绪论 1
第一章 微分方程组 3
1 常微分方程组的一般理论 3
一、微分方程组的一般概念 3
二、记号与定义 6
三、解的存在唯一性定理 9
四、解的延拓 15
五、解对初值的连续依赖性 16
六、解对初值的可微性 17
2 微分议程组的初等积分法 17
一、用化为一个高阶方程的方法积分方程组(消元法) 17
二、用选取积分组合的方法积分方程组 24
3 线性微分方程组的基本理论 28
一、线性微分方程组解的存在唯一性定理 28
二、齐次线性微分方程组的基本定理 30
三、非齐次线性微分方程组的基本定理 36
4 高阶级性方程的基本定理 40
一、n阶线性微分方程与一阶线性微分方程组之间的关系 41
二、关于解的基本定理 42
5 常系数线性方程组 47
一、矩阵指数eA(或expA)的定义和性质 48
二、基解矩阵的计算公式 51
三、利用约当(Jordan)标准型计算基解矩阵 64
四、利用待定系数法计算基解矩阵 66
五、常系数非齐次线性方程组的常数变易公式 69
第一章 习题 71
第二章 运动稳定性理论初步 78
1 解的稳定性的定义 78
一、稳定性问题的提出 78
二、解的稳定性的定义 80
2 相平面与奇点的分类 82
一、相平面 82
二、二维驻定线性方程组的奇点分类 84
3 按一次近似判断定常系统稳定性的准则 91
一、常系数线性齐次方程组的零解的稳定性 91
二、按一次近似判断稳定性的准则 92
4 李雅普诺夫的直接方法 95
一、李雅普诺夫直接方法的有关定理 95
二、常系数线性系统的李雅普诺夫函数的构造 105
三、E.A巴尔巴辛公式 110
5 周期解和极限圈 116
一、奇点与闭轨线 116
二、Bendixson-Poincare环域构造定理 119
三、范得坡(Van der pol)方程和李安纳特(Lienerd)方程 123
第二章 习题 125
第三章 边值问题 132
1 常微分方程边值问题的概念 132
2 边值问题的某些解法 134
一、齐次方程与齐次边值条件 135
二、齐次方程与非齐次边值条件 136
三、非齐次方程与齐次边值条件 137
四、非齐次方程与非齐次边值条件 139
3 本征值和本征函数 140
一、边值问题的本征值与本征函数 141
二、自伴本征值问题 143
第三章 习题 147
附录Ⅰ 常微分方程的初等积分法 149
附录Ⅱ 拉普拉斯变换 158
习题答案 168