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第一单元 一元函数微积分 1

一、函数、极限与连续 1

（一）函数概念及其性质 1

（二）关于函数的主要计算和证明 2

（三）极限概念及其性质 8

（三）关于数列极限的主要计算和证明 10

（五）函数极限概念及其性质 17

（六）关于函数极限的主要计算和证明 21

（七）函数的连续概念及其性质 41

（八）关于连续的主要计算及证明 42

二、导数与微分 52

（一）导数、微分概念与微分法 52

（二）关于导数与微分的主要计算和证明 55

（一）微分中值定理 75

三、微分学的几个基本定理 75

（二）关于微分中值定理的主要计算和证明 77

四、函数性态的研究 89

（一）函数的几何性态及其判定 89

（二）关于函数几何性态的主要计算和证明 92

五、不定积分 106

（一）不定积分的概念与积分法 106

（二）基本积分法的应用举例 107

（三）特殊类型函数的积分法 121

六、定积分及其应用 148

（一）定积分概念及其性质 148

（二）定积分的基本计算法 149

（三）定积分的应用 150

（四）关于定积分的主要计算和证明 153

（一）广义积分类型及其收敛判别法 185

七、广义积分 185

（二）关于广义积分的主要计算和证明举例 186

第二单元 级数 192

一、数项级数 192

（一）基本概念与定理 192

（二）关于数项级数的主要计算和证明 196

二、幂级数 209

（一）基本概念与定理 209

（二）关于函数项级数的主要计算和证明 215

三、付立叶级数 225

（一）基本概念与定理 225

（二）关于付立叶级数的主要计算和证明 230

一、矢量代数 237

（一）基本概念和基本计算 237

第三单元 矢量代数与空间解析几何 237

（二）主要计算和证明 241

二、空间解析几何 246

（一）基本概念和基本问题 246

（二）平面及其方程 247

（三）直线的方程 248

（四）直线和平面间相互关系 248

（五）常用曲面及其方程 249

（六）空间曲线及其投影曲线 251

（七）主要计算和证明 252

第四单元 多元函数微积分 259

一、多元函数、极限与连续 259

（一）基本概念及其性质 259

（二）主要计算和证明 261

（一）基本概念及其性质 263

二、偏导数与全微分 263

（二）主要计算和证明 265

三、隐函数的微分法 273

（一）关于隐函数的基本定理与微分法 273

（二）主要计算和证明 275

四、偏导数的应用 277

（一）偏导数的几何应用 277

（二）主要计算和证明 279

五、多元函数的极值 281

（一）基本概念与定理 281

（二）主要计算和证明 282

六、二重积分 286

（一）基本概念和基本定理 286

（二）二重积分的计算方法 287

（三）二重积分的应用 290

（四）关于二重积分的主要计算和证明 291

七、三重积分与多重积分 305

（一）基本概念和基本性质 305

（二）三重积分的计算方法 305

（三）三重积分在物理上的应用 310

（四）关于三重积分的主要计算和证明 311

八、曲线积分 318

（一）基本概念及基本定理 318

（二）关于曲线积分的主要计算和证明 322

九、曲面积分 334

（一）基本概念和基本定理 334

（二）关于曲面积分的主要计算和证明 339

十、广义二重积分 352

（一）基本概念和性质 352

（二）关于广义二重积分的主要计算和证明 355

（一）基本概念和性质 361

十一、带参变量的积分 361

（二）关于带参变量积分的主要计算和证明 363

第五单元 矢量分析和场论 372

一、矢函数 372

（一）基本概念和定理 372

（二）主要计算和证明 374

二、场论 377

（一）基本概念 377

（二）梯度及其有关计算和证明 378

（三）散度及其有关计算和证明 380

（四）旋度及其有关计算和证明 382

（五）哈米尔顿算子 383

（六）几个重要的场 388

（一）基本概念 393

（二）例题 393

第六单元 常微分方程 393

一、微分方程的基本概念和例题 393

二、一阶微分方程 396

（一）基本定理 396

（二）分离变量型方程 396

（三）齐次型方程 399

（四）线性方程 401

（五）全微分方程 405

三、高阶微分方程 409

（一）基本定理 409

（二）可降阶的高阶微分方程 410

（三）常系数线性方程 414

（四）欧拉方程 420

（五）利用幂级数解微分方程 421

（六）利用拉普拉斯变换解常微分方程 426

四、微分方程组 428

（一）基本概念和基本定理 428

（二）解微分方程组的消元法 433

（三）解微分方程组的首次积分法 435

（四）常系数齐次线性方程组的解法 440

（五）常系数非齐次线性方程组的解法 443

第七单元 积分变换 449

一、富里哀变换 449

二、拉普拉斯变换 452

（一）拉氏变换概念及其性质 452

（二）拉氏变换的逆变换 454

（三）拉氏变换的应用举例 455

（一）n阶行列式概念，性质与计算 460

一、行列式 460

第八单元 线性代数 460

（二）克拉姆法则 463

（三）行列式乘法 464

二、矩阵 466

（一）矩阵及其运算 466

（二）方阵的逆矩阵，矩阵的分块 468

（三）矩阵的秩 472

三、线性方程组 474

（一）n维向量的线性相关性 474

（二）向量空间 475

（三）关于线性方程组解的理论 477

四、矩阵化成对角形 481

（一）矩阵的特征值与特征向量 481

（二）矩阵的对角化 484

（三）矩阵的约当标准形 488

（一）二次型化平方和 493

五、二次型 493

（二）惯性定理 496

（三）实二次型分类 498

六、线性空间与线性变换 500

（一）线性空间 500

（二）线性空间的基底和维数 501

（三）线性变换的定义及其运算 502

（四．线性变换的矩阵 504

第九单元 复变函数 509

一、复平面 509

（一）复数运算、模及幅角 509

（二）复数序列的极限、无穷远点 510

（三）平面点集 513

（一）基本概念 514

二、复变数函数 514

（二）柯西一黎曼方程 516

（三）调和函数 517

（四）初等函数 521

三、解析函数的积分 529

（一）复积分 529

（二）柯西积分定理和柯西积分公式 531

（三）关于解析函数的一些重要定理 533

四、解析函数的级数表示 537

（一）复变函数项级数 537

（二）幂级数和解析函数的台劳展开 538

（三）罗朗级数和解析函数的孤立奇点 543

五、留数及其应用 549

（一）留数定理 549

（二）定积分计算 552

（三）幅角原理 562

（四）求拉普拉斯变换的本函数 563

六、保角变换 566

（一）保角变换的一般原理 566

（二）分式线性变换 567

（三）解题举例 570

（四）平面场 573

第十单元 数学物理方程 579

一、数学物理中的偏微分方程 579

（一）分类 579

（二）定解条件和定解问题 581

（三）适定性 582

（四）关于数理方程的解法 584

（五）迭加原理 584

二、通解方法 585

三、分离变量法 589

（一）分离变量法的步骤 589

（二）固有值问题 589

（三）解题举例 593

（四）非齐次情形 596

（五）杂例 602

四、特殊函数——分离变量法（续） 606

（一）贝塞尔函数 606

（二）球函数 622

五、积分变换方法 631

（一）用富氏变换解题 631

（二）用拉氏变换解题 635

六、基本解和格林函数方法 639

（一）δ-函数 639

（二）基本解 641

（三）场位方程的格林函数 644

（四）用镜象法求格林函数 645

（五）二维情形 647

（六）用保角变换方法解二维拉氏方程 650

第十一单元 概率论 653

一、随机事件及其概率 653

（一）基本概念 653

（二）重要定理与公式 654

（三）概率的直接计算 655

（四）复杂事件的概率计算 663

二、随机变量及其分布 671

（一）基本概念及其性质 671

（二）几个重要的概率分布 672

（三）主要计算与举例 675

（一）基本概念与性质 688

三、多维随机变量及其分布 688

（二）常见的多维随机变量分布 690

（三）边际分布和条件分布 691

（四）多维随机变量函数的分布 692

（五）主要计算及举例 696

四、随机变量的数字特征 710

（一）一维随机变量的数字特征 710

（二）多维随机变量的数字特征 713

（三）几个重要不等式 715

（四）一些重要分布的数字特征 716

（五）主要计算及举例 717

五、大数定律与中心极限定理 728

（一）大数定律 728

（二）中心极限定理 730