9 含有Dirichlet特征的和 187
6．10 对于实的非主特征χ，L(1，χ)不等于零 189
第六章 习题 192
7．1 引言 197
第七章 算术级数里素数的Dirichlet定理 197
7．2 形如4n-1与4n＋1的素数的Dirichlet定理 198
7．3 Dirichlet定理的证明方案 199
7．4 引理7．4的证明 202
7．5 引理7．5的证明 204
7．6 引理7．6的证明 206
7．7 引理7．8的证明 206
7．8 引理7．7的证明 207
7．9 算术级数里素数的分布 208
第七章 习题 210
第八章 周期数论函数与Gauss和 213
8．1 模k的周期函数 213
8．2 周期数论函数的有限Fourier级数的存在性 214
8．3 Ramanujan和及其推广 217
8．4 和Sk(n)的乘法性质 220
8．5 与Dirichlet特征相伴的Gauss和 223
8．6 具有非零Gauss和的Dirichlet特征 225
8．7 诱导模与本原特征 226
8．8 诱导模的进一步的性质 228
8．9 特征的前导子 231
8．10 本原特征与可分的Gauss和 232
8．11 Dirichlet特征的有限Fourier级数 233
8．12 本原特征部分和的Polya不等式 234
第八章 习题 236
9．1 二次剩余 241
第九章 二次剩余与二次互反律 241
9．2 Legendre符号及其性质 243
9．3 (-1/p)与(2/p)的值 245
9．4 Gauss引理 247
9．5 二次互反律 251
9．6 互反律的应用 254
9．7 Jacobi符号 256
9．8 对Diophantu方程的应用 260
9．9 Gauss和与二次互反律 262
9．10 二次Gauss和的互反律 267
9．11 二次互反律的另一个证明 274
第九章 习题 275
10．1 数的次数modm，原根 279
第十章 原根 279
10．2 原根与简化剩余系 280
10．3 对α≥3，模2α的原根不存在 281
10．4 对奇素数P，模P的原根存在 282
10．5 原根与二次剩余 284
10．6 模pα的原根存在 284
10．7 模2p2的原根存在 287
10．8 其他情况下原根不存在 288
10．9 模m的原根的个数 289
10．10 指数的计算 291
10．11 原根与Dirichlet特征 296
10．12 模pα的实值Dirichlet特征 299
10．13 模pα的本原Dirichlet特征 300
第十章 习题 302
第十一章 Dirichlet级数与Euler乘积 307
11．1 引言 307
11．2 Dirichlet级数绝对收敛的半平面 308
11．3 由Dirichlet级数定义的函数 309
11．4 Dirichlet级数的乘积 312
11．5 Euler乘积 314
11．6 Dirichlet级数收敛的半平面 317
11．7 Dirichlet级数的解析性质 320
11．8 具有非负系数的Dirichlet级数 323
11．9 Dirichlet级数表示为Dirichlet级数的指数 325
11．10 Dirichlet级数的平均值公式 328
11．11 Dirichlet级数系数的一个积分公式 331
11．12 Dirichlet级数部分和的一个积分公式 332
第十一章 习题 338
第十二章 函数ξ(s)与L(s，χ) 343
12．1 引言 343
12．2 gamma函数的性质 344
12．3 Hurwitz zeta函数的积分表示 345
12．4 Hurwitz zeta函数的围道积分表示 348
12．5 Hurwit2 zeta函数的解析开拓 351
12．6 ξ(s)与L(s，χ)的解析开拓 352
12．7 ξ(s，a)的Hurwitz公式 353
12．8 Riemann zeta函数的函数方程 357
12．9 Hurwitz zeta函数的函数方程 359
12．10 L-函数的函数方程 361
12．11 求ξ(-n，a)的值 364
12．12 Bernoulli数与Bernoulli多项式的性质 366
12．13 L(O，χ)的公式 369
12．14 用有限和逼近ξ(s，a) 370
12．15 |ξ(s，a)|的不等式 373
12．16 |ξ(s)|与|L(s，x)|的不等式 376
第十二章 习题 377
第十三章 素数定理的解析证明 385
13．1 证明的方案 385
13．2 引理 387
13．3 ψ1(x)/x2的围道积分表示 391
13．4 直线σ=1附近|ξ(s)|与|ξ′(s)|的上界 394
13．5 在直线σ=1上ξ(s)不为零 396
13．6 的不等式 398
13．7 素数定理证明的完成 400
13．8 ξ(s)的无零点区域 403
13．9 Riemann假设 406
13．10 对除数函数的应用 407
13．11 对Euler函数的应用 412
13．12 特征和的Polya不等式的推广 416
第十三章 习题 417
第十四章 分拆 423
14．1 引言 423
14．3 分拆的生成函数 427
14．2 分拆的几何表示 427
14．4 Euler五边形数定理 431
14．5 Euler五边形数定理的组合证明 435
14．6 P(n)的Euler递推公式 438
14．7 P(n)的上界 439
14．8 Jacobi三重积等式 442
14．9 Jacobi等式的推论 445
14．10 生成函数的对数微分 446
14．11 Ramanujan的分拆等式 449
第十四章 习题 450
参考文献目录 457
特殊符号索引 469