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第1章 预备知识 1

1.1 数轴与平面直角坐标系 1

1.2 变量与函数 2

1.3 函数的特性与函数图形 4

1.4 几个记号和术语 5

习题1 7

第2章 行列式 9

2.1 行列式的定义及性质 9

2.2 行列式的计算 12

2.3 克莱姆法则 15

2.4 消元法 17

习题2 20

3.1 直线方程 23

第3章 平面解析几何 23

3.2 两条直线的关系 25

3.3 二次曲线的标准方程及其性质 27

3.3.1 椭圆 27

3.3.2 双曲线 30

3.3.3 抛物线 32

3.4 坐标变换 34

3.4.1 坐标平移 35

3.4.2 坐标旋转 35

3.4.3 二次曲线方程的化简 36

3.5 极坐标 40

3.6 参数方程 44

习题3 46

4.1 空间直角坐标系 48

第4章 向量代数 48

4.2.1 向量加法 49

4.2.2 数乘向量 49

4.2 向量及其运算 49

4.2.3 数量积 50

4.2.4 向量积 50

4.2.5 混合积 51

4.3 向量及其运算的坐标表示 51

习题4 54

第5章 空间解析几何 56

5.1 曲面方程和空间曲线方程 56

5.2 平面方程 57

5.2.1 平面方程 57

5.2.3 平面的夹角 59

5.2.2 点到平面的距离 59

5.3 空间直线的方程 61

5.4 直线与直线、直线与平面的关系 63

5.5 旋转曲面、柱面和锥面 67

5.5.1 旋转曲面 67

5.5.2 柱面 69

5.5.3 锥面 70

5.6 二次曲面 72

5.6.1 椭球面 72

5.6.2 抛物面 73

5.6.3 双曲面 74

5.7 空间曲线在坐标平面上的投影 76

习题5 77

第6章 极限 79

6.1 数列的极限 79

6.2 函数的极限 80

6.3 无穷小量与无穷大量 82

6.4 函数的连续性 84

习题6 86

第7章 导数及其应用 87

7.1 导数与微分的定义 87

7.2 导数的计算 89

7.3 高阶导数 92

7.4 中值定理与泰勒公式 93

7.5 洛必达法则 95

7.6 函数特性的判别 97

7.6.1 单调性与极值 98

7.6.2 凹凸性与拐点 99

7.6.3 渐近线 100

7.6.4 函数作图 101

7.7 最大值和最小值问题 102

习题7 103

第8章 偏导数及其应用 105

8.1 多元函数的极限和连续性 105

8.2 偏导数 105

8.3 全微分 109

8.4 隐函数求导 110

8.5 方向导数与梯度 112

8.6.1 空间曲线的切线和法平面 113

8.6 偏导数在几何方面的应用 113

8.6.2 曲面的切平面和法线 114

8.7 多元函数的极值 115

8.7.1 多元函数的极值 115

8.7.2 条件极值 116

习题8 117

第9章 不定积分 119

9.1 原函数与不定积分 119

9.2 不定积分的计算 120

9.2.1 基本积分表 120

9.2.2 第一类换元积分法 120

9.2.3 第二类换元积分法 123

9.2.4 分部积分法 125

9.3.1 有理函数的分解 127

9.3 有理函数的积分 127

9.3.2 有理函数的积分 129

9.3.3 三角函数有理式的积分 130

习题9 130

第10章 定积分 132

10.1 定积分的概念 132

10.2 定积分的性质 133

10.3 定积分的计算 134

10.3.1 牛顿-莱布尼兹公式 134

10.3.2 定积分的换元积分法 135

10.3.3 定积分的分部积分法 137

10.4 定积分的应用 139

10.4.1 曲线的弧长 139

10.4.2 在物理学中的应用 141

10.4.3 函数平均值 142

10.5 广义积分 143

10.5.1 无穷区间上的广义积分 143

10.5.2 无界函数的广义积分 144

10.5.3 广义积分收敛性的判别方法 145

10.5.4 Γ-函数与B-函数 147

习题10 149

第11章 重积分 151

11.1 二重积分的定义和性质 151

11.2 二重积分的计算 153

11.2.1 化成二次积分 153

11.2.2 极坐标下的计算公式 155

11.3.1 三重积分的定义 157

11.2.3 二重积分的换元公式 157

11.3 三重积分的定义及计算 157

11.3.2 化成三次积分 158

11.3.3 柱坐标下的计算公式 159

11.3.4 球坐标下的计算公式 160

11.3.5 三重积分的换元公式 161

11.4 重积分的应用 162

11.4.1 平面图形的面积 162

11.4.2 立体体积 164

11.4.3 曲面面积 166

11.4.4 质量与质心 168

习题11 168

12.1 常数项级数 170

第12章 级数 170

12.1.2 正项级数 171

12.1.1 常数项级数的概念及基本性质 171

12.1.3 交错级数 173

12.2 幂级数 173

12.2.1 函数项级数 173

12.2.2 幂级数及其收敛性 174

12.2.3 幂级数的运算 175

12.3 函数的幂级数展开 176

12.4 傅里叶级数 178

12.4.1 函数的傅里叶级数 178

12.4.2 以2l为周期的函数的傅里叶级数 180

12.4.3 非周期函数的傅里叶级数 181

12.5.1 欧拉公式 182

12.5 傅里叶级数的复数形式 182

12.5.2 傅里叶级数的复数形式 184

习题12 185

第13章 常微分方程 187

13.1 微分方程的基本概念 187

13.2 一阶微分方程 188

13.2.1 可分离变量的微分方程 188

13.2.2 齐次方程 189

13.2.3 一阶线性微分方程 190

13.2.4 伯努利方程 192

13.2.5 全微分方程 193

13.3.1 y(n)=f(x)型微分方程 195

13.3.2 F(x, y , y )=0型微分方程 195

13.3 可降阶的高阶微分方程 195

13.3.3 F(y, y , y )=0型微分方程 196

13.4 常系数线性微分方程 197

13.4.1 线性微分方程的解的结构 197

13.4.2 二阶常系数齐次线性微分方程 198

13.4.3 二阶常系数非齐次线性微分方程 199

13.4.4 n阶常系数线性微分方程 201

13.5 欧拉方程 202

13.6 应用举例 203

习题13 210

第14章 矩阵 212

14.1 矩阵的概念及运算 212

14.1.1 矩阵的概念 212

14.1.3 数乘矩阵 213

14.1.2 矩阵的加法 213

14.1.4 矩阵的乘法 214

14.1.5 转置矩阵 216

14.1.6 n阶矩阵的行列式 217

14.2 逆矩阵 217

14.3 初等变换与初等矩阵 219

14.3.1 初等变换与初等矩阵 219

14.3.2 用初等变换求逆 220

14.3.3 矩阵的等价关系 222

14.4 分块矩阵 222

习题14 225

第15章 线性方程组 227

15.1 n维向量 227

15.2 线性相关性 228

15.3 矩阵的秩 232

15.4 线性方程组的一般理论 234

习题15 238

第16章 矩阵的标准形 240

16.1 矩阵的特征值和特征向量 240

16.2 化矩阵为对角形 243

16.3 实对称矩阵的对角化 243

16.3.1 向量的内积 243

16.3.2 施密特(Schmidt)正交化方法 244

16.3.3 正交矩阵 245

16.3.4 化实对称矩阵为对角形 246

习题16 247

17.1 基与坐标 248

第17章 n维向量空间与线性变换 248

17.2 子空间 250

17.3 线性变换 251

17.3.1 线性变换的定义 251

17.3.2 线性变换的矩阵表示 252

17.3.3 线性变换的特征值和特征向量 254

习题17 255

第18章 二次型 256

18.1 二次型的矩阵表示 256

18.2 标准形 257

18.3 规范形 260

18.4 正定二次型和正定矩阵 261

习题18 263

习题答案 264