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1.1 基本定理 1

1.1.1 初值问题解的存在性与唯一性 1

第一章 常微分方程准备知识 1

1.1.2 解的延拓 2

1.1.3 解的连续性与可微性 3

1.1.4 线性方程 5

1.2 常微分方程的比较原理 8

1.2.1 方程式的最在解与最小解 9

1.2.2 微分不等式与微分方程式的解的比较 10

1.2.3 方程组的解的模估计 12

1.2.4 方程组的比较原理 12

1.3.1 相空间与相轨线 15

1.3 自治系统的一般性质 15

1.3.2 自治系统轨线的简单性质 16

1.3.3 自治系统的解确定一个动力系统 16

1.3.4 轨线的分类 17

1.3.5 不变集与解的不变性 19

1.4 平面自治系统的平衡点 19

1.4.1 概述 19

1.4.2 二维常系数线性方程的标准化 21

1.4.3 标准化方程的简单平衡点 22

1.4.4 线性常系数系统的简单平衡点 25

1.4.5 非线性系统的平衡点 27

1.5.1 相轨线的普遍性质 32

1.5 二阶保守系统及其相图分析 32

1.5.2 平衡点邻域的相图 33

1.5.3 整个相平面上的轨线 34

1.6 平面自治系统的周期解与极限集 39

1.6.1 概述 39

1.6.2 判别闭轨不存在的准则 41

1.6.3 极限集的一般性质 43

1.6.4 无切线段及其性质 45

1.6.5 Poincaré-Bendixson定理 47

1.6.6 Poincaré-Bendixson定理的应用 49

1.7 生态方程 51

1.7.1 捕食方程 52

1.7.2 竞争方程 55

1.7.3 一个互助型方程 58

1.8 n维非线性系统平衡点的稳定性 59

1.8.1 稳定性概念 59

1.8.2 Liapunov函数 61

1.8.3 判别稳定性的Liapunov方法 64

1.8.4 常系数线性系统的稳定性 68

1.8.5 判别稳定性的线性化方法 70

习题一 71

第二章 行波解的存在唯一性 74

2.1 行波解的基本性质 75

2.2.1 问题的转化 78

2.2 波前解的存在性和唯一性 78

2.2.2 存在波前解的必要条件 81

2.2.3 初值问题的正解对参数的单调性 82

2.2.4 结-鞍情形的波前解 85

2.2.5 鞍-鞍情形的波前解 89

2.3 f(u)=u(1-u)(u-α)(0<α<1)时单调与非单调行波解的存在性 91

2.3.1 奇点分析与各种可能的情形 91

2.3.2 e=0的情形 93

2.3.3 e>0时各种可能情形化为统一的形式 94

2.3.4 显式解 95

2.3.5 结-鞍与鞍-鞍情形的波前解 95

2.3.6 鞍-焦与鞍-结情形的非单调行波解 98

2.4 评注 100

习题二 103

第三章 基于最大值原理的比较方法及其应用 106

3.1 最大值原理 106

3.2 嵌入定理，线性问题解的存在唯一性及估计 109

3.2.1 几个函数空间 109

3.2.2 嵌入定理及线性椭圆型边值问题 111

3.2.3 线性抛物型方程的初边值问题 113

3.3 椭圆型边值问题的比较方法 115

3.3.1 上、下解与比较方法 115

3.3.2 二阶线性椭圆算子的特征值问题 118

3.3.3 应用--一个平衡解的分叉问题 134

3.4.1 抛物型方程初边值问题的比较方法 138

3.4 抛物型方程初边值问题的比较方法 138

3.4.2 上、下解方法--初边值问题解的存在唯一性 140

3.4.3 爆炸现象 147

3.5 抛物型方程初值问题的比较方法 154

3.5.1 初值问题的比较原理 155

3.5.2 上、下解与初值问题解的存在唯一性 155

3.6 评注 157

习题三 159

第四章 平衡解的稳定性问题 163

4.1 平衡解与稳定性概念 163

4.2.1 基于第一特征值与第一特征函数的稳定性判别法 166

4.2 初边值问题平衡解的稳定性 166

4.2.2 基于单调序列的稳定性判别法 170

4.3 初值问题常数平衡解的稳定性 175

4.3.1 基本引理 175

4.3.2 常数平衡解的(C)稳定性 180

4.3.3 常数平衡解(逐点收敛意义下)的稳定性 182

4.4 评注 188

习题四 190

第五章 抛物型方程组和椭圆型方程组的比较方法及其应用 192

5.1 概述 192

5.2.1 上、下解的定义与迭代格式 195

5.2 拟单调增加和拟单调减少情形的比较方法 195

5.2.2 抛物型方程组的最大值原理 199

5.2.3 抛物型方程组初边值问题解的存在唯一性定理与椭圆型边值问题解的存在性定理 205

5.2.4 抛物型方程组的比较原理与上、下解的有序性 206

5.3 混拟单调情形的比较方法 209

5.4 非拟单调的情形 213

5.5 上、下解的构造 219

5.6 非常数平衡解的稳定性 225

5.7 评注 228

习题五 232

第六章 不变区域及其应用 236

6.1 反应扩散方程组的不变矩形 237

6.2 反应扩散方程组的不变区域 241

6.3 比较定理.t→+∞时解的渐近行为 249

6.4 反应扩散方程的局部解和整体解 255

6.5 评注 259

习题六 260

第七章 平衡解的存在性与分叉问题--度理论的应用 262

7.1 度的定义 262

7.1.1 有限维空间中的Brouwer度 262

7.1.2 Banach空间中的Leray-Schauder度 267

7.2 度的性质 269

7.3 Leray-Schauder度的计算 275

7.3.1 Schauder不动点定理 276

7.3.2 奇算子的度 277

7.3.3 线性紧算子的奇点指数 278

7.3.4 可导紧算子的奇点指数 279

7.3.5 渐近线性紧算子的奇点指数 282

7.4 度理论的应用--半线性椭圆型方程边值问题解的存在性 283

7.5 度理论的应用--多解问题 285

7.5.1 Banach空间中紧算子方程的多解问题 285

7.5.2 由严格上、下解构造凸集 287

7.5.3 椭圆型方程组的多解问题--存在严格上、下解的情形 290

7.5.4 椭圆型方程的多解问题--极小解与极大解不等的情形 294

7.6 度理论的应用--分叉问题 296

7.6.1 局部分叉的一般结论 297

7.6.2 一个常微分方程的分叉问题 298

7.6.3 一个偏微分方程的分叉问题 307

7.6.4 全局分叉的一般结论 311

7.7 评注 312

习题七 316

第八章 平衡解的存在性与分叉问题--相图法 320

8.1 一般原理 320

8.2 时间函数是单调的情形 324

8.3 时间函数是非单调的情形 329

8.4 评注 337

习题八 339

第九章 抽象理论--解析半群与非线性方程的初值问题 343

9.1 线性齐次方程的初值问题与C0半群 344

9.2 线性算子是C0半群的无穷小生成元的充要条件 351

9.3 解析半群与扇形算子 356

9.3.1 解析半群与初值问题的解 356

9.3.2 可微半群与解析半群的性质 357

9.3.3 扇形算子 362

9.3.4 由扇形算子确定解析半群 367

9.4 线性方程的初值问题 372

9.5 分数幂算子与分数幂空间 377

9.5.1 概述 377

9.5.2 分数幂算子的定义与例子 381

9.5.3 分数幂算子的性质 384

9.5.4 几个估计式 390

9.6 非线性方程的初值问题 397

9.6.1 带奇性的Gronwall不等式 397

9.6.2 与初值问题等价的积分方程 399

9.6.3 解的局部存在性和唯一性 400

9.6.4 解的延拓 402

9.6.5 解的紧性 404

9.6.6 解的连续性和可微性 405

9.6.7 微分方程的光滑作用 408

9.7.1 由微分算子所确定的扇形算子 412

9.7 应用与例子 412

9.7.2 由微分算子所确定的分数幂空间 416

9.7.3 一个例子 418

习题九 421

第十章 抽象理论--动力系统与平衡点的稳定性 427

10.1 动力系统 427

10.2 Liapunov函数与稳定性判别准则 429

10.3 动力系统的极限性质与不变性原理 432

10.3.1 极限集 432

10.3.2 极限集与Liapuaov函数的关系。动力系统的极限性质 434

10.3.3 关于不稳定性的一个结论 436

10.4 自治方程与Liapunov函数 437

10.4.1 Liapunov函数与解的全局存在性 437

10.4.2 Liapunov函数与解的稳定性 438

10.4.3 例子 440

10.4.4 关于渐近稳定性的逆定理 449

10.5 渐近自治方程 454

10.6 判断稳定性的线性近似方法 456

10.6.1 线性方程的稳定性 456

10.6.2 按线性近似方程确定稳定性 458

10.7 稳定性问题的若干例子 467

习题十 481

参考文献 484

9.5.5 分数幂空间与图范数 933