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引论 1

0.1 序次公理及结合公理 1

0.2 数集，自然数公理 5

0.3 连续公理 9

0.4 绝对值 14

0.5 对应公理 15

第一章 论点集 16

1.1 定义 16

1.2 点集之基本运算 17

1.3 有穷及无穷点集，可数性 20

1.4 节之定理 27

1.5 点集与全空间之比较 29

1.6 点集之类别 31

1.7 复盖定理 33

1.8 极限点及凝聚点定理 37

1.9 交集及结合集之极限点 41

1.10 相对概念 45

1.11 到处稠密及无处稠密点集 47

1.12 交集合的定理 52

第二章 极限之概念 56

2.1 函数之普遍概念 56

2.2 上限及下限 57

2.3 收敛数列 69

2.4 正数之和 77

1) 开点集叙列，皆为于S到处稠密而其交集则不具有这性质 78

2.5 收敛级数 80

2.6 收敛点集 88

2.7 点集叙列之上限及下限 90

第三章 函数 97

3.1 定义 97

3.2 点函数之极限函数 98

3.3 半连续点及连续点 102

2) 发散级数 106

3) 绝对收敛级数 107

4) 非约对收敛级数 108

3.4 半连续函数及连续函数 109

5) 二重叙列之和的不可更易性 111

3.5 振幅、点断及全断函数 113

3.6 单变数函数 116

3.7 单调函数 119

6) 点集叙列之极限 120

7) 无处半连续函数 128

9) 小处有界而非有界函数 130

8) 连续而非有限函数 130

3.8 连续函数之构造 135

3.9 收敛函数叙列 137

3.10 均匀收敛 139

3.11 有界变分函数 146

10) 单调函数具有到处稠密之断点 156

4.1 点之距离 156

第四章 距离及联结 156

4.2 点集之距离 160

4.3 直径 163

4.4 均匀连续 165

11) 二个变数函数，虽每一个变数为连续而它并不为连续 166

4.5 连续映象 167

12) 非均匀有界函数叙列之极限为有界函数 168

13) 连续函数叙列之极限函数为不连续 169

4.6 连续统 169

4.7 点集之边缘 175

14) 半连续函数所成叙列，甚至单调叙列其极限函数为全断 176

4.8 域 180

15) 连续函数在子节内不为有界变分 184

4.9 于连续函数之应用 184

5.1 外容量 187

第五章 容量及可测性 187

5.2 测度函数 193

5.3 可测性 200

5.4 正则测度函数 210

5.5 测度理论之应用于点集容量 224

16) 在一节内定义一不连续函数，其值在0与1之间 227

5.6 可积点集，空间胞纲 236

17) 测度函数之举例 236

5.7 Vitali复盖定理 244

6.1 q-维空间之矢量 251

18) 非Borel点集(脚注) 251

第六章 线性体系 251

6.2 线性矢量体系 252

6.3 直交性质 256

6.4 行列式 260

6.5 行列式之用于线性矢量体系 267

6.6 一次方程 269

6.7 线性点体系 273

6.8 线性点变换 274

21) 全空间为其凝聚点之零集 276

20) 完全零集 276

19) 无处完全集 276

22) 不可积之可数点集 279

6.9 点集容量之变换 279

24) 不可积域 280

23) 开集为不可积者 280

6.10 直交变换 284

6.11 容量不可测之点集 286

6.12 连续可测映象 290

6.13 测度函数理论之评论 295

第七章 可测函数 303

7.1 经由点集叙列之函数表示 303

7.2 可测函数 307

7.3 限值函数 316

7.4 等价函数 320

7.5 Baire分类 323

7.6 类的概念在可测函数之应用 329

25) 点集以全空间为其等量包，而同时内容量等于零者 334

26) 不可测一一连续映象 336

27) 非正则测度函数 339

8.1 柱性集合 340

第八章 定积分 340

8.2 纵线集合 343

8.3 非负函数之定积分 345

28) 对于α之每一值M(f=α)为可测，此函数不可测 346

8.4 可测性及可和性 347

29) 可测函数ψ(u)及单调函数之存在而ψ(f(χ))为不可测者 351

8.5 任意符号之可和函数 351

30) 函数叙列定义域非为等量核者则均匀收敛 354

32) 一点集A上为一类函数，而于A之闭包上？所补成者为二类函数 363

33) 函数至少为二类 364

8.6 积分之估计及近似 367

34) 一可测函数，不与任何一类函数等价 370

31) 连续函数并非零类 372

8.7 Darboux和 375

8.8 Riemann积分 379

9.1 不定积分 388

第九章 不定积分及加性全连续集合函数 388

9.2 加性全连续集合函数 393

35) 可测而不可和函数 395

9.3 中导数 397

9.4 广义导数 407

9.5 导数之限函数 414

9.6 加性全连续节函数 416

37) 极限函数，依Riemann为可积而本身则否 418

36) 半连续函数，不依Riemann为可积 418

38) 依Riemann可积函数，而不是有限类者 422

第十章 单变数函数 423

10.1 λ-变分 423

10.2 函数之导数 426

10.3 微分学这定则 429

10.4 连续函数之导数，视为自变数之函数 436

10.5 简单(一次)积分及全连续函数 448

39) 具有无限λ-变分的函数 459

10.6 简单积分之置换理论 460

10.7 单调函数 466

10.8 可测映象 480

10.9 有界变分函数 484

10.10 Weierstrass无处可微分函数 488

10.11 微分学之逆转问题 492

40) 全连续函数于预定之零集上可微分且具有导数+∞， 492

41) 全连续函数于预定之到处稠密点集上可微且有导数+∞， 493

42) f(u)，u=ψ(χ)为二全连续函数，而f［ψ(χ)］不为全连续 494

10.12 简单(一次)积分之计算 497

10.13 广义积分 502

10.14 积分学之第二中值定理 507

43) 常数λ-变分的连续函数单调而非常数之函数 509

10.15 连续函数定义域之扩展 511

44) 单调函数与其反函数是常数λ-变分 512

第十一章 多变数函数 515

11.1 Fubini定理 515

45) 连续函数之导数可和性而为无限变分 518

46) 无处可微函数 519

11.2 累次积分及重积分 521

47) 有界可测函数，不为连续函数之导数 523

48) 连续函数具有无限之导数而不是无限变分 526

11.3 偏引数，可微分性 532

11.4 微分次序之更易性 539

11.5 两变数全连续函数 541

11.6 积分符下之微分 549

49) 一个非可和函数之重积分 552

11.7 微分方程 553

50) 具有有界偏引数而不可全微分之可偏微分函数 561

51) 非全连续而是具有有界偏差商之函数 568

附录Ⅰ 关于Vitali复盖定理 574

附录Ⅱ 关于内外容量之算术中数 578

52) Lipschitzschen条件之举例 583

参考文献 584

索引 591