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第一章 线性空间与线性映射 1

1.1 线性空间的基本概念 1

1.2 线性组合、线性相关与线性无关 4

1.3 线性空间的维数与基 9

1.4 子空间的运算 12

1.5 子空间的直接和 16

1.6 有限维线性空间的同构 22

1.7 线性映射与矩阵 24

1.8 子空间的线性映射 27

1.9 可逆线性变换 32

1.10 初等变换矩阵 35

1.11 矩阵的列空间R(A)与秩rank(A) 37

1.12 化零空间N(A)与线性方程组理论 42

1.13 问题与习题 46

第二章 多项式与多项式矩阵 49

2.1 线性代数 49

2.2 多项式环与Euclide除法 53

2.3 多项式函数 57

2.4 多项式理想 60

2.5 多项式的因式分解 63

2.6 多项式矩阵 68

2.7 单模态矩阵与多项式矩阵的Srnith标准形 72

2.8 初等因子 78

2.9 多项式矩阵的理想与互质 82

2.10 一般多项式矩阵的互质问题 86

2.11 问题与习题 90

第三章 线性变换 95

3.1 特征值问题 95

3.2 相似化简、相似条件与自然法式 100

3.3 C？与R？中的Jordan形 106

3.4 Jordan标准形的讨论 111

3.5 商空间 117

3.6 正则投影与诱导映射 120

3.7 最小多项式与空间第一分解定理 124

3.8 循环不变子空间与空间第二分解定理 128

3.9 循环指数与循环子空间的条件 134

3.10 空间第三分解定理与生成元的性质 141

3.11 P=C的情形 144

3.12 问题与习题 147

第四章 二次型、酉空间与酉空间上的线性变换 155

4.1 二次型及对称矩阵 155

4.2 Hecmite矩阵与正定矩阵 159

4.3 内积、酉空间与欧氏空间 165

4.4 正交与正交投影 168

4.5 酉变换与酉相似化简 173

4.6 可酉对角化矩阵(正规矩阵) 177

4.7 R？中的正规矩阵 184

4.8 可交换矩阵的谱 189

4.9 Hermite矩阵的特征值与Raylcigh商 191

4.10 Hermite矩阵特征值的摄动定理 195

4.11 适优序列、双和一矩阵及其应用 199

4.12 子空间套与特征值不等式 205

4.13 正则矩阵束的特征值问题 211

4.14 <A，B>？的特征值摄动 214

4.15 问题与习题 219

第五章 范数、凸性与范数的应用 224

5.1 向量范数与向量范数系 224

5.2 凸集合与e.s.c范数 230

5.3 凸集合的分离定理 236

5.4 矩阵范数 240

5.5 算子范数 243

5.6 谱半径ρ(A) 248

5.7 Gerschgorin定理与ρ(A)的近似估计 252

5.8 矩阵序列的极限与极限法则 255

5.9 A-1的连续性与方程组的摄动理论 259

5.10 正定矩阵的正定平方根 264

5.11 问题与习题 269

第六章 投影算子与广义逆矩阵A+ 273

6.1 投影算子与可对角化矩阵的谱展开 273

6.2 投影算子的运算 279

6.3 广义逆分类与A{1} 281

6.4 A+的存在与构造 286

6.5 广义逆矩阵类与矩阵方程 289

6.6 按投影要求子空间的{1}广义逆 294

6.7 受约束的广义逆与Bott-Duffin逆 300

6.8 分块矩阵的广义逆 304

6.9 线性流形的描述及其交 307

6.10 线性并行方程组的公共解与分块广义逆 312

6.11 问题与习题 316

第七章 矩阵函数及其应用 322

7.1 一般矩阵按根子空间的展开与矩阵函数 322

7.2 用矩阵多项式定义矩阵函数 326

7.3 Lagrange-Sylvester插值多项式的应用 330

7.4 矩阵幂级数 335

7.5 矩阵解析函数的复变积分表示 341

7.6 矩阵对数与极展开 345

7.7 矩阵指数应用Ⅰ--稳定性理论 349

7.8 矩阵指数应用Ⅱ--可控性与可观测性 353

7.9 可控性的本质 358

7.10 问题与习题 363

第八章 方阵的谱广义逆与矩阵的奇值 365

8.1 群逆A？及其性质 365

8.2 具Hermite域的线性变换 368

8.3 方阵的谱逆与群逆的谱特性 370

8.4 矩阵的Drazin逆 373

8.5 A？与A+的进一步讨论 378

8.6 矩阵的奇值 383

8.7 矩阵的UDVH分解、奇值分解与应用 386

8.8 奇值分解的一个应用--矩阵逼近 389

8.9 奇值摄动 395

8.10 次酉矩阵 398

8.11 极展开及其应用 400

8.12 压缩映射与正规次酉映射 404

8.13 问题与习题 408

第九章 最小化问题 411

9.1 最小二乘解问题及其基本理论结果 411

9.2 最小范数解 414

9.3 具线性等式约束的LS问题(LSE) 416

9.4 加权最小化问题 419

9.5 加权广义逆及其特性 423

9.6 凸约束下的LS问题 426

9.7 受一次不等式约束的LS问题(LSI) 430

9.8 具二次约束的最小二乘解问题(LSQ) 433

9.9 LSQ问题的唯一性条件与解的结构 437

9.10 LSQ问题解的存在性与方法解 441

9.11 问题与习题 446

第十章 消元算术及其应用 448

10.1 消元矩阵与Gauss消元过程 448

10.2 Sylvester恒等式与Hankel矩阵 452

10.3 用Gauss消元求解方程组 458

10.4 矩阵的三角形分解与求逆 463

10.5 Hermite矩阵的消元与应用--惯性指数 468

10.6 Hermite矩阵的三角形分解 475

10.7 带状矩阵的分解 478

10.8 全主元素Gauss消元 482

10.9 行主元素与Gauss-Jordan消元 487

10.10 用Gauss消元进行相似化简 491

10.11 块状矩阵消元与一些恒等式 495

10.12 问题与习题 498

第十一章 正交三角化过程与解LS问题 501

11.1 QR、QL分解与标准正交化过程 501

11.2 Givens转动与Housebolder变换 504

11.3 Givens转动与Householder变换的讨论 507

11.4 矩阵的正交三角化 513

11.5 用Householder变换解LS问题 520

11.6 求解LS问题的其它方法 523

11.7 NNLS问题的求解 527

11.8 LDP问题的解法 532

11.9 LSQ问题的解法 536

11.10 问题与习题 540

第十二章 矩阵的正交相似化简与特征值计算 542

12.1 矩阵的Hessenberg化与三对角化 542

12.2 三对角化过程中Householder变换的累积 546

12.3 三对角对称矩阵的Sturm组 549

12.4 三对角对称矩阵特征值的反问题 553

12.5 LR算术 558

12.6 QR(QL)迭代算术 563

12.7 三对角对称矩阵的QR算术及总体渐近二次收敛 568

12.8 利用QR迭代计算奇值分解 577

12.9 Jacobi转动迭代 585

12.10 求个别特征值的迭代方法 589

12.11 实对称矩阵的并行正交迭代 593

12.12 广义特征值的计算 598

12.13 问题与习题 602

第十三章 稳定性分析与Ляпунов第二方法 606

13.1 矩阵的Kronecker积 606

13.2 线性矩阵方程 609

13.3 A？Ln+Lm?T的谱及其应用 613

13.4 Ляпунов稳定性与矩阵方程 615

13.5 Hurwitz多项式 621

13.6 Cauchy指数与Sturm组 626

13.7 任意有理函数Cauchy指数的确定 631

13.8 Hurwitz-Routh定理及其讨论 641

13.9 Ляпунов方程解的高维新公式 648

13.10 求解Ляпунов方程的其它方法 658

13.11 系统的可镇定与极点配置 662

13.12 二次型最优与Bellman方程 668

13.13 Bellman方程与矩阵代数Riccati方程的解 671

13.14 离散线性系统 676

13.15 离散Ляпунов方程的解 681

13.16 问题与习题 682

第十四章 多项式矩阵与有理函数矩阵 687

14.1 多项式方阵的行列式 687

14.2 具互质行列式的多项式矩阵与多项式矩阵方程 692

14.3 有理函数矩阵及仿分式分解 700

14.4 系统矩阵与系统的等价类 706

14.5 多项式矩阵互质与系统的实现理论 712

14.6 G(λ)的状态空间实现(A，B，C) 717

14.7 左右互质与可控可观测 724

14.8 串联、并联与阶次 727

14.9 系统的零极点相消、解耦零点与G(λ)的零极点 731

14.10 平行Hermite矩阵的谱分解 736

14.11 正实有理函数矩阵与实现理论 743

14.12 问题与习题 751

附录Ⅰ 755

附录Ⅱ 762

参考文献 764