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第1篇 高等数学 1

1.1函数 1

1.1.1求两类函数的表达式 1

题型一 已知一函数求其反函数的表达式 1

题型二 求分段函数的复合函数表达式 1

1.1.2函数的奇偶性 3

题型一 判别（证明）几类函数的奇偶性 3

题型二奇、偶函数性质的应用 5

1.1.3判别（证明）函数的周期性 6

1.1.4判定函数的有界性 8

题型一 判定在有限开区间内连续函数的有界性 8

题型二 判定无穷区间内连续函数的有界性 9

题型三 判定分段连续函数的有界性 9

习题1.1 10

1.2极限、连续 12

1.2.1极限的概念与基本性质 12

题型一 正确理解极限定义中的“ε-N”、“ε-δ”、“ε-X”语言的含义 12

题型二 正确区别无穷大量与无界变量 12

题型三 正确运用极限的保序性、保号性 14

题型四 正确运用极限的四则运算法则及夹逼准则求极限 15

题型五 正确理解乘积极限的存在性 15

题型六 正确理解复合函数极限的存在性 16

1.2.2求未定式极限 17

题型一求0／0型或∞／∞型极限 17

题型二求0.∞型极限 20

题型三求∞—∞型极限 21

题型四 求幂指函数型（00型，∞0型，1∞型）极限 21

1.2.3求数列极限 24

题型一 求无穷多项和的极限 24

题型二 求无穷多项积的极限 27

题型三 求有限项之和或之积的数列极限 27

题型四 求由递推关系式给出的数列的极限 28

1.2.4求几类子函数形式特殊的函数极限 29

题型一 求须先考察左、右极限的函数极限 29

题型二 求含根式差的函数极限 31

题型三 求含指数函数和（或差）的函数极限 31

题型四 求含lnf（x）的函数极限，其中limx→□f （x）＝1 32

题型五 求含有界变量因式的函数极限 32

题型六 求含取整函数的函数极限 33

1.2.5计算极限的两类综合题 33

题型一 由含未知函数的一（些）极限，求含该函数的另一极限 33

题型二 计算需用多个知识点求出的极限 34

1.2.6已知极限式的极限求其待定常数 35

题型一 求有理函数极限式中的待定常数 35

题型二 确定分式函数极限式中的待定常数 36

题型三 求含变项积分的极限式中的待定常数 38

题型四求∞±∞型的根式极限式中的待定常数 40

1.2.7比较和确定无穷小量的阶 40

题型一 比较无穷小量的阶 42

题型二 确定无穷小量的阶数 43

1.2.8讨论函数的连续性及间断点的类型 44

题型一 判断函数的连续性 44

题型二 求函数的间断点并判断其类型 48

1.2.9连续函数性质的两点应用 50

题型一 证明中值等式命题 50

题型二 证明方程实根的存在性 52

习题1.2 53

1.3一元函数微分学 57

1.3.1导数定义的两点应用 57

题型一 判断函数在某点的可导性 57

题型二 求分式函数的极限 61

题型三 讨论函数性质 62

1.3.2讨论分段函数的可导性及其导函数的连续性 63

题型一 讨论分段函数的可导性 63

题型二 讨论分段函数导函数的连续性 66

题型三 讨论某类特殊分段函数的连续性、可导性及其导函数的连续性 66

1.3.3讨论含绝对值函数的可导性 67

题型一 讨论|f（x） |的可导性 67

题型二 讨论f（x） ＝ |？（x）|g（x）的可导性 68

1.3.4求一元函数的导数和微分 69

题型一 求复合函数的一阶与二阶导数 69

题型二 求反函数的导数 70

题型三 求隐函数的导数 71

题型四 求由参数式确定的函数的导数 73

题型五 求分段函数的导数 74

题型六 求幂指函数f （x） g（x）的导数 74

题型七 求高阶导数 75

题型八 求一元函数的微分 77

1.3.5利用连续性、可导性确定待定常数 79

题型一 利用连续性确定待定常数 79

题型二 根据可导性确定待定常数 81

1.3.6利用微分中值定理的条件及其结论解题 82

1.3.7利用罗尔定理证明中值等式 84

题型一 证明存在ξ∈ （a， b），使cf′（ξ）＝bg′（ξ），其中c，b为常数 85

题型二 证明存在ξ∈ （a，b），使g（ξ）f′（ξ）＋h（ξ）f（ξ）＝Q（ξ） 85

题型三 证明存在ξ∈ （a， b），使f（ξ）g′(ξ）＋f′（ξ）g（ξ）＝0 86

题型四 证明存在ξ∈ （a， b），使f′（ξ）g（ξ）—f（ξ）g′（ξ）＝0 86

题型五 证明存在ξ∈ （a，b），使f′（ξ）＋g′（ξ）f（ξ）＝0 87

题型六 证明存在ξ∈ （a，b），使nf（ξ）＋ξf′（ξ）＝0（n为正整数） 87

题型七 证明存在ξ∈ （a， b），使G（ξ）＝0 87

题型八 证明存在ξ∈ （a， b），使f′（ξ）＋g′（ξ）［f（ξ）—bξ］＝b 88

题型九 证明含两端点（及其函数值）的中值等式 89

题型十 已知函数在区间端点的值相等，证明与该函数有关的中值等式 89

题型十一 证明题设中有定积分等式的中值等式 90

题型十二 证明存在ξ∈（a，b），使F（k）（ξ）＝0（k≥2） 9

1.3.8拉格朗日中值定理的应用 92

题型一 证明与函数差值（改变量）有关的中值（不）等式 92

题型二 证明函数与其导函数的关系 93

题型三 求解与函数差值有关的问题 96

题型四 求中值的极限位置 96

1.3.9利用柯西中值定理证明中值等式 97

题型一 证明两函数差值（增量）比的中值等式 97

题型二 证明两函数导数比的中值等式 98

1.3.10证明多个中值所满足的中值等式 99

1.3.11泰勒定理的几点应用 101

题型一 求函数的泰勒展开式 101

题型二 求极限 102

题型三 证明含高阶导函数的中值命题 103

题型四 证明不等式 104

题型五 求在同一点不同阶的导数值 106

1.3.12利用导数证明不等式 106

题型一 证明与函数改变量有关的不等式 107

题型二 已知F（a）≥0（或F（b）≥0），证明x＞a（或x＜b）时F（x）＞0 107

题型三 证明含常数加项的不等式 110

题型四 证明含两个变量（常数）的函数（常值）不等式 111

1.3.13讨论函数性态 112

题型一 证明函数在某区间上是常数 112

题型二 证明（判别）函数的单调性 113

题型三 利用极限式讨论函数是否取得极值 114

题型四 利用方程讨论函数是否取极值，其曲线是否有拐点 115

题型五 利用导数不等式讨论函数是否取极值，其曲线是否有拐点 116

题型六 利用极值点或拐点讨论函数性质 117

题型七 求曲线的凹凸区间与拐点 118

题型八 求函数的单调区间、极值、最值 120

题型九 求曲线的渐近线 122

1.3.14函数性态与函数图形 124

题型一 利用函数性态作函数图形 124

题型二 已知函数图形，确定函数或其导函数性质（或图形） 126

题型三 已知导函数图形，确定原来函数的性态 127

1.3.15利用函数性态讨论方程的根 128

题型一 讨论不含参数的方程实根的存在性及其个数 128

题型二 讨论含参数的方程实根的存在性及其个数 128

题型三 已知方程根的个数，求其参数的取值范围 130

1.3.16一元函数微分学的几何应用 131

题型一 求平面曲线的切线方程和法线方程 131

题型二 求解与切线在坐标轴上的截距有关的问题 133

题型三 求解与两曲线相切的有关问题 134

题型四 求解与平面曲线的曲率有关的问题 134

习题1.3 135

1.4一元函数积分学 139

1.4.1原函数与不定积分的关系 139

题型一 已知某函数，求其原函数 139

题型二 已知某函数的原函数，求该函数 140

1.4.2计算不定积分 141

题型一 计算被积函数仅为一类或为两类不同函数的不定积分 141

题型二 计算简单无理函数的不定积分 142

题型三求？dx，其中k≠1为正实数 145

题型四求？ 146

题型五 求被积函数的分母为两函数乘积，且其差为常数的不定积分 148

题型六 求三角函数的不定积分 148

题型七 求被积函数含反三角函数的积分 149

1.4.3利用定积分性质计算定积分 150

题型一 利用其几何意义计算定积分 150

题型二 计算对称区间上的定积分 151

题型三 计算周期函数的定积分 152

题型四 利用定积分的常用计算公式求定积分 152

题型五 计算被积函数含函数导数或已知其导数的函数的积分 154

题型六 比较和估计定积分的大小 155

题型七 求解含积分值为常数的函数方程 156

题型八 计算几类需分子区间积分的定积分 156

题型九 计算含参数的定积分 159

题型十 求需换元计算的定积分 160

题型十一 求连续函数定积分的极限 161

1.4.4求解与变限积分有关的问题 163

题型一 计算含变限积分的极限 163

题型二 求变限积分的导数 165

题型三 求变限积分的定积分 167

题型四 讨论变限积分函数的性态 168

1.4.5证明定积分等式 170

题型一 证明定积分的变换公式 170

题型二 证明定积分的中值等式 172

1.4.6证明积分不等式 173

题型一 证明积分限相等时不等式两端成为零的积分不等式 173

题型二 证明函数及其导函数所满足的积分不等式 174

题型三 证明？≤k（或≥k），k为常数 175

题型四 证明题设中有二阶导数大（或小）于等于零的定积分不等式 176

1.4.7计算反常积分 177

题型一 计算无穷区间上的反常积分 177

题型二 判别？与？的敛散性 180

题型三 计算无界函数的反常积分 180

题型四 判别？与？的敛散性 183

题型五 判别混合型反常积分的敛散性 183

1.4.8定积分的应用 184

题型一 已知曲线方程，求其所围平面图形的面积 184

题型二 已知曲线所围平面图形的面积（或其旋转体体积）反求该曲线 187

题型三 计算旋转体体积 187

题型四 计算旋转体的侧（表）面积 189

题型五 计算平行截面面积已知的立体体积 190

题型六 计算平面曲线的弧长 191

题型七 求解几何应用与最值问题相结合的应用题 192

题型八 用定积分计算质心（质量中心） 195

题型九 计算物体沿直线所做的功 196

题型十 计算压力与引力 197

题型十一 求函数在区间上的平均值 200

习题1.4 200

1.5多元函数微分学 204

1.5.1二（多）元函数微分学中的几个概念 204

题型一 依定义判别二元函数在某点是否连续、可偏导及可微 204

题型二 讨论二元函数连续、可偏导及可微之间的关系 207

1.5.2计算偏导数和全微分 208

题型一 利用隐函数存在定理确定隐函数 208

题型二 计算显函数的偏导数 208

题型三 求抽象复合函数的偏导数 209

题型四 计算隐函数的偏导数 214

题型五 作变量代换将偏导数满足的方程变形 216

题型六 求二元函数的全微分 217

1.5.3多元函数微分学的应用 218

题型一 求二元函数的极值 218

题型二 求二（多）元函数的条件极值 220

题型三 求二（多）元函数的最值 222

习题1.5 224

1.6二重积分 226

1.6.1利用二重积分性质求解与二重积分有关的问题 226

1.6.2交换积分次序及转换二（累）次积分 228

题型一 交换二（累）次积分的积分次序 228

题型二 转换二（累）次积分 229

1.6.3用直角坐标系计算二重积分 230

题型一 计算需根据积分区域选择积分次序的二重积分 231

题型二 计算需根据被积函数选择积分次序的二重积分 231

题型三 计算积分区域具有对称性、被积函数具有奇偶性的二重积分 233

题型四 计算积分区域关于直线y＝x对称的二重积分 236

题型五 分块计算二重积分 238

题型六 计算无界区域上较简单的二重积分 241

1.6.4用极坐标系计算二重积分 241

题型一 计算圆域x2＋y2≤a（a＞0）上的二重积分 242

题型二 计算圆域x2＋y2≤2ax（a＞0）上的二重积分 242

题型三 计算圆域x2＋y2≤—2ax（a＞0）上的二重积分 243

题型四 计算圆域x2＋y2≤2by（b＞0）上的二重积分 243

题型五 计算圆域x2＋y2≤—2by（b＞0）上的二重积分 244

题型六 计算圆域x2＋y2≤2ax＋2by＋c（a，b＞0）上的二重积分 245

题型七 计算两圆域公共部分上的二重积分 246

1.6.5求含二重积分的极限 247

习题1.6 248

1.7常微分方程 251

1.7.1求解一阶线性微分方程 251

题型一 求解可分离变量的微分方程 251

题型二 求解齐次微分方程 252

题型三 求解一阶线性微分方程 252

题型四 求解几类可化为一阶线性方程的方程 254

题型五 求解由自变量与因变量的两增量关系给出的一阶方程 256

题型六 求满足某种性质的一阶线性方程的特解 256

1.7.2求解线性微分方程 258

题型一 利用线性微分方程解的结构和性质求解有关问题 258

题型二 求解几类可降阶的高阶微分方程 259

题型三 求解常系数齐次线性方程 261

题型四 求解二阶常系数非齐次线性方程 262

题型五 求解欧拉方程 267

题型六 求解含变限积分的方程 268

1.7.3已知特解反求其常系数线性方程 268

题型一 已知其特解，反求该齐次方程 268

题型二 已知其特解，反求该非齐次方程 269

1.7.4求解微分方程在几何与物理学上的简单应用题 271

题型一 已知某曲线所围图形的几何量所满足的关系，反求该曲线 271

题型二 求解与物理量有关的简单应用问题 272

习题1.7 276

第2篇 线性代数 279

2.1计算行列式 279

2.1.1计算几类数字型行列式 279

题型一 计算非零元素（主要）在一条或两条对角线上的行列式 279

题型二 计算非零元素在三条线上的行列式 282

题型三 计算行（列）和相等的行列式 283

题型四 计算范德蒙行列式 284

题型五 求代数余子式之和的值 285

题型六 求行列式中含某因子的所有项 287

题型七 计算三阶行列式 287

2.1.2计算抽象矩阵的行列式 288

题型一 求由行（列）向量表示的矩阵的行列式的值 288

题型二 计算与伴随矩阵有关的矩阵行列式 289

题型三 求满足矩阵方程的某矩阵行列式之值 289

题型四 已知某矩阵行列式的值，求相关联矩阵的行列式的值 290

题型五 计算含零子块的四分块矩阵的行列式 291

题型六 证明方阵的行列式等于零或不等于零 292

题型七 利用特征值计算矩阵行列式 293

2.1.3克莱姆法则的应用 293

习题2.1 295

2.2矩阵 298

2.2.1证明矩阵的可逆性 298

题型一 已知一矩阵等式，证明有关矩阵可逆，并求其逆矩阵 298

题型二 证明矩阵A可逆，且A-1＝B 300

题型三 证明和（差）矩阵可逆 301

题型四 求矩阵的逆矩阵，该矩阵含一（些）矩阵的逆矩阵 301

题型五 证明方阵为不可逆矩阵 302

2.2.2矩阵元素给定，求其逆矩阵的方法 302

2.2.3求解与伴随矩阵有关的问题 304

题型一 计算与伴随矩阵有关的矩阵行列式（参阅2.1.2节题型二） 305

题型二 求与伴随矩阵有关的矩阵的逆矩阵 306

题型三 求与伴随矩阵有关的矩阵的秩 307

题型四 求伴随矩阵 307

2.2.4计算n阶矩阵的高次幂 309

题型一 计算能分解为一列向量与一行向量相乘的矩阵的高次幂 309

题型二 计算能相似对角化的矩阵的高次幂 310

题型三 计算能分解为两个可交换矩阵之和的矩阵的高次幂 311

题型四 计算其平方等于原矩阵或单位矩阵倍数的矩阵高次幂 311

2.2.5求矩阵的秩 313

题型一 求元素具体给定的矩阵的秩 313

题型二 求抽象矩阵的秩 314

题型三 已知矩阵的秩，求其待定常数 316

2.2.6分块矩阵乘法运算的应用举例 316

2.2.7求解矩阵方程 318

题型一 求解含单位矩阵加项的矩阵方程 319

题型二 求解只含一个未知矩阵的矩阵方程 320

题型三 求解含多个未知矩阵的矩阵方程 321

题型四 求与已知矩阵可交换的所有矩阵 323

2.2.8初等变换与初等矩阵关系的应用 324

题型一 用初等矩阵表示相应的初等变换 324

题型二 利用初等矩阵逆矩阵的性质计算矩阵 325

2.2.9判别两同型矩阵等价的有关问题 327

习题2.2 328

2.3向量 332

2.3.1判别向量组线性相关、线性无关 332

题型一 用线性相关性定义做选择题和填空题 332

题型二 判别分量已知的向量组的线性相关性 333

题型三 证明几类向量组的线性相关性 334

题型四 已知向量组的线性相关性，求其待定常数 340

2.3.2判定一向量能否由向量组线性表示 341

题型一 判定分量已知的向量能否由向量组线性表示 341

题型二 判定一抽象向量能否由向量组线性表出 342

题型三 判定一向量组能否由另一向量组线性表示 343

2.3.3两向量组等价的常用证法 345

2.3.4向量组的秩与极大无关组 348

题型一 求分量给出的向量组的秩及其极大无关组 348

题型二 将向量用极大无关组线性表示 349

题型三证明与抽象向量组的秩有关的问题 350

题型四 证一向量组为一极大无关组 351

2.3.5已知一向量（组）线性表示情况，求其所含待定常数 352

2.3.6将线性无关向量组正交规范化 355

习题2.3 356

2.4线性方程组 359

2.4.1判定线性方程组解的情况 359

题型一 判定齐次线性方程组解的情况 359

题型二 判定非齐次线性方程组解的情况 361

2.4.2由其解反求方程组或其参数 363

题型一 已知AX＝ 0的解的情况，反求A中参数 363

题型二 已知AX＝ b的解的情况，反求方程组中的参数 364

题型三 已知其基础解系，求该方程组的系数矩阵 365

2.4.3证明一组向量为基础解系的常用方法 366

2.4.4基础解系和特解的简便求法 368

2.4.5求解含参数的线性方程组 369

题型一 求解方程个数与未知数个数相等的线性方程组 369

题型二 求解方程个数与未知数个数不等的线性方程组 372

题型三 求解参数仅出现在常数项的线性方程组 373

题型四 求含参数的方程组满足一定条件的通解 374

2.4.6求抽象线性方程组的通解 374

题型一A没有具体给出，求AX＝0的通解 375

题型二 已知AX＝ b的特解，求其通解 376

题型三 利用线性方程组的向量形式求（证明）其解 377

2.4.7求两线性方程组的非零公共解 378

题型一 求两齐次线性方程组的非零公共解 378

题型二 证明两齐次线性方程组有非零公共解 380

题型三 讨论两方程组同解的有关问题 380

习题2.4 382

2.5矩阵的特征值、特征向量 387

2.5.1求矩阵的特征值、特征向量 387

题型一 求元素给出的矩阵的特征值、特征向量 387

题型二求（证明）抽象矩阵的特征值、特征向量 389

2.5.2由特征值和（或）特征向量反求其矩阵 391

题型一 由特征值和（或）特征向量反求矩阵的待定常数 391

题型二 已知特征值、特征向量，反求其矩阵 393

题型三 计算Anβ，其中β为列向量，A为方阵 395

2.5.3求相关联矩阵的特征值、特征向量 396

2.5.4判别同阶方阵是否相似 398

题型一 判别方阵是否可对角化 398

题型二 判别两同阶方阵是否相似 400

2.5.5相似矩阵性质的简单应用 401

2.5.6与两矩阵相似有关的计算 403

题型一 矩阵A可相似对角化，求A中待定常数及可逆矩阵P，使P-1AP＝diag（λ1，λ2，…，λn），其中λ1，λ2，…，λn为A的特征值 403

题型二A为实对称矩阵，求A中待定常数及正交矩阵？，使？-1 A？＝？TA？＝diag（λ1，λ2，…，λn），其中λ1，λ2，…，λn为A的特征值 403

题型三 已知矩阵A和可逆矩阵P满足一等式，求矩阵B，使P-1AP＝B 405

习题2.5 405

2.6二次型 408

2.6.1求二次型的矩阵及其秩 408

题型一 用矩阵形式表示二次型 408

题型二 求二次型的秩 409

2.6.2化标准形及由标准形确定二次型 409

题型一 化二次型为标准形 410

题型二 已知二次型的标准形，确定该二次型 413

2.6.3判别（证明）实二次型（实对称矩阵）的正定性 414

题型一 判别具体给定的二次型或其矩阵的正定性 414

题型二 判别或证明抽象二次型（实对称矩阵）的正定性 415

题型三 确定待定常数使二次型或其矩阵正定 417

2.6.4判别两矩阵是否合同 417

题型一 判别（证明）两实对称矩阵合同 417

题型二 判别（证明）两矩阵不合同 419

2.6.5讨论矩阵等价、相似及合同的关系 419

习题2.6 421

习题答案与提示 423