第八章 原函数(不定积分) 1
1. 不定积分与它的计算的最简单的方法 1
251.原函数(即不定积分)的概念 1
原函数 1
十画 1
被积函数 2
不定积分 2
～的性质 3
252.积分与面积定义题 4
初始条件 4
变量的开始值 4
～的几何解释 4
莱不尼慈和牛顿的定理 5
牛顿 5
巴若 5
牛顿和莱不尼兹的定理 5
抛物线 6
～视为原函数 6
～表 7
253.基本积分表 7
～的法则 8
积分法 8
254.最简单的积分法则 8
255.例题 10
真分式展成部分(简单)公式 12
换元(替换)～ 13
256.换元积分法 13
替换(换元) 13
257.例题 17
三角替换 20
双曲替换 20
分部积分法 21
258.分部积分法 21
259.例题 23
有理函数的～ 26
有限形状的～ 26
有理式的积分法 26
有限形状的积分法 26
260.在有限形状中积分问题的提出 26
2. 有理式的积分 26
部分(简单)分式 27
～的积分法 27
十一画 27
不能表成有限形状的～ 27
261.部分分式与它们的积分 27
262.分解真分式为部分分式 29
待定系数法 33
263.系数的确定、真分式的积分 33
奥斯特洛格拉得斯基关于积分的有理部分分出法 34
～的有理部分的分离法 34
264.分离积分的有理部分 34
奥斯特洛格拉得斯基公式 36
265.例题 38
根式的～ 40
266.形状为R(x,?)的积分、例题 40
3. 某些含有根式的函数的积分 40
～的有理化 41
二画 42
～的积分法 42
二项微分 42
267.二项式微分的积分、例题 42
且白雪夫 43
～的递推公式 44
递推公式，二项微分的～ 44
268.递推公式 44
269.形状为R(x,?)的表达式的积分、欧拉替换 47
欧拉 47
～替换 47
270.欧拉替换的几何解释 49
271.例题 50
272.其他的计算方法 55
～的代数部分分离法 58
亚贝尔替换 59
线性分式替换 60
273.例题 62
274.关于R(sinx,cosx)dx的积分 64
～与指数函数表达式的积分法 64
4.含有三角函数与指数函数的表达式的积分 64
275.关于表达式sinvx·cos?x的积分 66
sinvx cosμx的积分的～ 66
276.例题 69
277.其他情形的概述 72
积分正弦 73
积分余弦 73
积分对数 73
5.椭圆积分 74
椭圆积分 74
六画 74
亚贝尔积分 74
278.一般说明及定义 74
有理曲线 75
伪～ 76
279.辅助变换 76
280.化成标准形式 79
281.第一、第二与第三类椭圆积分 81
柳维耳 83
勒让德 83
勒让德形式的～ 83
～形式的椭圆积分 83
～的模 84
～函数F(k,？)，E(k，？) 84
1. 定积分的定义与存在条件 85
282.处理面积问题的另一方法 85
第九章 定积分 85
～视为和的极限 86
莱不尼慈 86
十二画 86
约翰·伯努里 86
分区间的基本叙列 87
283.定义 87
四画 87
达布 88
七画 88
黎曼(积分)和 88
可积函数 88
定积分 88
黎曼 88
～的上(下)限 88
十五画 88
通常意义下的定积分 88
积分和 88
284.达布和数 88
积分 88
上(下)～ 89
～上(下)和 89
285.积分的存在条件 91
～的存在条件 91
～上(下)积分 91
286.可积函数的种类 93
～类 93
287.可积函数的一些性质 95
～的性质 95
～函数 97
288.例题及补充 97
～积分视为极限 98
～定理 98
289.看作极限的下积分与上积分 98
290.沿定向区间的积分 100
2. 定积分的一些性质 100
区间上的方向 100
～的性质 100
定了向的区间 100
291.可用等式表示的一些性质 101
292.可用不等式表示的一些性质 103
中值定理 105
广义 ～ 107
293.定积分看作积分上限的函数 108
～对于其上(下)限的微分法 109
～的存在 109
294.第二中值定理 110
第二～ 110
波内公式 112
用积分和 113
295.借助于积分和数的计算 113
3. 定积分的计算与变换 113
布洼松 115
296.积分学的基本公式 117
～计算的基本公式 117
用原函数 117
297.例题 118
～与拉格朗日公式的联系 118
费叶 119
狄锐西勒 119
298.基本公式的另一导出法 122
299.递推公式 123
～的递推公式 123
定积分的～ 123
定积分的计算法 125
300.例题 125
分部积分法 125
301.定积分的换元公式 128
～的换元公式 128
302.例题 129
偶函数在对称区间上的积分 131
～多项式 131
周期函数在周期区间上的积分 132
奇函数在对称区间上的积分 132
十九画 134
蓝登变换 134
303.高斯公式、蓝登变换 134
～函数F(k),E(k), 136
全～ 136
304.换元公式的另一导出法 137
瓦理斯公式 139
泰乐公式的余项 139
4. 定积分的一些应用 139
305.瓦理斯公式 139
306.带余项的泰氏公式 139
十三画 140
307.数e的超越性 140
数e的超越性 140
十八画 140
额尔米特 140
308.勒让德多项式 142
梯形公式 144
5. 积分的近似计算 144
309.问题的提出、矩形及梯形公式 144
通常积分的近似计算 144
矩形公式 144
抛物线型的插入法 147
310.抛物线型补插法 147
311.积分区间的分割 149
辛卜生公式 150
～的余项 150
312.矩形公式的余项 150
～的余项 151
313.梯形公式的余项 151
～的余项 152
314.辛卜生公式的余项 152
315.例题 154
五画 158
卡大兰常数 158
第十章 积分学在几何学、力学与物理学中的应用 160
316.引理 160
1.弧长 160
曲线 162
～的方向 162
317.曲线上的方向 162
九画 163
318.弧长的定义 163
弧长 163
～的可度长弧 164
弧长的～ 165
～的可加性 165
319.弧长的可加性 165
～的积分表达式 166
320.弧长存在的充公条件及弧长的计算法 166
321.不定弧；它的长度的微分 169
～的微分 169
星形线 170
322.例 170
悬链线 170
圆的渐伸线 171
旋轮线 171
对数螺线 171
阿基米德螺线 171
八画 171
椭圆 172
十六画 172
双曲线 173
？线 173
双纽线 174
～的渐伸线 174
曳物线 175
323.平面曲线的本性方程式 176
～的本性方程 176
324.例 179
圆内旋轮线 180
圆内～ 180
圆外旋轮线 180
圆外～ 180
十四画 181
空间曲线的弧长 181
渐屈线的本性方程 181
325.空间的曲线的弧长 181
2. 面积与体积 182
螺旋线 182
十七画 182
～的面积 182
维维亚尼曲线 182
326.面积概念的定义、可加性 182
可求积的图形 183
平面图形 183
～的内(外)面积 183
可求积的条件 183
～的面积的可加性 184
～的面积看作极限 184
面积的～ 184
面积的可加性 184
327.面积看作极限 184
328.可求积的区域的种类 187
圆滑的曲线 188
329.面积的积分表达式 189
曲线梯形的面积 189
～的面积的积分表达式 189
330.例 191
双曲线函数 193
三画 193
三角函数，～与双曲函数的联系 193
笛卡凡叶形线 197
331.体积概念的定义及其特性 199
体积的可加性 199
～的可加性 199
物体的体积 199
体积的～ 199
～的存在条件 200
～视为极限 200
332.有体积的立体的种类 200
圆滑的曲面 201
333.体积的积分表达式 202
～的积分表达式 202
用断面求～ 203
圆锥 205
334.例 205
圆柱弓形体 207
～的面积 211
335.？转面的面积 211
～带 215
336.例 215
337.柱面面积 217
～的面积 217
338.例 219
3. 力学与物理学的数量的计算 222
339.定积分应用的大意 222
有可加性的区间函数 222
～应用的大意 222
340.曲线的静力矩与重心的求法 225
～的重心 225
～的静力矩 225
无穷小元素求和法 225
古鲁金定理 226
341.例 226
环面 227
342.平面图形的静力矩与重心的求法 228
～的静力矩 228
～的重心 228
343.例 229
344.力学上的功 230
345.例 232
346.平面轴基的摩擦力的功 234
物体 236
～的重心 236
～静力矩 236
347.无穷小元素求和的问题 236
迴转面 237
～的转动惯量 237
球 237
半～ 237
半球 237
～的静力矩 237
～的重心 237
柱面 237
～的重心 237
～的静力矩 237
～转动惯量 238
托里拆里 239
必欧与萨瓦尔定律 240
微分方程 241
348.基本概念、一般方程式 241
4.最简单的微分方程式 241
349.微商的一次方程式、分离变量 242
350.问题 245
351.关于微分方程式的构成的附注 249
～的构成 249
352.问题 250
～公式 254
353.基本概念 255
354.例题 256
355.基本定理 258
356.正项级数收敛的条件 261
2. 正项级数的收敛性 261
357.级数的比较定理 263
358.例题 265
359.歌西判别法与达郎伯尔判别法 269
260.拉阿伯判别法 271
361.例题 274
362.库麦尔判别法 276
363.高斯判别法 279
364.歌西积分判别法 280
365.补充材料 284
3. 任意项级数的收敛性 291
366.绝对收敛性 291
367.例题 293
368.幂级数、幂级数的收敛区间 294
369.交错级数 297
370.例题 299
371.亚贝尔变换 300
372.亚贝尔判别法与狄锐西勒判别法 302
373.例题 304
374.可结合性 308
4.收敛级数的性质 308
375.绝对收敛级数的可交换性 310
376.非绝对收敛级数的情形 312
377.级数的乘法 315
378.例题 318
379.级数乘法定理的推广 320
5.二重级数 322
380.基本概念 322
381.正项级数 326
382.绝对收敛级数 329
383.例题 333
384.两个变数的幂级数；收敛区域 338
385.例题 341
386.多重级数 342
387.基本概念 343
6. 无穷乘积 343
388.例题 344
389.基本定理与级数的关系 346
390.例题 349
第十一章 常数项无穷级数 355
1. 引言 355
7. 初等函数的展开 357
391.展开函数成幂级数；泰乐级数 357
392.展开指数函数、基本三角函数及其他函数成为级数 359
393.对数级数、司特林公式 361
394.二项式级数 365
395.展开sinx与cosx成无穷乘积 367
396.一般说明 371
8. 借助于级数作近似计算 371
397.数π的计算 372
398.对数的计算 374
399.根式的计算 376
第十二章 函数序列与函数级数 378
1. 一致收敛性 378
400.引言 378
401.一致收敛性与非一致收敛性 380
402.一致收敛性的条件 385
403.级数一致收敛性的判别法 386
2. 级数和的函数性质 389
404.级数和的连续性 389
405.逐项取极限 392
406.级数的逐项求积分 394
407.级数的逐项求微商 396
408.序列的观点 400
409.幂级数的和的连续性 402
410.幂级数积分与微分 406
3. 应用 410
411.逐项取极限的例 410
412.级数的逐项求积分的例 413
413.级数的逐项求微商的例 422
414.隐函数理论中的逐渐近似法 426
415.三角函数的分析定义 429
416.没有微商的连续函数的例子 431
417.利用系数表示收敛半径 433
4. 关于幂级数的补充知识 433
418.关于幂级数的运算 435
419.把级数代入级数 438
420.例 440
421.幂级数的除法 445
422.伯努里数及含有伯努里数的展式 447
423.利用级数解方程式 451
424.幂级数之反演 455
425.拉格朗日级数 456
5. 复变数的初等函数 459
426.复数 459
427.复数贯数及其极限 461
428.复变数的函数 464
429.幂级数 466
430.指数函数 469
431.对数函数 471
432.三角函数及反三角函数 473
434.例 477
433.乘方函数 477