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第一章 Bézier曲线 1

1.1 自由曲线造型概论 1

1.1.1 样条函数插值的Hermite基表示 1

1.1.2 端点条件及追赶法 2

1.1.3 样条曲线 3

1.2 割角多边形序列的生成及收敛(Bézier曲线的几何生成法Ⅰ) 4

1.2.1 简单割角法 4

1.2.2 割角多边形序列的两个性质 4

1.2.3 割角多边形序列的极限形式 6

1.3 Bézier曲线的基本几何性质及几何生成法Ⅱ和Ⅲ 7

1.4 Bézier曲线的离散构造与平面Bézier曲线的保凸性质 10

1.4.1 离散公式的导出 10

1.4.2 离散公式的应用(平面Bézier曲线的保凸性) 12

1.5 Bézier曲线的包络性质(几何生成法Ⅳ) 12

1.6 Bézier曲线的代数性质 13

1.6.1 Bézier曲线两种代数定义的等价性 13

1.6.2 Bézier曲线的幂基表示 14

1.6.3 Hermite插值曲线的Bézier表示 15

主要文献 16

参考文献 16

第二章 B样条曲线 18

2.1 B样条基函数的递推定义及其性质 18

2.2 B样条曲线的包络生成及几何定义 20

2.3 B样条曲线的基本几何性质及连续阶 21

2.4 B样条曲线求值和求导的de Boor算法 23

2.5 三次均匀B样条曲线的几何作图及设计技巧 24

2.6 带重节点的三次B样条曲线的基本性质 25

2.7 广义差商及B样条基函数的差商定义 27

2.8 嵌入一个节点改变B样条基函数和B样条曲线表示 28

2.9 连续嵌入同一个节点达k-1重时的B样条曲线 30

2.10 离散B样条及离散B样条曲线 31

2.11 平面B样条曲线的保凸性和变差缩减性(V.D.)性 32

主要文献 33

参考文献 33

第三章 用理Bézier曲线 35

3.1 圆锥曲线的经典数学表示及其有理二次参数化 35

3.2 有理Bézier曲线的定义及其基本几何性质 36

3.3 有理Bézier曲线的离散构造及包络性 39

3.4 平面有理Bézier曲线的隐式化 40

3.4.1 隐式方程的导出 40

3.4.2 平面n次代数曲线有理参数化的条件 41

3.5 有理二次Bézier曲线的分类 42

主要文献 43

参考文献 43

第四章 有理B样条曲线 44

4.1 NURBS曲线的一般定义、递推求值及离散构造 44

4.2 平面NURBS曲线的保形性 46

4.3 NURBS曲线的包络生成及几何定义 47

4.3.1 包络的存在性 47

4.3.2 包络的唯一性 48

4.3.3 NURBS曲线的几何定义 50

4.4 NURBS曲线的显式矩阵表示 51

4.4.1 基于差商的系数矩阵显式表示 51

4.4.2 基于Marsden恒等式的系数矩阵显式表示 53

4.4.3 特殊NURBS曲线的系数矩阵显式表示 54

主要文献 55

参考文献 56

第五章 有理圆弧段与有理圆锥曲线段 57

5.1 圆弧曲线段的有理二次Bézier表示 57

5.2 圆弧曲线段的有理三次Bézier表示 58

5.2.1 充分条件和充要条件的导出 58

5.2.2 圆心角范围与顶点的几何作图 59

5.3 圆弧曲线段的有理四次Bézier表示 60

5.3.1 充要条件的导出 60

5.3.2 圆心角范围 62

5.4 圆锥曲线段的有理三次Bézier表示 63

5.4.1 有理三次Bézier曲线的降价条件与有理保形参数变换下的不变量 63

5.4.2 有理三次圆锥曲线段向单位圆弧的转换 64

5.4.3 有理三次圆锥曲线段的充要条件 65

5.4.4 有理三次圆锥曲线段的分类条件 67

5.5 圆弧曲线段与整圆的有理B样条表示 68

主要文献 68

参考文献 69

第六章 几何样条插值、逼近及平面点列光顺 70

6.1 平面点列的双圆弧样条插值 71

6.1.1 最优切矢的确定 71

6.1.2 双圆弧插值的算法 72

6.2 平面点列光顺算法 72

6.2.1 多余拐点的去除 73

6.2.2 基于改进最小能量法的离散曲率光顺方法 74

6.3 平面曲线的圆弧样条逼近和空间曲线的圆柱螺线样条逼近 76

6.3.1 平面曲线的圆弧样条逼近 76

6.3.2 空间曲线的圆柱螺线样条逼近 76

6.4 空间型值点位矢和单位切矢的双圆柱螺线插值 78

6.5 由散乱型值点构造插值曲面 78

主要文献 80

参考文献 80

第七章 矩形域和三角域上的参数函数曲面 82

7.1 插值算子布尔和与张量积 82

7.2 矩形域上的Bézier曲面及其几何性质 84

7.3 三角域上的Bézier曲面及其几何性质 86

7.3.1 三角域上的Bézier参数曲面及其基本性质 86

7.3.2 三角域上Bézier函数曲面的正性和凸性 90

7.4 矩形域上的B样条曲面、有理Bézier曲面与有理B样条曲面 94

7.5 旋转曲面的有理Bézier表示 95

7.5.1 有理双二次Bézier表示 95

7.5.2 有理双三次Bézier表示 96

7.6 球面的有理参数表示 97

主要文献 97

参考文献 98

第八章 广义Ball曲线与广义Ball曲面 99

8.1 CONSURF系统中机身造型曲线的几何性质 100

8.2 两种广义Ball曲线 102

8.3 Wang-Ball基函数的性质 102

8.4 Said-Ball、Wang-Ball曲线与Bézier曲线的比较 103

8.4.1 递归求值 103

8.4.2 与Bézier曲线的互化 105

8.4.3 升阶和降阶 107

8.5 利用广义Ball曲线曲面对Bézier曲线曲面求值 109

8.6 三角Ball曲面 110

8.6.1 三角Wang-Ball基及三角Wang-Ball曲面 110

8.6.2 三角Wang-Ball曲面的升阶和递归求值 111

主要文献 112

参考文献 112

第九章 曲线曲面的插值与拟合 113

9.1 B样条曲线曲面的节点插值法 113

9.2 C2连续的三次B样条插值曲线 114

9.3 C1和C0连续的三次B样条插值曲线 116

9.3.1 选取二重节点和三重节点的准则 116

9.3.2 以重节点为界对插值曲线分段反求控制顶点的原理和算法 117

9.4 参数无重节点的双三次B样条插值曲面 118

9.5 参数有重节点的双三次B样条插值曲面 120

9.6 C2，C1和C0连续的三次Bézier样条插值曲线 120

9.7 C2，C1和C0连续的双三次Bézier样条插值曲面 122

9.8 构造插值样条曲面时型值点不一致分布的均匀性检查 124

9.9 带插值条件的B样条曲线光顺拟合 124

9.10 带插值条件的B样条曲面光顺拟合 125

9.11 带插值条件且与已知曲面作C1连续拼接的Bézier曲面光顺拟合 126

主要文献 128

参考文献 128

第十章 曲线曲面的几何连续性 129

10.1 几何连续性概念的提出 129

10.2 曲线的几何连续性 131

10.2.1 曲线几何连续性的定义 131

10.2.2 曲线的有理连续性 134

10.2.3 有理连续性条件 136

10.3 几何光滑拼接曲线的构造 138

10.4 曲面的曲率连续 140

10.4.1 曲率连续的一般条件 140

10.4.2 矩形域上有理Bézier曲面的G2条件 142

10.4.3 曲率连续拼接的有理Bézier曲面的构造 144

10.4.4 简单曲率连续拼接曲面的构造 147

10.5 曲面的任意阶几何连续 147

10.5.1 曲面Gn连续的定义 147

10.5.2 有理几何连续的一般条件 149

10.5.3 有理几何连续条件的求解 149

10.5.4 有理几何连续的简单形式 153

10.6 矩形域上有理Bézier曲面的Gn拼接 154

10.6.1 有理Bézier曲面几何连接拼接的判定 154

10.6.2 有理Bézier曲面几何连续拼接的构造 155

10.7 三角域和矩形域上有理Bézier曲面的拼接 156

主要文献 157

参考文献 157

第十一章 参数曲线曲面的求交技术 159

11.1 B样条曲线转化为Bézier曲线 160

11.2 B样条曲面转化为Bézier曲面 161

11.3 Bézier曲线曲面的高度分析 162

11.4 Bézier曲线曲面离散层数的先验性公式 166

11.5 对Riesenfeld关于曲线离散终判准则的改进 167

11.5.1 三次Bézier曲线的化直准则 168

11.5.2 n次有理Bézier曲线的化直准则 168

11.5.3 一个极值问题 169

11.6 Bézier曲线和B样条曲线的离散求交法 170

11.7 Bézier曲线和B样条曲面的离散求交法 171

11.8 Bézier曲面与平面的求交 172

11.9 有理Bézier曲线曲面离散终判的先验性公式 172

11.10 离散差分跟踪求交法 175

11.10.1 多项式曲面的差分表示 175

11.10.2 Bézier曲面的差分矩阵和差分表示 176

11.10.3 Bézier曲面求交中跟踪子曲面片的选定 177

11.10.4 离散差分跟踪求交 178

11.11 曲面求交的活动仿射标架跟踪法 179

11.11.1 球变换 179

11.11.2 求交算法 180

11.12 Bézier曲面的环检测 180

主要文献 181

参考文献 182

第十二章 有理Bézier曲线曲面的多项式逼近 183

12.1 有理Bézier曲线的两类多项式逼近h<r,p>和H<r,p> 184

12.1.1 有理曲线Hermite逼近与Hybrid逼近的定义 184

12.1.2 用传统的逼近论方法求h<s,s>的收敛条件 185

12.1.3 h<r,p>逼近与H<r,p>逼近的关系 186

12.2 h<r,p>逼近与H<r,p>逼近的余项 188

12.3 h逼近曲线Hr,p(t)与Hybrid曲线Hr,p(t) 189

12.4 h<s,s>逼近与H<s,s>逼近的收敛条件 192

12.5 低次h<s,s>逼近与H<s,s>逼近的收敛准则 193

12.5.1 一次有理曲线多项式逼近收敛的充要条件 193

12.5.2 关于多项式根的几个引理 193

12.5.3 二次有理曲线多项式逼近的收敛准则 194

12.5.4 三次有理曲线多项式逼近的收敛准则 195

12.5.5 重新参数化技术对收敛条件的影响 195

12.6 h<s,0>逼近与H<s,0>逼近的收敛条件 196

12.7 (r/p)有定极限值的h<r,p>逼近与H<r,p>逼近的收敛条件 196

12.8 Hybrid曲线的移动控制顶点H？(t)的界 196

12.8.1 对具有对称权因子的低次有理曲线求H？(t)的界 197

12.8.2 利用矩阵方法对一般有理曲线求H？(t)的界 198

12.8.3 利用复平面上的围道积分求H？(t)-H？的界 200

12.9 一般情况下h<r,p>逼近和H<r,p>逼近收敛的充要条件 202

12.10 用新的观点研究有理Bézier曲线的H<r,p>逼近 205

12.11 有理Bézier曲面的Hybrid表示 208

12.12 有理Bézier曲面的两类多项式逼近H<r,p；s,q>和h<r,p；s,q> 212

12.12.1 有理曲面Hybrid逼近与Hermite逼近的定义 212

12.12.2 H<r,p；s,q>逼近的余项 213

12.12.3 h<r,p；s,q>逼近与H<r,p；s,q>逼近的关系 213

12.13 Hybrid曲面Hr,p；s,q(u,v)的递推计算公式 216

12.13.1 一般情况 216

12.13.2 简化情况 219

12.14 有理Bézier曲面H<r,p；s,q>逼近的收敛条件 221

12.14.1 H<r,p；s,q>逼近余项的界 221

12.14.2 H<s,s；s,s>逼近收敛的一个充分条件 222

12.14.3 H<r,p；s,q>逼近收敛的充要条件 222

主要文献 223

参考文献 223

第十三章 有理Bézier曲线曲面的求导和求积 224

13.1 有理Bézier倍式化速端曲线 224

13.1.1 Dir函数的定义和性质 224

13.1.2 倍式化速端曲线的导出 225

13.1.3 曲线导矢方向的界 226

13.1.4 曲线导矢大小的界 226

13.2 有理Bézier倍式化速端曲面 227

13.2.1 倍式化速端曲面的导出 227

13.2.2 曲面导矢方向的界 228

13.2.3 曲面导矢大小的界 229

13.3 动曲线轨迹的速端曲线 230

13.3.1 速端曲面的直接导出 230

13.3.2 曲面导矢界的估计 231

13.4 有理Bézier曲面的法矢 232

13.4.1 Nrm函数的定义和性质 232

13.4.2 曲面法矢的计算 232

13.4.3 曲面法矢方向的界 233

13.5 有理Bézier曲线的高阶导矢 234

13.5.1 高阶导矢的递推算法 234

13.5.2 导矢E？表示的应用Ⅰ：有理Bézier曲线的弧长估计 236

13.5.3 导矢E？表示的应用Ⅱ：有理Bézier曲线端点处的三阶导矢的计算 236

13.5.4 导矢E？表示的应用Ⅲ：有理Bézier曲线的导矢界的估计 237

13.6 二次有理Bézier曲线的精确求积 238

13.6.1 求积问题的提法与积分模型的简化 238

13.6.2 精确求积公式的导出 239

13.7 平面有理Bézier曲线求积的多项式逼近 241

13.7.1 平面Bézier曲线求积 241

13.7.2 平面有理Bézier曲线求积的多项式逼近的误差界及其算法 242

13.8 平面有理Bézier曲线求积的降价逼近 244

13.8.1 降价求积的误差估计 244

13.8.2 降价求积的算法 247

13.9 二次和三次NURBS曲线求积 247

主要文献 247

参考文献 247

第十四章 Bézier曲线曲面的降阶逼近 249

14.1 Bézier曲线、Bézier矩形片与Bézier三角片的退化条件 250

14.2 Bézier曲线降阶的B网扰动和约束优化法 251

14.2.1 降阶的显式算法和误差估计 251

14.2.2 离散/降阶算法 253

14.2.3 降阶中的G1连续条件 253

14.3 Bézier矩形片与Bézier三角片降阶的B网扰动和约束优化法 254

14.3.1 Bézier矩形片的降阶 254

14.3.2 Bézier三角片的降阶 255

14.4 基于广义逆矩阵的Bézier曲线一次性降多阶逼近 257

14.4.1 端点不保插值的降多阶逼近 257

14.4.2 保端点插值的降多阶逼近 258

14.4.3 误差分析及实例 258

14.5 保端点高阶插值的Bézier曲线一次性降多阶逼近 259

主要文献 263

参考文献 263

第十五章 曲线曲面形式之间的互化 264

15.1 二次NURBS曲线与二次有理Bézier曲线之间的互化 265

15.2 双二次NURBS曲面与双二次有理Bézier曲面之间的互化 266

15.3 三次NURBS曲线与三次有理Bézier曲线之间的互化 267

15.4 Bézier三角片到退化矩形片的转化 270

15.5 Bézier三角片到三张非退化矩形片的转化 272

15.6 Bézier矩形片用线性函数实现广义离散及其到三角片的转化 274

15.6.1 矩形参数域被分割为两块梯形域的广义离散算法 274

15.6.2 矩形参数域被分割为三边区域和五边区域的广义离散算法 275

15.6.3 Bézier矩形片到两张三角片的转化 276

15.7 Bézier矩形片用高次代数曲线实现广义离散并用于曲面拼接 277

15.7.1 矩形参数域被分割为两块曲边梯形域的广义离散算法 277

15.7.2 矩形参数域被分割为三边和五边曲边区域的广义离散算法 278

15.7.3 广义离散在几何连续拼接和trimmed曲面参数表示中的应用 279

15.8 基于de Casteljau算法的有理二次Bézier曲线隐式化 279

15.9 基于de Casteljau算法的平面有理n次Bézier曲线隐式化 281

主要文献 285

参考文献 285

第十六章 等距曲线与等距曲面 287

16.1 平面等距曲线 289

16.2 Pythagorean-hodograph(PH)曲线 291

16.2.1 定义和表示 291

16.2.2 三次PH曲线的构造、特征和性质 292

16.2.3 四次和五次PH曲线的构造 293

16.2.4 PH曲线的等距曲线和弧长 295

16.3 具有有理等距曲线的参数曲线(OR曲线) 295

16.3.1 参数曲线的复形式表示 295

16.3.2 参数曲线具有有理等距曲线的充要条件 297

16.3.3 具有有理等距曲线的低次Bézier曲线 299

16.4 PH曲线和OR曲线的插值构造算法 300

16.4.1 平面五次PH曲线的G2 Hermite插值 300

16.4.2 平面三次PH曲线偶的C1 Hermite插值 300

16.4.3 平面八次抛物-PH曲线的C2 Hermite插值 301

16.5 基于法矢曲线逼近的等距曲线最佳逼近 302

16.5.1 法矢曲线最佳多项式逼近的导出 302

16.5.2 具有端点约束的法矢曲线最佳逼近 303

16.5.3 Legendre级数与Jacobi级数的系数计算 304

16.5.4 NURBS曲线的等距曲线逼近 305

16.6 基于刘徽割圆术的等距曲线逼近算法 306

16.7 具有有理中心线的管道曲面 309

16.8 二次曲面的等距曲面 310

16.8.1 椭圆抛物面和双曲抛物面的等距曲面 311

16.8.2 椭球面的等距曲面 311

16.8.3 单叶双曲面的等距曲面 312

16.8.4 双叶双曲面的等距曲面 313

16.9 有理直纹面的等距曲面 313

16.10 基于球面三角网格逼近的等距曲面逼近算法 315

主要文献 315

参考文献 316

第十七章 区间曲线与区间曲面 319

17.1 区间Bézier曲线的边界 320

17.1.1 区间算术和区间点算术 320

17.1.2 区间Bézier曲线及其中心表达形式 320

17.1.3 平面区间Bézier曲线的边界 321

17.1.4 空间区间Bézier曲线的边界 326

17.2 区间Bézier曲线与Offset曲线之间的关系 330

17.3 区间Bézier曲面及其中心表达形式和边界结构 331

17.4 区间Bézier曲面与Offset曲面之间的关系 333

17.5 区间Bézier曲面逼近 334

17.5.1 利用区间Bézier曲面对可微参数曲面作Taylor逼近 334

17.5.2 利用区间Bézier曲面对有理曲面作多项式逼近 335

主要文献 336

参考文献 336

第十八章 基于切割磨光的曲线曲面离散造型 338

18.1 切割磨光空间多边形的迭代算法 339

18.2 切割磨光曲线的性质 341

18.2.1 逼近性 341

18.2.2 连续性 342

18.2.3 光滑性 344

18.2.4 几何性质 346

18.3 切割磨光曲面造型的原理和算法 347

18.4 切割磨光曲面造型的技巧和性质 351

18.4.1 切割磨光的技巧 351

18.4.2 切割磨光曲面的收敛性 352

18.4.3 切割磨光曲面的光滑性 355

18.5 任意拓扑网格的切割磨光法 358

18.5.1 原理和方法 358

18.5.2 切割磨光曲面的光滑性 359

18.6 Catmull-Clark曲面和Doo-Sabin曲面 362

18.6.1 Catmull-Clark曲面的生成 362

18.6.2 Catmull-Clark曲面的连续性分析 364

18.6.3 Doo-Sabin曲面的生成 366

18.7 非均匀Doo-Sabin曲面和非均匀Catmull-Clark曲面 367

18.7.1 非均匀Doo-Sabin曲面和非均匀Catmull-Clark曲面的生成 367

18.7.2 非均匀Doo-Sabin曲面的特征根分析 371

18.8 蜂窝细分 375

主要文献 376

参考文献 377

第十九章 曲面的形状调配和变形 379

19.1 简单曲面变形的顶点对应算法 380

19.2 平面多边形的内在量及其调配算法 380

19.3 空间多边形的内在量及其调配算法MSI 381

19.3.1 内在变量集的定义及其与空间多边形的关系 381

19.3.2 空间多边形调配的内在解 382

19.4 空间四边形网格的形状调配算法 384

19.5 空间三角网格的形状调配算法 385

19.5.1 空间n次Bézier三角网格的情形 385

19.5.2 一般空间三角网格的情形 386

19.6 自由曲线曲面的调配算法 387

19.7 Bézier曲线形状调配中的平衡化几何连续条件 388

19.7.1 保持G1的曲线调配 389

19.7.2 保持G2的曲线调配 389

主要文献 390

参考文献 390

第二十章 曲面重建与简化 392

20.1 曲面重建与简化的基本概念 392

20.2 基于曲面网格的曲面重建技术 394

20.3 基于球面多边形逼近的曲面简化技术 395

20.4 医学序列图象三维重建的基本方法 396

20.5 人体下颌下腺淋巴管的三维重建 398

20.6 人喉的计算机三维重建及动态图形模拟 398

20.7 人体子宫螺旋血管的三维重建 398

主要文献 398

参考文献 399