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第一章 预备知识 1

1.1 向量与矩阵范数 1

1.1.1 向量范数 1

1.1.2 矩阵范数 2

1.1.3 向量范数与矩阵范数的相容性 2

1.2 差分与差商 2

1.2.1 差分 3

算法1.1 求各阶差分 4

1.2.2 差商 5

算法1.2 求各阶差商 5

1.3 广义多项式 函数内积与范数 7

1.3.1 广义多项式 7

1.3.2 加权平均 8

1.3.3 函数内积与范数 8

1.4 正交多项式 10

1.4.1 正交函数系 10

1.4.2 几个著名的正交多项式 11

1.4.3 正交多项式的一般性质 12

1.4.4＊ 正交多项式系的构成方法 13

1.5 计算数学的基本任务 14

1.5.1 计算数学与计算机 14

1.5.2 算法构造算法的基本思想 15

1.6 问题的性态算法的运算速度 17

1.6.1 病态问题与良态问题 17

1.6.2 算法的运算速度 18

1.7 误差 18

1.7.1 误差的基本概念 19

1.7.2 数据误差对运算结果的影响 19

1.8 舍入误差与算法的数值稳定性 22

1.8.1 数值稳定的算法 22

1.8.2 应选用数值稳定的算法 23

1.8.3 数值运算中应注意的若干原则 23

习题一 25

第二章 非线性方程的数值解法 27

2.1 闭区间套法 27

2.1.1 根的隔离 27

2.1.2 闭区间套法 29

算法2.1 闭区间套法 30

2.2 简单迭代法 31

2.2.1 简单迭代法的基本思想和计算步骤 31

算法2.2 简单迭代法 32

2.2.2 简单迭代法的收敛条件 32

2.2.3 误差估计式 34

2.2.4 控制迭代终止的方法 34

2.2.5 局部收敛性 35

2.2.6＊ 几点提示 36

2.3 迭代收敛的加速法 38

2.3.1 校正—改进格式 38

2.3.2 校正—校正—改进格式 39

算法2.3 埃特金加速法（校正—校正—改进格式） 39

2.4 牛顿迭代法 41

2.4.1 计算步骤 41

算法2.4 牛顿迭代法 43

2.4.2 收敛性 43

2.4.3 几何意义 45

2.5＊ 基于牛顿迭代法的几种变形 45

2.5.1 简化牛顿法 45

2.5.2 牛顿下山法 46

2.5.3 弦割法 47

算法2.5 弦割法 48

2.5.4 抛物线法 49

算法2.6 抛物线法 51

习题二 53

第三章 线性代数方程组的数值解法 55

3.1 高斯消去法 55

3.1.1 基本思想 55

3.1.2 基本方法 56

算法3.1 高斯消去法 57

3.1.3 高斯消去法的矩阵形式 58

3.2 主元素消去法 59

3.2.1 列主元消去法 59

算法3.2 列主元消去法 60

3.2.2 全主元消去法 61

算法3.3 全主元消去法 62

3.3 三角分解法 64

3.3.1 杜里特尔分解法 64

算法3.4 杜里特尔分解法求Ax＝b的解 67

3.3.2 克洛特分解法 68

算法3.5 克洛特分解法求Ax＝b的解 68

3.3.3 乔列斯基分解法 69

算法3.6 乔列斯基分解法求Ax＝b的解 71

3.3.4 追赶法 73

算法3.7 追赶法 75

3.3.5 拟追赶法 76

算法3.8 拟追赶法 77

3.4 高斯—约当消去法及矩阵求逆 78

3.4.1 高斯—约当消去法解式（3.1） 78

3.4.2 求逆矩阵的高斯—约当消去法 79

算法3.9 选主元的高斯—约当消去法求逆矩阵 80

3.4.3＊ 几种特殊矩阵求逆 82

算法3.10 对称正定矩阵求逆矩阵 83

3.5＊ 方程组的性态 84

3.6 迭代法 88

3.6.1 基本思想 88

3.6.2 同步迭代法（雅可比迭代法） 88

算法3.11 同步迭代法（雅可比迭代法） 89

3.6.3 异步迭代法（高斯—赛德尔迭代法） 91

算法3.12 异步迭代法（高斯—赛德尔迭代法） 92

3.6.4＊ SOR方法 94

3.6.5＊ 迭代法格式的统一形式 95

3.7 迭代法的收敛条件及误差估计 96

3.7.1 引言 96

3.7.2 收敛条件及误差估计式 97

3.7.3 根据A判别迭代法的敛散性 100

习题三 100

第四章 矩阵特征值与特征向量的求法 104

4.1 乘幂法和反幂法 104

4.1.1 乘幂法 104

算法4.1 乘幂法 107

4.1.2 反幂法 108

算法4.2 反幂法 109

4.2＊ 雅可比方法 110

4.2.1 几个预备知识 110

4.2.2 计算方法 112

算法4.3 雅可比方法 113

4.2.3 计算方法的依据 116

4.2.4 对雅可比方法的几种改进方案 117

习题四 118

第五章 代数插值法 119

5.1 插值问题的提法 119

5.2 拉格朗日插值多项式 120

5.2.1 拉格朗日插值多项式 120

算法5.1 拉格朗日插值法 122

5.2.2 拉格朗日插值多项式的余项 123

5.3 牛顿插值多项式 125

5.3.1 牛顿插值多项式 126

算法5.2 牛顿插值法 128

5.3.2 等距节点插值多项式 128

算法5.3 等距节点牛顿向前差插值法 129

5.4＊ 埃尔米特插值 131

5.4.1 一个简单例子 131

5.4.2 埃尔米特插值多项式及其余项 132

5.5 三次样条函数插值 133

5.5.1 代数插值的问题 133

5.5.2 三次样条插值函数定义 133

5.5.3 S3（x）的M表达式 134

5.5.4 三弯矩方程（M关系式） 135

5.5.5 边界条件与基本方程组 136

5.5.6 三次样条函数插值计算步骤 137

算法5.4 三次样条函数插值法（三弯矩法） 138

习题五 140

第六章 数据拟合法 142

6.1 引言 142

6.2 最小二乘拟合多项式 143

6.2.1 求数据的最小二乘拟合多项式 143

算法6.1 求数据的最小二乘拟合多项式 144

6.2.2 关于近似函数P（x）的选取 146

6.3 线性最小二乘拟合 147

6.3.1 线性最小二乘拟合问题的提法 147

6.3.2 正规方程组 148

6.3.3＊ P（x）的存在唯一性及使S最小 149

6.3.4 计算步骤 150

6.3.5 正交多项式应用 152

算法6.2 正交多项式法求数据的线性最小二乘拟合多项式 154

6.4＊ 一般最佳平方逼近问题提示 157

习题六 159

第七章 数值积分法 161

7.1 引言 161

7.2 等距节点基本求积公式 163

7.2.1 牛顿—柯特斯公式 163

7.2.2 牛顿—柯特斯公式截断误差 166

7.3 等距节点复化求积公式 169

7.3.1 复化梯形公式及其误差 169

7.3.2 复化辛普生公式及其误差 171

算法7.1 复化辛普生数值积分法 171

7.3.3 复化柯特斯公式及其误差 172

7.4 变步长求积公式 175

7.4.1 变步长梯形公式 175

算法7.2 变步长梯形数值积分法 176

7.4.2 变步长辛普生公式 177

算法7.3 变步长辛普生数值积分法 179

7.5 龙贝格积分法 180

7.5.1 等距节点复化求积公式的加速收敛 180

7.5.2 龙贝格积分法 183

算法7.4 龙贝格数值积分法 185

7.6＊ 数值微分 187

7.6.1 用插值多项式求数值导数 187

7.6.2 中点法和外推法 190

算法7.5 中点公式外推法求数值导数 192

7.6.3 用三次样条插值函数求数值导数 193

习题七 194

第八章＊ 常微分方程初值问题的数值解法 196

8.1 引言 196

8.2 欧拉法及其改进 197

8.2.1 欧拉法基本公式 197

8.2.2 几个基本问题 198

8.2.3 局部截断误差的实用估计 199

8.2.4 改进欧拉法 200

算法8.1 改进欧拉法 201

8.3 龙格—库塔法 203

8.3.1 泰勒级数法 203

8.3.2 龙格—库塔法（R—K法） 204

算法8.2 标准龙格—库塔法 207

8.4 线性多步法 209

8.4.1 线性多步法的基本思想 209

8.4.2 应用泰勒级数的构造法 209

8.4.3 应用数值积分的构造法 211

8.4.4 求解公式的使用方法 211

算法8.3 线性多步法（修正哈明预测—校正公式） 213

8.5 方程组与高阶方程 214

8.5.1 一阶微分方程组 214

8.5.2 高阶微分方程 216

习题八 218

参考文献 220