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第1章 概率 1

1.1概率定律 1

1.2概率分布 4

1.2.1离散和连续概率分布 4

1.2.2累积概率分布函数 6

1.2.3变量变化 6

1.3概率分布的特征 7

1.3.1中位数、众数和半峰全宽 7

1.3.2矩、均值和方差 7

1.3.3矩母函数和特征函数 11

1.4多变量概率分布 12

1.4.1两个独立变量的分布 12

1.4.2协方差 13

1.4.3多个独立变量的分布 14

第2章 一些有用的概率分布函数 17

2.1排列组合 18

2.2二项分布 18

2.3泊松分布 21

2.4高斯分布（正态分布） 24

2.4.1用中心极限定理推导高斯分布 24

2.4.2关于中心极限定理的摘要和评论 26

2.4.3高斯分布的均值、矩和方差 28

2.5多元高斯分布 29

2.6卡方分布 32

2.6.1卡方分布的推导 32

2.6.2卡方分布的均值、众数和方差 34

2.6.3 n取极大值的卡方分布 35

2.6.4简化卡方 36

2.6.5相关变量的卡方 36

2.7贝塔分布 37

第3章 随机数和蒙特卡罗方法 39

3.1引言 39

3.2不均匀随机偏差 40

3.2.1逆向累积分布函数 40

3.2.2多维偏差 41

3.2.3生成高斯偏差的Box-Muller方法 41

3.2.4接受-拒绝算法 42

3.2.5均匀分布比例法 44

3.2.6从更复杂的概率分布中产生随机偏差 46

3.3蒙特卡罗积分 46

3.4马尔可夫链 49

3.4.1平稳有限的马尔可夫链 49

3.4.2不变概率分布 51

3.4.3连续参数和多参数马尔可夫链 53

3.5马尔可夫链蒙特卡罗采样 55

3.5.1马尔可夫链蒙特卡罗计算示例 55

3.5.2 Metropolis-Hastings算法 56

3.5.3吉布斯采样器 60

第4章 频率统计学基础 63

4.1频率统计学简介 63

4.2未加权数据的均值与方差 64

4.3含有不相关测量误差的数据 67

4.4有相关测量误差的数据 71

4.5方差的方差和学生t分布 75

4.5.1方差的方差 75

4.5.2学生t分布 77

4.5.3总结 79

4.6主成分分析及其相关系数 79

4.6.1相关系数 79

4.6.2主成分分析 80

4.7柯尔莫诺夫-斯米尔诺夫检验 84

4.7.1单样本K-S检验 84

4.7.2双样本K-S检验 85

第5章 线性最小二乘估计 87

5.1引言 87

5.2似然统计 87

5.2.1似然函数 87

5.2.2最大似然原理 90

5.2.3与最小二乘和x2最小化的关系 93

5.3多项式对数据的拟合 94

5.3.1直线拟合 94

5.3.2任意多项式拟合 99

5.3.3方差、协方差和偏差 100

5.3.4蒙特卡罗误差分析 106

5.4协方差的需求和误差的传播 107

5.4.1协方差的需求 107

5.4.2误差的传播 108

5.4.3蒙特卡罗误差传播 110

5.5广义线性最小二乘法 112

5.5.1非多项式函数的线性最小二乘法 112

5.5.2测量误差之间的相关性拟合 114

5.5.3拟合优度的x2检验 116

5.6多个因变量拟合 118

第6章 非线性最小二乘估计 120

6.1引言 120

6.2非线性拟合的线性化 121

6.2.1数据含有不相关测量误差 123

6.2.2数据含有相关测量误差 124

6.2.3实际考量 126

6.3其他最小化S的方法 126

6.3.1网格映射法 127

6.3.2最速下降法、牛顿法以及马夸特法 127

6.3.3单纯形优化 130

6.3.4模拟退火法 131

6.4误差估计 132

6.4.1黑塞矩阵的逆阵 132

6.4.2直接计算协方差矩阵 134

6.4.3总结以及估计的协方差矩阵 136

6.5置信极限 136

6.6自变量和因变量都含有误差的拟合 140

6.6.1含有不相关误差的数据 140

6.6.2含有相关误差的数据 142

第7章 贝叶斯统计 144

7.1贝叶斯统计简介 144

7.2单参数估计：均值、众数和方差 146

7.2.1引言 146

7.2.2高斯先验和似然函数 147

7.2.3二项分布和贝塔分布 149

7.2.4泊松分布和一致的先验 150

7.2.5关于先验概率分布的更多信息 152

7.3多参数估计 153

7.3.1问题的形式描述 153

7.3.2拉普拉斯近似 154

7.3.3高斯似然函数和先验：与最小二乘的联系 156

7.3.4困难的后验分布：马尔可夫链蒙特卡罗采样 163

7.3.5可信区间 163

7.4假设检验 165

7.5讨论 167

7.5.1先验概率分布 167

7.5.2似然函数 167

7.5.3后验分布函数 168

7.5.4概率的含义 168

7.5.5思考 168

第8章 傅里叶分析导论 170

8.1引言 170

8.2完备的标准正交函数集合 170

8.3傅里叶级数 173

8.4傅里叶变换 178

8.4.1傅里叶变换对 179

8.4.2有用的傅里叶变换对的总结 184

8.5离散傅里叶变换 185

8.5.1从连续傅里叶变换推导 185

8.5.2从离散取样的正弦和余弦函数的正交关系推导 186

8.5.3帕塞瓦尔定理和功率谱 188

8.6卷积和卷积定理 189

8.6.1卷积 189

8.6.2卷积定理 193

第9章 序列分析：功率谱和周期图 194

9.1引言 194

9.2连续序列：数据窗口、谱窗口以及混叠 194

9.2.1数据窗口和谱窗口 194

9.2.2混叠 199

9.2.3任意的数据窗口 200

9.3离散序列 201

9.3.1过量采样Fm的必要性 201

9.3.2奈奎斯特频率 202

9.3.3整合采样 204

9.4噪声的影响 205

9.4.1确定性的或随机性的过程 205

9.4.2白噪声的功率谱 206

9.4.3噪声环境下的确定性信号 208

9.4.4非白、非高斯噪声 209

9.5非一致间隔的序列 210

9.5.1最小二乘周期图 210

9.5.2 Lomb-Scargle周期图 211

9.5.3一般化的Lomb-Scargle周期图 215

9.6有变化周期的信号：O-C图 218

第10章 序列分析：卷积和协方差 221

10.1卷积回顾 221

10.1.1脉冲响应函数 221

10.1.2频率响应函数 224

10.2反卷积和数据重建 228

10.2.1噪声在反卷积中的效用 228

10.2.2维纳反卷积 231

10.2.3 Richardson-Lucy算法 233

10.3自协方差函数 234

10.3.1自协方差函数的基本性质 234

10.3.2与功率谱的关系 238

10.3.3随机过程的应用 240

10.4互协方差函数 246

10.4.1互协方差函数的基本性质 246

10.4.2与x2和互谱的关系 248

10.4.3噪声中脉冲信号的检测 250

附录A 一些有用定积分 252

附录B 拉格朗日乘数法 256

附录C 高斯概率分布的附加性质 259

附录D n维球体 267

附录E 线性代数和矩阵回顾 269

附录F 当n值变大时[1＋f（x）/n]n的极限 285

附录G 脉冲响应函数的格林函数解 286

附录H 二阶自回归过程 289