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第一章 绪论 1

1.1 CAGD的研究对象与核心问题 1

1.2 形状数学描述的发展主线 2

1.3 其他一些重要进展与趋向 4

1.4 对于形状数学描述的要求 7

小结 10

复习思考与练习 11

第二章 曲线和曲面的基本理论 12

2.1 CAGD中矢量、点与直线 12

2.2 曲线与曲面的参数表示 15

2.3 曲线论 18

2.3.1 曲线的表示 18

2.3.2 曲线的导矢 20

2.3.3 切触阶的概念 22

2.3.4 曲线论的基本公式、曲率与挠率 23

2.3.5 曲线的几何特征 26

2.4 曲面论 28

2.4.1 曲面表示 28

2.4.2 直纹面与可展曲面 29

2.4.3 曲面上的曲线和曲面的度量性质 30

2.4.4 曲面的曲率性质 31

2.5 曲线曲面的几何不变性 35

2.6 参数化与参数变换 38

小结 41

复习思考与练习 42

第三章 参数多项式插值与逼近 45

3.1 基本概念 45

3.1.1 插值与逼近 45

3.1.2 多项式基 46

3.1.3 数据点的参数化 46

3.2 多项式插值曲线 50

3.3 最小二乘逼近 53

3.4 弗格森参数三次曲线 55

3.4.1 参数三次曲线方程 56

3.4.2 参数三次曲线的几何特征 58

3.4.3 三次埃尔米特插值的域变换 62

3.5 张量积曲面 64

3.6 曲面数据点的参数化 67

3.7 参数双三次曲面片 69

小结 72

复习思考与练习 72

第四章 参数样条曲线曲面 75

4.1 参数连续性 75

4.2 C1分段三次埃尔米特插值 76

4.3 参数三次样条曲线 78

4.3.1 参数三次样条曲线的提出 78

4.3.2 三切矢方程 79

4.3.3 边界条件 80

4.3.4 计算插值 85

4.3.5 样条曲线计算举例 87

4.3.6 参数三次样条曲线的类型划分 89

4.3.7 参数三次样条曲线的性质 91

4.4 参数三次样条曲线的光顺性 92

4.4.1 曲线光顺性准则 92

4.4.2 光顺性分析 94

4.4.3 光顺问题处理 97

4.5 弗格森样条曲面 100

4.6 孔斯双三次样条曲面 102

4.7 参数双三次样条曲面 104

4.7.1 参数双三次样条曲面方程 104

4.7.2 求解未知偏导矢 104

4.7.3 计算插值 106

4.7.4 参数样条曲面的光顺性 109

小结 110

复习思考与练习 111

第五章 贝齐尔曲线曲面 114

5.1 贝齐尔曲线及其性质 115

5.1.1 贝齐尔曲线方程 115

5.1.2 伯恩斯坦基函数的性质 116

5.1.3 贝齐尔曲线的性质 118

5.2 贝齐尔曲线的线性运算 120

5.2.1 贝齐尔曲线的递推定义 120

5.2.2 贝齐尔曲线的导矢 124

5.2.3 贝齐尔曲线的分割 126

5.2.4 求点、导矢及分割的程序实现 126

5.2.5 贝齐尔曲线的任意分割 128

5.2.6 贝齐尔曲线的延拓 129

5.3 贝齐尔曲线的升阶与降阶 130

5.3.1 贝齐尔曲线的升阶 130

5.3.2 贝齐尔曲线的降阶 132

5.4 贝齐尔曲线计算举例 133

5.5 贝齐尔曲线的矩阵形式 135

5.6 计算曲线上点串的增量方法 137

5.7 贝齐尔曲线的几何特征 140

5.8 张量积贝齐尔曲面 143

5.8.1 张量积方法 143

5.8.2 德卡斯特里奥方法 145

5.8.3 贝齐尔曲面的性质 148

5.8.4 偏导矢与法矢 148

5.8.5 退化曲面片与平移曲面 150

5.8.6 分割与升阶 153

5.9 贝齐尔多边形与贝齐尔网格的确定 154

5.9.1 一般的贝齐尔曲线拟合 155

5.9.2 特殊的贝齐尔曲线拟合 156

5.9.3 一般的贝齐尔曲面拟合 158

5.9.4 拟球面 161

小结 162

复习思考与练习 163

第六章 几何连续性 166

6.1 参数连续的组合贝齐尔曲线 166

6.1.1 参数连续条件 166

6.1.2 C1二次与C2三次样条曲线 170

6.1.3 参数连续性问题初析 172

6.2 参数曲线的几何连续性 173

6.2.1 参数连续性问题再析与几何连续性的提出 173

6.2.2 几何连续的三次插值样条曲线 175

6.2.3 三次样条曲线光顺的新途径 177

6.2.4 参数曲线的几何连续性定义 178

6.3 几何连续的组合贝齐尔曲线 183

6.3.1 两贝齐尔曲线G2连续的几何关系 183

6.3.2 Gamma样条曲线 186

6.3.3 组合贝齐尔曲线的G2Beta约束 188

6.3.4 Beta样条曲线 189

6.3.5 挠率连续的组合贝齐尔曲线 190

6.4 参数曲面的几何连续性 195

6.4.1 曲面的参数连续性及其问题 195

6.4.2 参数曲面的几何连续性定义 197

6.4.3 两贝齐尔曲面的G1连接 199

6.4.4 带n面角点的贝齐尔曲面的G1连接 201

6.4.5 两贝齐尔曲面的G2连接 206

小结 208

复习思考与练习 209

第七章 B样条曲线曲面Ⅰ 211

7.1 B样条与B样条曲线的基本概念 211

7.1.1 B样条曲线方程及其与贝齐尔曲线的比较 211

7.1.2 B样条的递推定义及其性质 212

7.1.3 B样条曲线的局部性质与定义域 214

7.1.4 B样条曲线的其他一些性质 219

7.1.5 重节点对B样条与B样条曲线的影响 220

7.2 B样条曲线的类型划分 224

7.3 均匀B样条曲线 227

7.4 准均匀B样条曲线 230

7.5 分段贝齐尔曲线 233

7.6 非均匀B样条曲线 234

7.6.1 节点矢量的确定 234

7.6.2 B样条基及其导数计算 238

7.6.3 计算B样条曲线上点的德布尔算法 239

7.6.4 德布尔算法求B样条曲线的导矢 244

7.6.5 B样条曲线计算举例 245

7.6.6 B样条闭曲线与开曲线的统一表示 248

小结 251

复习思考与练习 251

第八章 B样条曲线曲面Ⅱ 254

8.1 反算B样条插值曲线的控制顶点 254

8.1.1 曲线反算的一般过程 254

8.1.2 三次B样条插值曲线节点矢量的确定 255

8.1.3 反算三次B样条插值曲线的控制顶点 256

8.1.4 与参数三次样条曲线的关系 260

8.2 插入节点 262

8.2.1 插入一个节点 262

8.2.2 重复插入同一节点 264

8.2.3 进一步的结论 266

8.3 B样条曲线的升阶 267

8.3.1 问题所在 267

8.3.2 普劳茨方法 268

8.3.3 科恩-利切-舒马克方法 272

8.4 B样条曲线的节点消去与降阶 273

8.5 B样条曲线的分裂与组合 274

8.5.1 B样条曲线的分裂 275

8.5.2 B样条曲线的组合 277

8.6 B样条曲线逼近 279

8.6.1 最小二乘曲线逼近 280

8.6.2 在规定精度内的曲线逼近 283

8.7 B样条曲面及其正算 284

8.7.1 B样条曲面方程及性质 284

8.7.2 B样条曲面的正算 285

8.8 B样条曲面的反算 288

8.8.1 曲面反算的一般过程 288

8.8.2 双三次B样条插值曲面的反算 289

8.9 蒙面法生成曲面 294

8.10 B样条曲面逼近 299

小结 302

复习思考与练习 303

CAGD大型程序作业 304

第九章 有理B样条曲线曲面Ⅰ 306

9.1 NURBS方法的提出及优缺点 306

9.2 三种等价的NURBS曲线方程 310

9.2.1 有理分式表示 310

9.2.2 有理基函数表示 310

9.2.3 齐次坐标表示 312

9.2.4 三种等价的NURBS曲线方程比较 314

9.3 权因子对NURBS曲线形状的影响 315

9.3.1 投影变换中的交比 315

9.3.2 权因子的几何意义与影响 317

9.4 有理一次贝齐尔曲线 319

9.4.1 有理一次贝齐尔曲线方程 319

9.4.2 权因子与参数化 320

9.5 二次曲线弧的有理贝齐尔表示 321

9.5.1 二次曲线的隐方程表示 321

9.5.2 二次曲线弧的有理贝齐尔形式的导出 322

9.5.3 权因子与参数化的关系 324

9.5.4 有理二次贝齐尔曲线的递推定义与几何作图 327

9.5.5 与权因子变换对参数化有同样影响的参数变换 329

9.5.6 有理二次贝齐尔曲线的形状分类 332

9.5.7 负权因子对有理二次贝齐尔曲线的影响 335

9.6 反求标准型有理二次贝齐尔曲线的参数与权因子 338

9.7 无限远控制顶点及其应用 340

小结 343

复习思考与练习 343

第十章 有理B样条曲线曲面Ⅱ 346

10.1 各种圆弧的二次NURBS表示 346

10.1.1 对圆弧NURBS表示的要求 347

10.1.2 有理二次贝齐尔曲线的插入节点 348

10.1.3 90°<|θ|≤180°圆弧的二次NURBS表示 350

10.1.4 整圆(|θ|=360°)的二次NURBS表示 353

10.1.5 180°<|θ|≤360°圆弧的二次NURBS表示 354

10.2 各种二次曲线弧的二次NURBS表示 358

10.2.1 圆弧经仿射变换得到椭圆弧 359

10.2.2 有理二次贝齐尔曲线的固定切向分割 361

10.2.3 180°<|θ|≤360°椭圆弧的二次NURBS表示 364

10.2.4 整圆与整椭圆二次NURBS的讨论 367

10.3 有理三次贝齐尔曲线 368

10.3.1 有理三次贝齐尔曲线的肩点与形状因子 369

10.3.2 有理三次贝齐尔曲线的渐近方向 371

10.3.3 有理三次贝齐尔曲线的特殊形式 372

10.3.4 圆弧的有理三次贝齐尔表示与三次NURBS表示 375

10.4 有理n次贝齐尔曲线 382

10.4.1 有理德卡斯特里奥算法 382

10.4.2 分割、插入节点与升阶 384

10.4.3 有理贝齐尔曲线的几何作图 386

10.4.4 有理n次贝齐尔曲线的权因子变换与参数变换 388

10.4.5 有理贝齐尔曲线的形状修改 391

10.4.6 导矢计算 393

小结 394

复习思考与练习 395

第十一章 有理B样条曲线曲面Ⅲ 398

11.1 有理参数曲线的连续性 398

11.1.1 有理参数连续性约束 399

11.1.2 有理几何连续性约束 402

11.1.3 弗朗内特标架连续性 403

11.1.4 有理弗朗内特标架连续性约束 404

11.2 几何连续的有理样条曲线 405

11.2.1 曲率连续有理二次样条曲线 406

11.2.2 有理几何样条预备知识 409

11.2.3 曲率连续有理三次样条曲线 412

11.2.4 挠率连续有理四次样条曲线 414

11.3 有理插值 417

11.3.1 整体有理插值 417

11.3.2 局部有理插值 419

11.4 一般NURBS曲线及其计算 421

11.5 NURBS曲线的形状修改 425

11.5.1 重新定位控制顶点 425

11.5.2 反插节点 426

11.5.3 重新确定权因子 428

11.5.4 同时改变两个权因子的推拉 429

11.5.5 对界定曲线部分的修改 430

小结 431

复习思考与练习 432

第十二章 有理B样条曲线曲面Ⅳ 435

12.1 NURBS曲面方程及其性质 435

12.1.1 NURBS曲面方程 435

12.1.2 NURBS曲面的性质 436

12.1.3 曲面权因子的几何意义 437

12.2 常用曲面的NURBS表示 438

12.2.1 一般柱面 438

12.2.2 平面、圆柱面与圆锥面 439

12.2.3 旋转面 440

12.3 一般直纹面与蒙面法 443

12.4 NURBS曲面的计算 446

12.5 NURBS曲面的形状修改 447

12.5.1 NURBS曲面形状修改的提出与要求 447

12.5.2 用于曲面的反插节点 448

12.5.3 重新确定NURBS曲面的权因子 449

12.5.4 重新定位曲面控制顶点 451

12.5.5 对界定曲面部分的修改 451

小结 454

复习思考与练习 455

第十三章 孔斯曲面 456

13.1 双线性混合孔斯曲面片 456

13.2 局部双三次混合孔斯曲面片 459

13.3 双三次混合孔斯曲面片 460

13.3.1 双三次混合孔斯曲面片的生成 460

13.3.2 扭矢估计 461

13.3.3 扭矢相容性 462

13.3.4 跨界切矢的确定 463

13.4 孔斯曲面片的控制网格 464

13.5 戈登曲面 467

小结 472

复习思考与练习 473

第十四章 三边贝齐尔曲面片 474

14.1 三边贝齐尔曲面片的表示 474

14.1.1 重心坐标 474

14.1.2 三角域上的伯恩斯坦基 476

14.1.3 三边贝齐尔曲面片的方程 478

14.2 德卡斯特里奥算法 479

14.2.1 递推算法与几何作图 479

14.2.2 曲面片的分割 481

14.3 三边贝齐尔曲面片的升阶 482

14.4 求方向导矢 482

14.5 组合三边贝齐尔曲面片的连续性 483

14.5.1 参数连续性 483

14.5.2 几何连续性 485

14.6 球面片的有理三边贝齐尔表示 486

小结 490

复习思考与练习 490

结束语 492

附录 CAGD NURBS辅助教学与研究两用软件简介 494

参考文献 497