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第1章 误差与范数 1

1.1 误差与有效数字 1

1.1.1 误差的基本概念 1

1.1.2 有效数字 2

1.2 误差的传播 4

1.2.1 误差估计的四则运算 4

1.2.2 数值稳定性 5

1.3 数值计算中应注意的问题 7

1.4 向量范数与矩阵范数 10

1.4.1 向量范数 10

1.4.2 矩阵范数 11

第2章 线性代数方程组的解法 14

2.1 解线性方程组的直接法 14

2.1.1 Gauss消元法 14

2.1.2 LU分解法 16

2.1.3 条件数与误差分析 20

2.2 解线性代数方程组的迭代法 22

2.2.1 迭代法的一般形式 22

2.2.2 Jacobi迭代法 24

2.2.3 Guass-Seidel迭代法 27

2.2.4 迭代法收敛的另一判定准则 29

习题 32

第3章 代数特征值问题 32

3.1 幂法与反幂法 32

3.1.1 幂法与Rayleigh商迭代法 32

3.1.2 反幂法 36

3.2 QR方法 38

3.2.1 反射变换 38

3.2.2 矩阵的QR分解 39

3.2.3 QR方法 41

3.3.1 平面旋转变换 43

3.3 Jacobi方法 43

3.3.2 经典Jacobi方法 44

习题 48

第4章 代数插值与曲线拟合 50

4.1 插值基本概念 50

4.1.1 代数插值问题的提法 50

4.1.2 插值多项式的存在唯一性 51

4.1.3 插值余项 51

4.2 拉格朗日插值多项式 52

4.2.1 拉格朗日插值多项式的基本概念 52

4.2.2 线性插值与抛物插值 53

4.2.3 拉格朗日插值多项式的性质 54

4.2.4 拉格朗日插值多项式的误差估计 55

4.3.1 差商与牛顿基本插值公式 60

4.3 牛顿插值公式 60

4.3.2 差分与等距结点下的牛顿公式 62

4.4 Hermite插值多项式 64

4.4.1 Hermite插值多项式 64

4.4.2 Hermite插值公式 65

4.4.3 Hermite插值公式的余项 67

4.5 分段(低次)插值法 70

4.5.1 高次插值的龙格现象 70

4.5.2 分段线性插值与分段二次插值 71

4.5.3 三次样条插值 72

4.6 曲线拟合的最小二乘法 78

4.6.1 最小二乘问题的提法 78

4.6.2 最小二乘解的求法 79

习题 82

5.1.1 逐步搜索法 86

5.1.2 二分法 86

第5章 方程求根 86

5.1 根的搜索 86

5.2 迭代法 89

5.2.1 迭代过程的收敛性 89

5.2.2 迭代公式的加工 95

5.3 牛顿法 99

5.3.1 牛顿公式 99

5.3.2 牛顿法的几何解释 99

5.3.3 牛顿法的局部收敛性 100

5.3.4 牛顿下山法 101

5.3.5 应用举例 103

5.4 弦截法与抛物线法 105

5.4.1 弦截法 106

5.4.2 抛物线法 108

5.5 代数方程求根 110

5.5.2 代数方程的牛顿法 111

5.5.1 多项式求值的秦九韶算法 111

5.5.3 劈因子法 112

习题 115

第6章 常微分方程初值问题的数值解法 116

6.1 欧拉方法 116

6.1.1 欧拉公式 116

6.1.2 后退的欧拉公式 118

6.1.3 梯形公式 121

6.1.4 改进的欧拉公式 122

6.1.5 欧拉两步公式 123

6.2 龙格--库塔方法 125

6.2.1 Taloy级数法 125

6.2.2 龙格--库塔法 126

6.2.3 二阶龙格--库塔公式 127

6.2.4 4阶龙格--库塔公式 128

6.3.1 单步法的收敛性 129

6.3 单步法的收敛性与稳定性 129

6.3.2 单步法的稳定性 131

习题 133

第7章 数值积分与数值微分 136

7.1 插值型数值积分公式 136

7.1.1 求积公式和它的代数精度 136

7.1.2 插值型数值积分公式 137

7.2 Newton-Cotes求积公式 138

7.2.1 Newton-Cotes求积公式 138

7.2.2 Newton-Cotes公式的稳定性 140

7.2.3 Newton-Cotes公式余项 141

7.3 复化求积公式与外推算法 143

7.3.1 复化求积法 143

7.3.2 变步长算法 146

7.3.3 Richardson外推算法 149

7.3.4 Romberg算法 150

7.4 样条插值积分 152

7.5 Gauss求积公式 153

7.5.1 Gauss求积公式 153

7.5.2 Gauss求积公式的收敛性与稳定性 155

7.5.3 带权的Gauss求积公式 157

7.6 数值微分 158

7.6.1 两点公式 159

7.6.2 三点公式 160

习题 162

第8章 简单偏微分方程的解法 165

8.1 典型偏微分方程 165

8.2 分离变量法 168

8.3 行波法 173

8.4 偏微分方程的差分解法 176

习题 180

参考文献 182