微积分学教程 第2卷 第1、2分册PDF电子书下载

第八章 原函数(不定积分) 1

1. 不定积分与它的计算的最简单的方法 1

251.原函数(即不定积分)的概念 1

原函数 1

十画 1

被积函数 2

不定积分 2

～的性质 3

252.积分与面积定义题 4

初始条件 4

变量的开始值 4

～的几何解释 4

莱不尼慈和牛顿的定理 5

牛顿 5

巴若 5

牛顿和莱不尼兹的定理 5

抛物线 6

～视为原函数 6

～表 7

253.基本积分表 7

～的法则 8

积分法 8

254.最简单的积分法则 8

255.例题 10

真分式展成部分(简单)公式 12

换元(替换)～ 13

256.换元积分法 13

替换(换元) 13

257.例题 17

三角替换 20

双曲替换 20

分部积分法 21

258.分部积分法 21

259.例题 23

有理函数的～ 26

有限形状的～ 26

有理式的积分法 26

有限形状的积分法 26

260.在有限形状中积分问题的提出 26

2. 有理式的积分 26

部分(简单)分式 27

～的积分法 27

十一画 27

不能表成有限形状的～ 27

261.部分分式与它们的积分 27

262.分解真分式为部分分式 29

待定系数法 33

263.系数的确定、真分式的积分 33

奥斯特洛格拉得斯基关于积分的有理部分分出法 34

～的有理部分的分离法 34

264.分离积分的有理部分 34

奥斯特洛格拉得斯基公式 36

265.例题 38

根式的～ 40

266.形状为R(x,?)的积分、例题 40

3. 某些含有根式的函数的积分 40

～的有理化 41

二画 42

～的积分法 42

二项微分 42

267.二项式微分的积分、例题 42

且白雪夫 43

～的递推公式 44

递推公式，二项微分的～ 44

268.递推公式 44

269.形状为R(x,?)的表达式的积分、欧拉替换 47

欧拉 47

～替换 47

270.欧拉替换的几何解释 49

271.例题 50

272.其他的计算方法 55

～的代数部分分离法 58

亚贝尔替换 59

线性分式替换 60

273.例题 62

274.关于R(sinx,cosx)dx的积分 64

～与指数函数表达式的积分法 64

4.含有三角函数与指数函数的表达式的积分 64

275.关于表达式sinvx·cos?x的积分 66

sinvx cosμx的积分的～ 66

276.例题 69

277.其他情形的概述 72

积分正弦 73

积分余弦 73

积分对数 73

5.椭圆积分 74

椭圆积分 74

六画 74

亚贝尔积分 74

278.一般说明及定义 74

有理曲线 75

伪～ 76

279.辅助变换 76

280.化成标准形式 79

281.第一、第二与第三类椭圆积分 81

柳维耳 83

勒让德 83

勒让德形式的～ 83

～形式的椭圆积分 83

～的模 84

～函数F(k,？)，E(k，？) 84

1. 定积分的定义与存在条件 85

282.处理面积问题的另一方法 85

第九章 定积分 85

～视为和的极限 86

莱不尼慈 86

十二画 86

约翰·伯努里 86

分区间的基本叙列 87

283.定义 87

四画 87

达布 88

七画 88

黎曼(积分)和 88

可积函数 88

定积分 88

黎曼 88

～的上(下)限 88

十五画 88

通常意义下的定积分 88

积分和 88

284.达布和数 88

积分 88

上(下)～ 89

～上(下)和 89

285.积分的存在条件 91

～的存在条件 91

～上(下)积分 91

286.可积函数的种类 93

～类 93

287.可积函数的一些性质 95

～的性质 95

～函数 97

288.例题及补充 97

～积分视为极限 98

～定理 98

289.看作极限的下积分与上积分 98

290.沿定向区间的积分 100

2. 定积分的一些性质 100

区间上的方向 100

～的性质 100

定了向的区间 100

291.可用等式表示的一些性质 101

292.可用不等式表示的一些性质 103

中值定理 105

广义 ～ 107

293.定积分看作积分上限的函数 108

～对于其上(下)限的微分法 109

～的存在 109

294.第二中值定理 110

第二～ 110

波内公式 112

用积分和 113

295.借助于积分和数的计算 113

3. 定积分的计算与变换 113

布洼松 115

296.积分学的基本公式 117

～计算的基本公式 117

用原函数 117

297.例题 118

～与拉格朗日公式的联系 118

费叶 119

狄锐西勒 119

298.基本公式的另一导出法 122

299.递推公式 123

～的递推公式 123

定积分的～ 123

定积分的计算法 125

300.例题 125

分部积分法 125

301.定积分的换元公式 128

～的换元公式 128

302.例题 129

偶函数在对称区间上的积分 131

～多项式 131

周期函数在周期区间上的积分 132

奇函数在对称区间上的积分 132

十九画 134

蓝登变换 134

303.高斯公式、蓝登变换 134

～函数F(k),E(k), 136

全～ 136

304.换元公式的另一导出法 137

瓦理斯公式 139

泰乐公式的余项 139

4. 定积分的一些应用 139

305.瓦理斯公式 139

306.带余项的泰氏公式 139

十三画 140

307.数e的超越性 140

数e的超越性 140

十八画 140

额尔米特 140

308.勒让德多项式 142

梯形公式 144

5. 积分的近似计算 144

309.问题的提出、矩形及梯形公式 144

通常积分的近似计算 144

矩形公式 144

抛物线型的插入法 147

310.抛物线型补插法 147

311.积分区间的分割 149

辛卜生公式 150

～的余项 150

312.矩形公式的余项 150

～的余项 151

313.梯形公式的余项 151

～的余项 152

314.辛卜生公式的余项 152

315.例题 154

五画 158

卡大兰常数 158

第十章 积分学在几何学、力学与物理学中的应用 160

316.引理 160

1.弧长 160

曲线 162

～的方向 162

317.曲线上的方向 162

九画 163

318.弧长的定义 163

弧长 163

～的可度长弧 164

弧长的～ 165

～的可加性 165

319.弧长的可加性 165

～的积分表达式 166

320.弧长存在的充公条件及弧长的计算法 166

321.不定弧；它的长度的微分 169

～的微分 169

星形线 170

322.例 170

悬链线 170

圆的渐伸线 171

旋轮线 171

对数螺线 171

阿基米德螺线 171

八画 171

椭圆 172

十六画 172

双曲线 173

？线 173

双纽线 174

～的渐伸线 174

曳物线 175

323.平面曲线的本性方程式 176

～的本性方程 176

324.例 179

圆内旋轮线 180

圆内～ 180

圆外旋轮线 180

圆外～ 180

十四画 181

空间曲线的弧长 181

渐屈线的本性方程 181

325.空间的曲线的弧长 181

2. 面积与体积 182

螺旋线 182

十七画 182

～的面积 182

维维亚尼曲线 182

326.面积概念的定义、可加性 182

可求积的图形 183

平面图形 183

～的内(外)面积 183

可求积的条件 183

～的面积的可加性 184

～的面积看作极限 184

面积的～ 184

面积的可加性 184

327.面积看作极限 184

328.可求积的区域的种类 187

圆滑的曲线 188

329.面积的积分表达式 189

曲线梯形的面积 189

～的面积的积分表达式 189

330.例 191

双曲线函数 193

三画 193

三角函数，～与双曲函数的联系 193

笛卡凡叶形线 197

331.体积概念的定义及其特性 199

体积的可加性 199

～的可加性 199

物体的体积 199

体积的～ 199

～的存在条件 200

～视为极限 200

332.有体积的立体的种类 200

圆滑的曲面 201

333.体积的积分表达式 202

～的积分表达式 202

用断面求～ 203

圆锥 205

334.例 205

圆柱弓形体 207

～的面积 211

335.？转面的面积 211

～带 215

336.例 215

337.柱面面积 217

～的面积 217

338.例 219

3. 力学与物理学的数量的计算 222

339.定积分应用的大意 222

有可加性的区间函数 222

～应用的大意 222

340.曲线的静力矩与重心的求法 225

～的重心 225

～的静力矩 225

无穷小元素求和法 225

古鲁金定理 226

341.例 226

环面 227

342.平面图形的静力矩与重心的求法 228

～的静力矩 228

～的重心 228

343.例 229

344.力学上的功 230

345.例 232

346.平面轴基的摩擦力的功 234

物体 236

～的重心 236

～静力矩 236

347.无穷小元素求和的问题 236

迴转面 237

～的转动惯量 237

球 237

半～ 237

半球 237

～的静力矩 237

～的重心 237

柱面 237

～的重心 237

～的静力矩 237

～转动惯量 238

托里拆里 239

必欧与萨瓦尔定律 240

微分方程 241

348.基本概念、一般方程式 241

4.最简单的微分方程式 241

349.微商的一次方程式、分离变量 242

350.问题 245

351.关于微分方程式的构成的附注 249

～的构成 249

352.问题 250

～公式 254

353.基本概念 255

354.例题 256

355.基本定理 258

356.正项级数收敛的条件 261

2. 正项级数的收敛性 261

357.级数的比较定理 263

358.例题 265

359.歌西判别法与达郎伯尔判别法 269

260.拉阿伯判别法 271

361.例题 274

362.库麦尔判别法 276

363.高斯判别法 279

364.歌西积分判别法 280

365.补充材料 284

3. 任意项级数的收敛性 291

366.绝对收敛性 291

367.例题 293

368.幂级数、幂级数的收敛区间 294

369.交错级数 297

370.例题 299

371.亚贝尔变换 300

372.亚贝尔判别法与狄锐西勒判别法 302

373.例题 304

374.可结合性 308

4.收敛级数的性质 308

375.绝对收敛级数的可交换性 310

376.非绝对收敛级数的情形 312

377.级数的乘法 315

378.例题 318

379.级数乘法定理的推广 320

5.二重级数 322

380.基本概念 322

381.正项级数 326

382.绝对收敛级数 329

383.例题 333

384.两个变数的幂级数；收敛区域 338

385.例题 341

386.多重级数 342

387.基本概念 343

6. 无穷乘积 343

388.例题 344

389.基本定理与级数的关系 346

390.例题 349

第十一章 常数项无穷级数 355

1. 引言 355

7. 初等函数的展开 357

391.展开函数成幂级数；泰乐级数 357

392.展开指数函数、基本三角函数及其他函数成为级数 359

393.对数级数、司特林公式 361

394.二项式级数 365

395.展开sinx与cosx成无穷乘积 367

396.一般说明 371

8. 借助于级数作近似计算 371

397.数π的计算 372

398.对数的计算 374

399.根式的计算 376

第十二章 函数序列与函数级数 378

1. 一致收敛性 378

400.引言 378

401.一致收敛性与非一致收敛性 380

402.一致收敛性的条件 385

403.级数一致收敛性的判别法 386

2. 级数和的函数性质 389

404.级数和的连续性 389

405.逐项取极限 392

406.级数的逐项求积分 394

407.级数的逐项求微商 396

408.序列的观点 400

409.幂级数的和的连续性 402

410.幂级数积分与微分 406

3. 应用 410

411.逐项取极限的例 410

412.级数的逐项求积分的例 413

413.级数的逐项求微商的例 422

414.隐函数理论中的逐渐近似法 426

415.三角函数的分析定义 429

416.没有微商的连续函数的例子 431

417.利用系数表示收敛半径 433

4. 关于幂级数的补充知识 433

418.关于幂级数的运算 435

419.把级数代入级数 438

420.例 440

421.幂级数的除法 445

422.伯努里数及含有伯努里数的展式 447

423.利用级数解方程式 451

424.幂级数之反演 455

425.拉格朗日级数 456

5. 复变数的初等函数 459

426.复数 459

427.复数贯数及其极限 461

428.复变数的函数 464

429.幂级数 466

430.指数函数 469

431.对数函数 471

432.三角函数及反三角函数 473

434.例 477

433.乘方函数 477