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绪言 1

第一章 17世纪：近代数学的创立--解析几何与微积分的诞生 1

Ⅰ.变量数学发展的第一个决定性步骤 2

(1)解析几何产生的背景 2

(2)费尔马--具有古典色彩的工作 4

(3)笛卡尔--超越传统希腊几何学最重要的一步 6

Ⅱ.变量数学发展的第二个决定性步骤 9

(1)一百年的微积分孕育期 9

(2)牛顿的流数术微积分 12

(3)莱布尼兹的无穷小微积分 15

(4)牛顿与莱布尼兹特点比较 19

(5)中国古代解析几何与微积分思想萌芽 20

第二章 18世纪：近代数学的发展期--分析学的兴起 32

Ⅰ.分析的主要成就 33

(1)贝努里家族对微积分的传播、发展 33

(2)欧拉在分析学方面的卓越贡献 35

(3)达朗贝尔、拉格朗日、拉普拉斯对分析学的贡献 37

Ⅱ.微积分基础的内在矛盾导致“第二次数学危机” 44

Ⅲ.微积分基础概念的演化--先驱者的探索 46

(1)洛必塔的无穷小量分析 46

(2)达朗贝尔“理性的”极限观念 46

(3)欧拉形式化代数方法的微积分 47

(4)拉格朗日的代数化微积分 48

(5)罗伊里埃、拉克鲁阿用极限理论奠基微积分的思想 49

第三章 19世纪：近代数学的成熟期--数学的飞跃发展 52

(1)极限与无穷小的综合--柯西奠基现代分析体系 54

Ⅰ.微积分基础概念的进一步演化--数学分析严密化体系确立 54

(2)波尔察诺的е-δ思想 58

(3)维尔斯特拉斯--“数学分析之父” 60

(4)黎曼积分建立 61

(5)实数理论和集合论最终完善经典分析 63

Ⅱ.分析学的蓬勃发展 71

Ⅲ.抽象代数学的先驱业绩 75

(1)伽罗瓦理论的全新刺激 75

(2)群论进入数学中心 78

(3)高等代数系统化与“早产儿”逻辑代数、超复数 79

Ⅳ.非欧几何--几何学复兴的黄金时代 81

(1)曲线、曲面论几何学的进展 81

(2)罗氏几何、黎曼几何--影响数学本性的发现 83

(3)克莱茵统一几何学到希尔伯特“五群公理” 89

附：希尔伯特23个数学问题及其解决情况 92

第四章 数学基础的哲学论战 97

Ⅰ.悖论震撼了数学大厦 98

Ⅱ.数学基础的哲学流派 100

(1)逻辑主义 102

(2)直觉主义 105

(3)形式主义 112

Ⅲ.关于数学相容性及公理集合论 117

(1)哥德尔的两大发现 117

(2)根茨对纯数论的相容性证明 119

(3)公理集合论的产生 120

(4)选择公理和连续统假设的相容性、独立性 121

(5)公理集合论的新进展 125

Ⅰ.综述 128

第五章 现代数学发展概观之一：数论 128

Ⅱ.数论中的六颗明珠 134

(1)素数定理 135

(2)黎曼假设 136

(3)费尔马小定理 138

(4)费尔马大定理与莫德尔猜想 139

(5)华林问题 140

(6)哥德巴赫猜想 143

第六章 现代数学发展观之二：微分方程论 146

Ⅰ.偏微分议程 146

Ⅱ.常微分方程 156

第七章 现代数学发展概观之三：函数论 164

Ⅰ.复变函数论 164

(1)奠基性工作 164

(2)单复变函数论的发展 171

(3)多复变函数论的发展 183

(4)华罗庚等对多复变函数论的贡献 192

(1)积分学的革命 195

Ⅱ.实变函数论 195

(2)苏联函数论学派及鲁津猜想 198

(3)多元傅里叶级数 202

(4)新的函数空间 204

(5)多线性算子理论与加权理论 206

(6)利特伍德猜想和卡尔德隆猜想 207

(7)抽象调和分析与实函逼近论 209

(8)陈建功对实变函数论的贡献 211

(1)群论 214

第八章 现代数学发展概观之四：抽象代数学 214

Ⅰ.20世纪的抽象代数学 214

(2)域论 219

(3)环论 220

(4)格论 224

(5)同调代数 224

(6)代数K理论 224

(7)线性代数 225

Ⅱ.代数几何学的进展 226

Ⅲ.中国的抽象代数学 234

第九章 现代数学发展概观之五：微分几何学 244

Ⅰ.微分几何学的形成和发展 244

Ⅱ.微分几何学在中国 255

第十章 现代数学发展概观之六：拓扑学 263

Ⅰ.拓扑学的早期阶段 263

Ⅱ.代数拓扑学 266

Ⅲ.微分拓扑学 269

Ⅳ.一般(点集)拓扑学 275

Ⅴ.不分明拓扑学 282

Ⅵ.生机蓬勃的中国拓扑学研究 287

第十一章 现代数学发展概观之七：泛函分析 293

Ⅰ.泛函分析的起源 294

Ⅱ.泛函分析的创立 295

Ⅲ.泛函分析的成熟期 298

Ⅳ.泛函分析的最新进展 300

Ⅰ.概率论 305

(1)概率论基础 305

第十二章 现代数学发展概观之八：概率论与数理统计 305

(2)极限理论 308

(3)随机过程的经典工作 312

(4)马尔可夫过程新进展 315

(5)抽象空间与无穷质点的随机过程 317

(6)鞅论与随机分析 319

Ⅱ.数理统计学 323

第十三章 现代数学发展概观之九：运筹学 336

Ⅰ.规划论 337

Ⅱ.对策论 343

Ⅲ.排队论 344

Ⅳ.优选法 346

Ⅴ.图论和组合学 347

第十四章 现代数学发展概观之十：电子计算机 348

Ⅰ.先驱者的探索 348

Ⅱ.现代计算机的奠基性工作 350

Ⅲ.现代计算机的演变及发展方向 354

Ⅰ.第一代控制论 360

第十五章 现代数学发展概观之十一：控制论 360

Ⅱ.第二代控制论 362

Ⅲ.第三代控制论 365

Ⅳ.走向世界的中国控制论研究 368

第十六章 现代数学中的新学说 371

Ⅰ.非标准分析 371

Ⅱ.突变理论 375

Ⅲ.模糊数学 378

Ⅳ.制约逻辑 388

第十七章 历史留下的启示 393

Ⅰ.哥廷根的兴衰与美国的胜利 394

Ⅱ.波兰数学的中兴--独树一帜，异军突起 400

Ⅲ.布尔巴基学派--年轻开拓者重建数学 406

Ⅳ.尖端发展与基础教育--苏联数学称雄世界 412

Ⅴ.中国--向世界主流数学挺进 417

附录一：国际数学家大会与菲尔兹奖获得者 425

附录二：国际沃尔夫(Wolf)奖获得者 431

主要参考文献 436

人名索引 441