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第一章 基本知识 1

1.1 集 1

1.集的概念 1

2.集的表示法 2

3.两个集的关系 3

4.集的运算 6

5.集的运算性质 9

练习一 12

1.自然数列 13

1.2 自然数列与数学归纳法 13

2.第一数学归纳法 14

3.第二数学归纳法 18

练习二 21

1.3 整数的整除性 21

1.整数除法 21

2.最大公约数与最小公倍数 23

3.基本性质 28

练习三 30

1.4 整数的因数分解 31

2.整数的因数分解 32

1.合数与素数 32

3.用标准分解求H.C.F.和L.C.M 35

练习四 37

1.5 复数 37

1.复数的概念和运算 37

2.共轭复数 38

3.复数的n次方根 39

练习五 43

1.6 有序数域 44

1.数环与数域 44

2.有序数域 45

练习六 48

小结 48

习题一 49

第二章 多项式 51

2.1 一元多项式的概念 51

1.一元多项式 51

2.多项式的运算 52

练习一 54

2.2 多项式的除法 55

1.整除的概念和性质 55

2.带余式除法 57

练习二 60

2.3 最高公因式 61

1.最高公因式 61

2.最高公因式的基本性质 66

3.最高公因式概念的推广 70

练习三 71

2.1 多项式的因式分解 72

1.不可约多项式 72

2.多项式的因式分解 74

3.重因式 77

练习四 81

2.5 多项式函数 82

1.多项式的值 82

2.多项式的根 86

练习五 88

2.6 复数域、实数域和有理数域上的多项式 89

1.复数域和实数域上的多项式 89

2.有理数域上的多项式的可约性 93

3.有理数域上的多项式的有理根求法 98

练习六 102

1.多元多项式的概念 103

2.多项式恒等定理 103

2.7 多元多项式 103

3.对称多项式 106

练习七 109

小结 110

习题二 111

第三章 行列式 114

3.1 二、三阶行列式 114

练习一 121

3.2 排列 122

练习二 127

3.3 n阶行列式的定义 128

练习三 138

3.4 行列式的基本性质 140

练习四 156

3.5 行列式按某一行(或列)展开 159

练习五 175

3.6 拉普拉斯(Laplace)定理，行列式相乘规则 176

练习六 184

3.7 克莱姆(Carmer)规则 186

练习七 193

小结 194

习题三 202

第四章 矩阵 205

4.1 矩阵及其运算 206

1.矩阵的概念 206

2.几种特殊的矩阵 208

3.矩阵的运算 209

4.矩阵运算的规律 218

5.矩阵的分块 223

练习一 229

4.2 矩阵的秩 232

练习二 236

4.3 矩阵的初等变换 237

练习三 260

4.4 逆矩阵 262

练习四 276

小结 277

习题四 278

第五章 一般线性方程组 283

5.1 线性方程组有解的判定条件 283

练习一 298

5.2 向量的线性关系 301

1.n维向量空间 301

2.向量的线性关系 304

3.向量组的秩 315

练习二 324

5.3 线性方程组的解 326

1.齐次线性方程组的基础解系 326

2.一般线性方程组的解 332

小结 341

习题五 345

第六章 二次型 347

练习三 348

6.1 一般二次型的标准形 348

1.二次型的基本概念 348

2.二次型化为标准形的方法 356

练习一 369

6.2 复与实二次型的分类 369

1.复数域上二次型的分类 370

2.实数域上二次型的分类 372

练习二 376

6.3 正定二次型 377

练习三 382

小结 382

习题六 383

1.线性空间的定义 385

7.1 线性空间的概念 385

第七章 线性空间 385

2.关于零向量和负向量的性质 389

3.基、维数、坐标 391

4.线性子空间 394

练习一 395

7.2 基的变换与向量的坐标变换 396

1.平面直角坐标系的旋转 396

2.一般基的变换 399

练习二 404

1.欧氏空间的概念 405

7.3 欧氏空间 405

2.标准正交基 410

练习三 414

小结 415

习题七 416

第八章 线性变换 418

8.1 映射的概念 418

1.映射 418

2.映射的乘法 420

3.线性空间的同构 422

练习一 424

1.线性变换的概念 425

8.2 线性变换 425

2.线性变换的性质 427

练习二 430

8.3 线性变换的矩阵 430

1.线性变换的矩阵表示 430

2.矩阵的相似 436

练习三 441

8.4 特征值与特征向量 443

1.特征值 443

2.特征多项式 445

练习四 449

8.5 对角矩阵 450

练习五 455

8.6 欧氏空间中的二次型 456

1.正交变换 456

2.实对称矩阵的几个性质 460

3.直角坐标系中二次曲线的化简与分类 467

练习六 472

小结 473

习题八 474

习题答案及提示 475