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历史介绍 1

第一章 算术基本定理 17

1．1 引言 17

1．2 整除性 18

1．3 最大公约数 19

1．4 素数 21

1．5 算术基本定理 22

1．6 素数倒数的级数 24

1．7 Euclid算法 25

1．8 两个以上的数的最大公约数 27

第一章 习题 28

2．2 Mobius函数μ(n) 33

第二章 数论函数与Dirichlet乘积 33

2．1 引言 33

2．3 Euler函数ψ(n) 34

2．4 ψ与μ的相互关系 36

2．5 ψ(n)的一个乘积公式 37

2．6 数论函数的Dirichlet乘积 39

2．7 Dirichlet逆函数与Mobius反转公式 41

2．8 Mangoldt函数Λ(n) 43

2．9 积性函数 45

2．10 积性函数与Dirichlet乘积 46

2．11 完全积性函数的逆函数 48

2．12 Liouville函数λ(n) 50

2．13 除数函数σα(n) 51

2．14 广义卷积 52

2．15 形式幂级数 54

2．16 数论函数的Bell级数 57

2．17 Bell级数与Dirichlet乘积 58

2．18 数论函数的导数 59

2．19 Selberg等式 61

第二章 习题 61

第三章 数论函数的平均值 69

3．1 引言 69

3．2 大0符号，函数的渐近等式 70

3．3 Euler求和公式 71

3．4 几个基本渐近公式 73

3．5 d(n)的平均阶 75

3．6 除数函数σα(n)的平均阶 79

3．7 ψ(n)的平均阶 81

3．8 对于由原点可见的格点分布的应用 82

3．9 μ(n)与Λ(n)的平均阶 85

3．10 Dirichlet乘积的部分和 86

3．11 对μ(n)与Λ(n)的应用 87

3．12 Dirichlet乘积的部分和的另一个等式 91

第三章 习题 92

第四章 素数分布的几个基本定理 99

4．1 引言 99

4．2 Chebyshev函数ψ(x)与θ(x) 100

4．3 联系θ(x)与π(x)的关系式 102

4．4 素数定理的几个等价形式 105

4．5 π(n)与pn的一些不等式 109

4．6 Shapiro Tauberian定理 113

4．7 Shapiro定理的应用 117

4．8 部分和∑，≤x(1/p)的一个渐近公式 119

4．9 Mobius函数的部分和 121

4．10 素数定理初等证明的简概 130

4．11 Selberg渐近公式 131

第四章 习题 133

5．1 同余的定义与基本性质 143

第五章 同余式 143

5．2 剩余类与完全剩余系 147

5．3 一次同余式 149

5．4 简化剩余系与Euler-Fermat定理 152

5．5 模p的多项式同余式，Lagrange定理 154

5．6 Lagrange定理的应用 155

5．7 一次同余式组，中国剩余定理 157

5．8 中国剩余定理的应用 159

5．9 模是素数方幂的多项式同余式 161

5．10 交叉分类原理 164

5．11 简化剩余系的分解性 168

第五章 习题 169

6．1 定义 173

第六章 有限Abel群及其特征 173

6．2 群和子群的例 174

6．3 群的基本性质 174

6．4 子群的结构 176

6．5 有限Abel群的特征 179

6．6 特征群 181

6．7 特征的正交关系式 182

6．8 Dirichlet特征 184

6．9 含有Dirichlet特征的和 187

6．10 对于实的非主特征χ，L(1，χ)不等于零 189

第六章 习题 192

7．1 引言 197

第七章 算术级数里素数的Dirichlet定理 197

7．2 形如4n-1与4n＋1的素数的Dirichlet定理 198

7．3 Dirichlet定理的证明方案 199

7．4 引理7．4的证明 202

7．5 引理7．5的证明 204

7．6 引理7．6的证明 206

7．7 引理7．8的证明 206

7．8 引理7．7的证明 207

7．9 算术级数里素数的分布 208

第七章 习题 210

第八章 周期数论函数与Gauss和 213

8．1 模k的周期函数 213

8．2 周期数论函数的有限Fourier级数的存在性 214

8．3 Ramanujan和及其推广 217

8．4 和Sk(n)的乘法性质 220

8．5 与Dirichlet特征相伴的Gauss和 223

8．6 具有非零Gauss和的Dirichlet特征 225

8．7 诱导模与本原特征 226

8．8 诱导模的进一步的性质 228

8．9 特征的前导子 231

8．10 本原特征与可分的Gauss和 232

8．11 Dirichlet特征的有限Fourier级数 233

8．12 本原特征部分和的Polya不等式 234

第八章 习题 236

9．1 二次剩余 241

第九章 二次剩余与二次互反律 241

9．2 Legendre符号及其性质 243

9．3 (-1/p)与(2/p)的值 245

9．4 Gauss引理 247

9．5 二次互反律 251

9．6 互反律的应用 254

9．7 Jacobi符号 256

9．8 对Diophantu方程的应用 260

9．9 Gauss和与二次互反律 262

9．10 二次Gauss和的互反律 267

9．11 二次互反律的另一个证明 274

第九章 习题 275

10．1 数的次数modm，原根 279

第十章 原根 279

10．2 原根与简化剩余系 280

10．3 对α≥3，模2α的原根不存在 281

10．4 对奇素数P，模P的原根存在 282

10．5 原根与二次剩余 284

10．6 模pα的原根存在 284

10．7 模2p2的原根存在 287

10．8 其他情况下原根不存在 288

10．9 模m的原根的个数 289

10．10 指数的计算 291

10．11 原根与Dirichlet特征 296

10．12 模pα的实值Dirichlet特征 299

10．13 模pα的本原Dirichlet特征 300

第十章 习题 302

第十一章 Dirichlet级数与Euler乘积 307

11．1 引言 307

11．2 Dirichlet级数绝对收敛的半平面 308

11．3 由Dirichlet级数定义的函数 309

11．4 Dirichlet级数的乘积 312

11．5 Euler乘积 314

11．6 Dirichlet级数收敛的半平面 317

11．7 Dirichlet级数的解析性质 320

11．8 具有非负系数的Dirichlet级数 323

11．9 Dirichlet级数表示为Dirichlet级数的指数 325

11．10 Dirichlet级数的平均值公式 328

11．11 Dirichlet级数系数的一个积分公式 331

11．12 Dirichlet级数部分和的一个积分公式 332

第十一章 习题 338

第十二章 函数ξ(s)与L(s，χ) 343

12．1 引言 343

12．2 gamma函数的性质 344

12．3 Hurwitz zeta函数的积分表示 345

12．4 Hurwitz zeta函数的围道积分表示 348

12．5 Hurwit2 zeta函数的解析开拓 351

12．6 ξ(s)与L(s，χ)的解析开拓 352

12．7 ξ(s，a)的Hurwitz公式 353

12．8 Riemann zeta函数的函数方程 357

12．9 Hurwitz zeta函数的函数方程 359

12．10 L-函数的函数方程 361

12．11 求ξ(-n，a)的值 364

12．12 Bernoulli数与Bernoulli多项式的性质 366

12．13 L(O，χ)的公式 369

12．14 用有限和逼近ξ(s，a) 370

12．15 |ξ(s，a)|的不等式 373

12．16 |ξ(s)|与|L(s，x)|的不等式 376

第十二章 习题 377

第十三章 素数定理的解析证明 385

13．1 证明的方案 385

13．2 引理 387

13．3 ψ1(x)/x2的围道积分表示 391

13．4 直线σ=1附近|ξ(s)|与|ξ′(s)|的上界 394

13．5 在直线σ=1上ξ(s)不为零 396

13．6 的不等式 398

13．7 素数定理证明的完成 400

13．8 ξ(s)的无零点区域 403

13．9 Riemann假设 406

13．10 对除数函数的应用 407

13．11 对Euler函数的应用 412

13．12 特征和的Polya不等式的推广 416

第十三章 习题 417

第十四章 分拆 423

14．1 引言 423

14．3 分拆的生成函数 427

14．2 分拆的几何表示 427

14．4 Euler五边形数定理 431

14．5 Euler五边形数定理的组合证明 435

14．6 P(n)的Euler递推公式 438

14．7 P(n)的上界 439

14．8 Jacobi三重积等式 442

14．9 Jacobi等式的推论 445

14．10 生成函数的对数微分 446

14．11 Ramanujan的分拆等式 449

第十四章 习题 450

参考文献目录 457

特殊符号索引 469