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第一章 引论 1

§1.1　对称性分岔问题和方法 1

1.1.1 分岔问题 1

1.1.2　对称性 3

1.1.3　稳定性和对称性的变化 5

1.1.4　Hopf分岔 7

1.1.5　离散系统的对称性分岔问题 8

1.1.6　对称性分岔问题的处理方式 9

§1.2　泛函分析工具 10

1.2.1　Banach空间中的微分运算 10

1.2.2　反函数和隐函数定理 13

1.2.3　静态分岔存在的必要条件 14

1.2.4 Fredholm算子 15

§1.3 Liapunov-Schmidt简约 17

1.3.1 Liapunov-Schmidt简约的基本步骤 18

1.3.2　系数计算公式 20

1.3.3 Fredholm算子情形 21

1.3.4　应用 23

§1.4　奇点理论初步 25

1.4.1　有关的代数知识 25

1.4.2　芽空间 28

1.4.3 Malgrange预备定理 31

1.5.1 除法定理 34

§1.5 Malgrange预备定理的证明 34

1.5.2 Malgrange预备定理的证明 37

1.5.3 引理1.5.3的证明 39

1.5.4 Nirenberg延拓定理的证明 39

习题一 43

第二章 单变量分岔理论 45

§2.1　轨道切空间 45

2.1.1 等价和强等价 45

2.1.2　轨道切空间 47

2.1.3　轨道切空间的基本定理及推论 50

2.2.1 内蕴理想 51

§2.2　内蕴理想与识别问题 51

2.2.2　最大和最小内蕴理想 54

2.2.3　？集 55

2.2.4　识别问题的解 56

§2.3　普适开折理论 58

2.3.1 开折与切空间 58

2.3.2 普适开折及其计算 60

2.3.3　普适开折的识别 61

2.3.4　持久性与模数 64

§2.4　初等分岔与突变 67

2.4.1　初等分岔的分类 68

2.4.2　初等分岔的识别 70

2.4.3　初等分岔的普适开折及其识别 72

2.4.4　与初等突变的比较 74

§2.5　Z2等变分岔问题的识别与普适开折 76

2.5.1　Z2等变分岔问题 76

2.5.2　强内蕴子模与识别问题 78

2.5.3　普适开折及其识别 81

§2.6　Z2对称初等分岔 84

2.6.1　分类定理 84

2.6.2 一些引理 85

2.6.3　分类定理的证明及普适开折 91

习题二 92

第三章　群论方法 94

§3.1 紧Lie群和Haar积分 94

3.1.1 紧Lie群的概念 94

3.1.2 Haar积分 96

3.1.3　紧群上连续函数的平均值 98

3.1.4　Haar积分定理的证明 101

§3.2　群表示论 104

3.2.1　群表示和作用 104

3.2.2 不可约表示与Perter-Weyl定理 108

3.2.3　Perter-Weyl定理的证明 110

3.3.1 不可约子空间 112

§3.3　不可约性 112

3.3.2　绝对不可约性 114

3.3.3　关于SO（3）和O（3）群的不可约表示 115

3.3.4　Schur引理和Frobenius定理 116

3.3.5 Frobenius-Schur定理的证明 118

3.3.6　等变线性映射 120

§3.4　迷向子群 122

3.4.1　不动点子空间 122

3.4.2　迷向子群 124

3.4.3　最大迷向子群 125

§3.5　不变函数和等变映射 127

3.5.1　不变函数环 128

3.5.2　等变映射 131

3.5.3　等变矩阵值映射 134

§3.6　关于不变量定理的证明 136

3.6.1　Hilbert基定理和定理3.5.1的证明 136

3.6.2　关于Schwarz定理的证明 139

3.6.3　不变量定理的证明 141

习题三 143

第四章　等变分岔理论 145

§4.1　等变分岔问题 145

4.1.1　等变隐函数定理 145

4.1.2　等变的Liapunov-Schmidt简约 146

4.1.3　等变分岔问题的Г等价 148

4.1.4　关于等变向量场的稳定性问题 150

§4.2　等价轨道切空间与等变限制切空间 152

4.2.1 等价轨道切空间与等变限制切空间 152

4.2.2　等变限制切空间的计算问题 154

§4.3　等变分岔问题的识别 157

4.3.1　轨道切空间的一个重要性质 158

4.3.2 应用 160

4.3.3 内蕴理想和内蕴子模 162

4.3.4 高阶项 163

4.3.5　识别问题 165

4.4.1　等变普适开折 167

§4.4　等变普适开折理论 167

4.4.2　等变切空间与等变普适开折定理 169

4.4.3　普适开折的计算 171

4.4.4　普适开折的识别 172

§4.5　等变普适开折定理的证明 175

4.5.1 等变预备定理 175

4.5.2　等变普适开折定理的证明 176

4.5.3　普适开折的唯一性 178

习题四 179

第五章　向量场的局部分岔理论方法 181

§5.1　简单分岔 181

5.1.1　简单分岔的Liapunov-Schmidt简约 181

5.1.2　一些引理 183

5.1.3　定理5.1.3的证明 184

5.1.4 应用 186

§5.2　Hopf分岔理论 187

5.2.1 Hopf定理 188

5.2.2　定理5.2.1的证明 189

5.2.3　系数的计算 193

5.2.4 关于对Hilbert　第16问题的应用 195

§5.3　Floquet理论及应用 196

5.3.1 线性周期系统的F1oquet理论 196

5.3.2 非线性方程周期解的稳定性 198

5.3.3　定理5.2.3的证明 199

5.3.4 关于等变形式的Floquet算子 202

§5.4 向量场的中心流形和正规形理论 204

5.4.1 中心流形理论 204

5.4.2　向量场的正规形 209

5.4.3　补空间的计算 211

5.4.4　补空间的另一种描述 214

§5.5　模态相互作用 217

5.5.1 基本的模态相互作用 218

5.5.2　Z2等变分岔问题 219

5.5.3　关于定态-Hopf模态相互作用 222

5.5.4　D2等变分岔问题 223

5.5.5　关于Hopf-Hopf模态相互作用 225

5.5.6　关于Zm等变向量场 228

习题五 229

第六章　对称破缺理论 230

§6.1　定态分岔的自发对称破缺 230

6.1.1　等变分支引理 230

6.1.2　稳定性 234

6.1.3　关于SO（3）和O（3）群 235

§6.2　Hopf分岔中的对称破缺 238

6.2.1　空间对称与空时对称 239

6.2.2　圆周群的作用 241

6.2.3　等变的Hopf定理 247

6.2.4　周期解的稳定性 249

§6.3　具有对称性的Hopf分岔问题 252

6.3.1 Г×S1的迷向子群 252

6.3.2 Г×S1的不变量理论 254

6.3.3 O（2）×S1作用 255

6.3.4 Hopf分岔的振幅方程 257

6.3.5 D4等变分岔问题 259

§6.4 具有O（2）对称的模态相互作用 260

6.4.1 定态-定态模态相互作用 260

6.4.2 定态-Hopf模态相互作用 263

6.4.3 Hopf-Hopf模态相互作用 264

习题六 266

第七章 离散系统中吸引子的对称性 268

§7.1　拓朴动力系统 268

7.1.1 不变集和极限集 268

7.1.2 吸引子 271

7.1.3　拓扑传递性 273

7.1.4　敏感依赖性 275

§7.2　吸引子的对称性 277

7.2.1 集合的对称群 277

7.2.2 吸引子的对称性 280

§7.3　有限群作用下吸引子的对称性 282

7.3.1 容许子群和强容许子群 282

7.3.2　基本分解 285

7.3.3 二面体群及其等变映射 286

7.3.4 容许和强容许子群的基本性质 288

7.3.5　容许子群和强容许子群的分类 289

§7.4　关于容许子群基本定理的证明 293

7.4.1 图上的动力系统 293

7.4.2　图上的等变系统 294

7.4.3　图的嵌入和扩张 296

7.4.4　定理7.3.15的证明 298

7.4.5　定理7.3.18的证明 302

习题七 302

参考文献 304