微分几何教程PDF电子书下载

第一章　欧氏空间 3

1．点集 3

1.1．邻域与拓扑 3

1.2．开集与闭集，连续映射 6

1.3．连通性 8

1.4．下确界与上确界，序列 11

1.5．紧致性 13

2．微分法与积分法 18

2.1．中值定理 18

2.2．Taylor公式 21

2.3．极大值与极小值 22

2.4．Lagrange乘数 24

3．矢量 27

3.1．矢量空间 27

3.2．内积 28

3.3．矢量积 29

3.4．线性组合与线性无关；矢量空间的基与维数 31

3.5．切矢量 34

3.6．方向导数 38

4．映射 41

4.1．线性变换与对偶空间 41

4.2．导映射 47

5．线性群 55

5.1．线性变换 55

5.2．平移与仿射变换 61

5.3．等距与刚体运动 63

5.4．定向 70

6．外微分形式 74

6.1．1-形式 74

6.2．外乘法与外微分法 79

6.3．结构方程 87

7．变分学 89

第二章　曲线 93

1．一般的局部理论 93

1.1．参数表示 93

1.2．弧长、矢量场与扭结 98

1.3．Frenet公式 106

1.4．局部标准型和密切形 118

1.5．存在定理及唯一性定理 123

2．平面曲线 129

2.1．Frenet公式与Jordan曲线定理 129

2.2．分枝数与旋转指标 130

2.3．曲线族的包络 131

2.4．凸曲线 133

2.5．等周不等式 138

2.6．四顶点定理 144

2.7．直线集合的测度 147

2.8．再论旋转指标 152

3．空间曲线的整体理论 162

3.1．全曲率 162

3.2．形变 170

第三章　曲面的局部理论 175

1．参数表示 175

2．函数与基本形式 197

3．曲面在一点的邻近的形状 209

4．主曲率、渐近曲线与共轭方向 216

5．曲面间的映射 226

6．三重正交系Dupin定理与Liouville定理 232

7．基本方程 235

8．直纹曲面与极小曲面 244

9．Levi-Civita平行性 254

10．测地线 259

第四章　曲面的整体理论 273

1．曲面的定向 273

2．常Gauss曲率曲面 278

3．Gauss-Bonnet公式 285

4．外微分形式与曲面的唯一性定理 302

5．凸曲面的刚性与Minkowski公式 311

6．几个平移定理与对称的定理 318

7．Minkowski和Christoffel问题的唯一性定理 323

8．完备曲面 331

附录1、第二章存在定理1.5.1的证明 349

附录2、第三章定理7.3第一部分的证明 352

参考文献 356

习题解答与题示 361

内容索引（一） 385

内容索引（二） 395